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虚数到底有什么意义?从i说起

 

撰文 | 阮一峰
 
有人在Stack Exchange问了一个问题:
 
"我一直觉得虚数(imaginary number)很难懂。
 
中学老师说,虚数就是-1的平方根。
可是,什么数的平方等于-1呢?计算器直接显示出错!
 
直到今天,我也没有搞懂。谁能解释,虚数到底是什么?
 
它有什么用?"
 
帖子的下面,很多人给出了自己的解释,还推荐了一篇非常棒的文章《虚数的图解》。我读后恍然大悟,醍醐灌顶,原来虚数这么简单,一点也不奇怪和难懂!
 
下面,我就用自己的语言,讲述我所理解的虚数。
 
一、什么是虚数?
 
首先,假设有一根数轴,上面有两个反向的点:+1和-1。
这根数轴的正向部分,可以绕原点旋转。显然,逆时针旋转180度,+1就会变成-1。
这相当于两次逆时针旋转90度。
因此,我们可以得到下面的关系式:
 
  (+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)
 
如果把+1消去,这个式子就变为:
 
  (逆时针旋转90度)^2 = (-1)
 
将"逆时针旋转90度"记为 i :
 
  i^2 = (-1)
 
这个式子很眼熟,它就是虚数的定义公式。
 
所以,我们可以知道,虚数 i 就是逆时针旋转90度,i 不是一个数,而是一个旋转量。
 
二、复数的定义
 
既然 i 表示旋转量,我们就可以用 i ,表示任何实数的旋转状态。
将实数轴看作横轴,虚数轴看作纵轴,就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数,必然唯一对应这个平面中的某个点。
 
只要确定横坐标和纵坐标,比如( 1 , i ),就可以确定某个实数的旋转量(45度)。
 
数学家用一种特殊的表示方法,表示这个二维坐标:用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如,把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数(complex number),其中 1 称为实数部,i 称为虚数部。
 
为什么要把二维坐标表示成这样呢,下一节告诉你原因。
 
三、虚数的作用:加法
 
虚数的引入,大大方便了涉及到旋转的计算。
比如,物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ,另一个力是 1 + 3i ,请问它们的合成力是多少?
根据"平行四边形法则",你马上得到,合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
 
这就是虚数加法的物理意义。
 
四、虚数的作用:乘法
 
如果涉及到旋转角度的改变,处理起来更方便。
比如,一条船的航向是 3 + 4i 。
 
如果该船的航向,逆时针增加45度,请问新航向是多少?
45度的航向就是 1 + i 。计算新航向,只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了(原因在下一节解释):
 
  ( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
 
所以,该船的新航向是 -1 + 7i 。
 
如果航向逆时针增加90度,就更简单了。因为90度的航向就是 i ,所以新航向等于:
 
  ( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
 
这就是虚数乘法的物理意义:改变旋转角度。
 
五、虚数乘法的数学证明
 
为什么一个复数改变旋转角度,只要做乘法就可以了?
 
下面就是它的数学证明,实际上很简单。
任何复数 a + bi,都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。
 
假定现有两个复数 a + bi 和 c + di,可以将它们改写如下:
 
  a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
 
  c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
 
这两个复数相乘,( a + bi )( c + di ) 就相当于
 
  r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
 
展开后面的乘式,得到
 
  cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )
 
根据三角函数公式,上面的式子就等于
 
  cos(α+β) + isin(α+β)
 
所以,
 
  ( a + bi )( c + di ) = r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )
 
这就证明了,两个复数相乘,就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。
 
本文来源于阮一峰的网络日志。



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