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伽利略的相对性思想 | 《相对论-少年版》先读为快





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相对论的发展是一个长达300余年的思想过程,在爱因斯坦1915年奠立广义相对论的那一刻达到了顶峰。相对论是纯粹理性思维的胜利,是物理现实的内在和谐与数学表达的形式美学之间完美的相互激励,是严谨的日耳曼文化与浪漫的拉丁文化的灿烂结晶。物理规律的变换不换性是相对论的核心思想。沿着朴素相对论、伽利略相对论经由狭义相对论抵达广义相对论,这一条绵密的思想河流上有激动人心的关于物理学创造的历史画卷。由中科院物理所研究员曹则贤所著《相对论-少年版》一书为我们展示了这一画卷的深刻与动人之处。下文即节选自“伽利略相对论”一章。


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提要


伽利略是物理学的奠基者,单摆公式、落体公式和惯性定律皆出自其手。在惯性参照框架中,一个不受外力的物体会保持静止或者匀速直线运动的状态。相互间作匀速直线运动的参照框架,若其一为惯性参照框架,则全部都是惯性参照框架。伽利略发现置身于匀速运动的船舱内,人对周围环境的观察不能判断船是否在运动。力学实验不能区分相互间作匀速运动的参照框架。伽利略相对论可用数学表述如下:“若描述物理规律的方程为 f(r, t; λ)=0,则对任意常数v0 ,f(r+v0t, t; λ)=0 成立。” 1909年,人们把相关的时空坐标变换 r'=r+v0t,t'=t称为伽利略变换。牛顿力学满足伽利略相对论,但电磁学却不满足,这为日后相对性思想的进一步拓展埋下了伏笔。惯性定律后来成了牛顿第一定律,摆脱对惯性参照框架的依赖是推广狭义相对论的原初动机之一,广义相对论的一大进步是修正了惯性运动的概念。






撰文 曹则贤(中科院物理所研究员)


卧看满天云不动,不知云与我俱东。

           —陈与义《襄邑道中》




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伽利略与近代物理学


伽利略 (Galileo Galilei, 1564-1642),意大利哲学家、艺术家、作家、数学家、天文学家,近代科学的奠基人,一个善于摆弄小玩意儿的人[1]。单摆运动周期的规律,,即单摆周期平方近似地正比于摆绳长度但与摆锤质量无关,自由落体或者物体沿斜面无摩擦滑下的运动规律,h=½at2,即下落高度与时间平方成正比,都是伽利略没有时间测量的条件下得出来的基本运动规律。通过研究一个从斜坡滚下的小球在对面斜坡上能爬升的高度,伽利略得出结论,在没有摩擦的极限情形下 (不存在哦!醉心于通过什么测量研究物理学的人,不妨多思考一下伽利略的工作),小球应该爬升到下落时的初始高度而与斜坡的坡度无关。伽利略进一步做他的思想实验 (Gedankenexperiment):“若小球从高处滚下后滚到了一个倾角为零度的斜坡上,倾角为零度的斜坡那就是地平面,按理它依然要爬升到初始时的高度,可是在地平面上它又一点儿也爬升不起来,那结果会怎样呢?小球就只好一直、永远这么无助地往前滚下去。也就是说,一个物体,若没有来自外部的强迫,会一直保持自己的运动状态。”这揭示的就是所谓的物质的惯性 (inertia,惰性,懒的量度) [2]。在爱因斯坦的相对论文献中,惯性、质量和惯性质量是混用的,因为爱因斯坦明白实质上它们就是一个概念。牛顿第一定律就是惯性定律,早在牛顿出生之前就由伽利略揭示出来并完整表述了。牛顿第二定律为ma=F,其中的m可以理解为物体懒惰程度的度量。施加同样的外力F,m越大,其获得的加速度a就越小。所以在牛顿第二定律ma=F中出现的这个质量,为了严谨,会被称为惯性质量 (inert mass),以区别于牛顿万有引力公式  中出现的质量,那里的质量是引力质量 (gravitational mass) 。Mass,本义为一大坨。关于质量概念的意义及其在物理学中的演化,请参见本章的深度阅读。 


传说中,伽利略曾登上比萨的斜塔,抛下大小不同的两个铁球,证明了质量 (重量) 不同的物体是同时 (同步) 下落的。这个实验,包括落体公式、惯性定律,都是相对论理论发展过程中里程碑式的内容,后文我们会加以详细讨论。




2



伽利略相对论与伽利略变换


研究运动要用到时间、位置矢量、速度和加速度。朴素相对论关切位置矢量变换r'=r+r0  (通过改变参照点实现) 下物理规律的不变性,没有纳入时间的因素。伽利略更进一步,伽利略相对论关切速度变换下物理规律的不变性。


关于运动的感知问题,我国东汉时期成书的《尚书纬·考灵曜》中有句云:“地恒动不止而人不知,譬如人在大舟中,闭牖而坐,舟行而不觉也。” 这说的是,人坐在船中无视船外之物,若船是匀速行驶的,则人不能感知船是否在移动,遑论船移动的快慢。由此,作者 (姓名未知,可惜!) 进而推论,大地也是一直在 (飘) 动的,但我们无从察觉地球的运动。这段话反映了一个特定层面上的相对论原理,即后来爱因斯坦所宣称的伽利略相对论原理。我国古人的思想,由于没有给出对这个原理进一步的阐述,更谈不上用数学语言的系统表述及物理应用,未被看作是相对论理论的前身。我们甚至可以设想,在历史上的某个时刻,还有别人也认识到了这一点。


伽利略相对论,源自其1632年出版的《关于托勒密和哥白尼两大主要世界体系的对话》一书中的一段描述。伽利略以"表明所有用来反对地球运动的那些实验全然无效的一个实验"为题,详细叙述了封闭船舱内发生的现象。伽利略写道:"为了最终表明实验 (揭示匀速运动) 的完全无效,我觉得此处正好给各位展示一个容易进行验证的途径。把你和几位朋友一起关进一艘大船甲板下的主舱里,带上几只苍蝇,几只蝴蝶,以及别的能飞的小动物。再带上一大碗水,水里有鱼;吊起一只瓶子,让里面的水滴到下面放置的广口容器中。船静止时,请仔细观察小动物在船舱里是以同样的速度四处乱飞的。鱼儿游动,无所谓是朝着哪个方向;水滴会落到正下方的容器里;朝你的朋友扔过去个什么东西,你也无需在这个方向上加把劲儿,那个方向上省点力儿,扔出去的距离都是一样的;双脚起跳,你在不同方向上会跳出去一样远。当你仔细做了这些观察 (毫无疑问,船静止的时候事情就应该是这个样子的) 后,让船以任何速度前行,只要速度是均匀而非忽快忽慢的。你将会看到前述效应不会有一丝儿改变,你也不能从这些观察判断出船到底是走是停。起跳,你会越过跟从前一样的距离,不会是朝着船尾跳得远而朝着船头跳得近一些儿,尽管船在高速前行,在你浮在空中的时候你脚下的船板 (在你往船尾跳时) 在相反的方向上一直前行。朝对面的同伴扔个什么东西,你也无需因为他是在船头或者船尾的方向而格外用力。水滴会象从前一样落到正下方的容器而不是飘向船尾,尽管下落过程中船往前窜出了一大截。碗中的鱼儿往前游和往后游一样轻松,会一样自在地游向碗边的鱼食。最后提一下,蝴蝶和苍蝇会继续四下乱飞,而不会朝船尾聚集,好像因为不得不总停留在空中跟船分离又要长途旅行而终于累了跟不上船的行程似的。再者,如果点着什么东西升起了烟,那烟会直直地升起形成一团小云彩,静止在那里,既不往前也不往后。这些 (船动与静时) 效应相对应的原因是,大船的运动为其所容纳之所有物体共享,包括空气。这就是为什么我说过你要呆在甲板下的原因;如果是在开放的空间中,空气就不能跟上船的行程了,则我们所说的效应多少会有些不同。无疑地,烟要比空气自身更落后一截,苍蝇,还有蝴蝶,会被空气裹挟而落后,因而若它们跟船离得远的话就跟不上船的行程。但是让它们保持靠近船,它们就能轻松地跟上;因为船,连带着它周围的空气,是一个整体。因为类似的缘故,当我们骑马的时候,会看到一些苍蝇和牛虻会老跟着我们的马,在马身上从这块儿飞到那块儿。”伽利略在这里想要说明的一个根本思想是:“不能以任何力学实验来判断一艘船是静止还是在以任何速度匀速行驶中。”自然可以由此推论,对于地球的运动,人们也无法觉察到。比较伽利略的这一段同《尚书纬·考灵曜》中的论述,论证采用的情景以及论证模式分毫不差。当然,如今我们知道,地球的运动包括公转、自转和章动,比我们假定的船在水上的匀速运动复杂多了。后来法国科学家傅科 (Jean Bernard Léon Foucault, 1819-1868) 发明的傅科摆可演示地球的自转[3]。不管怎样,伽利略在这里传达了一个思想,不能用力学实验区别一运动系统的不同匀速运动状态。爱因斯坦把伽利略这个思想当成(特定层面上的)相对论,称之为伽利略相对论。


伽利略的相对论是说,对于以任何速度匀速运动的观察者来说,宇宙还是那个宇宙,宇宙里的事件所应遵循的规律还是那个规律。套用我国古人的智慧,这叫“动静等观”。用数学的语言来表达,设若用方程 f(r, t; λ)=0 来描述宇宙的规律,伽利略相对论要求函数f满足如下条件:“若 f(r, t; λ)=0,则对任意常数v0,必然有 f(r+v0t, t; λ)=0。” 将朴素相对论同伽利略相对论一并考虑,则此时的相对论性原理要求描述物理规律的方程 f(r, t; λ)=0 满足如下条件:“对任意常数r0和v0f(r+r0+v0t, t; λ)=0。”


注意,在伽利略相对论中,参照系的相对匀速运动只带来了位置变换r'=r+v0t,而时间保持不变,t'=t。若同时考察空间与时间的变换,伽利略相对论中涉及的变换, 写成矩阵形式,可表示为  。此时,在我们的观念中,空间和时间依然是相对独立的概念。但是,在伽利略相对论中时间确实是被纳入到空间变量上去的,这一点的重要性要到狭义相对论里才得到充分认识。1909年,变换r'=r+v0t,t'=t被称为伽利略变换。

北京西山大觉寺的匾额“动静等观”  

北京西山大觉寺的匾额 “无去来处”




3



伽利略相对论下的物理学


伽利略相对论常被诠释为惯性的体现。一个支撑伽利略相对论的实验是匀速运动体系内,自由落体过程同静止体系中的自由落体过程是一样的。你在行驶中的大船的垂直桅杆顶部释放一个铁球,它会砸在桅杆的基部。在一个岸上的观察者看来,船匀速向前运动,而球的运动是匀速运动加上落体运动。球作为船之成体系的一部分,它和船具有同样的向前的恒定速度。球砸到甲板时,船和球向前走过了同样的距离,因此球必然会砸在桅杆的基部。这里暗含的另一个重要内容是,描述运动的位置、速度和加速度都是矢量,而矢量是具有可加性的[4]。将速度乘上时间,加速度乘上时间的平方,就变成了和位置矢量同样的数学对象—本来就是运动造成的位移矢量。一个抛体的动态位置矢量,就是其初始位置矢量,同匀速运动造成的位移矢量以及自由下落造成的位移矢量之和,即 r=r0+v0t+½gt2,其中g是重力加速度矢量。运动的分解与求和,对应的是数学上矢量的分解与求和。


牛顿的万有引力理论 (约成于1684年) 是满足伽利略相对论的。考察一个质量为m的小物体 (设想是一个西瓜) ,其位置矢量为r1,被一个质量为M的大物体 (设想是地球),其位置矢量为r2,所吸引的问题。由于m<<M,可以设想成是西瓜向着不动的地球下落。西瓜受力为西瓜-地球之间的万有引力, ,则根据牛顿第二定律,西瓜的运动方程为 。作变换 r'1=r1+r0+v0t

 r'2=r2+r0+v0t,t'=t,显然有 , r'1-r'2=r1-r2,因此新坐标依然满足同样形式的运动方程。用专业语言来表述, 就是新参照框架下运动方程不变。变换不变性,这是相对论理论的精髓。也恰是在这个意义上,相对论本质上毋宁说是绝对论。


描述带电粒子的运动方程就不满足伽利略相对论。在磁场下,电荷q 受力为洛伦兹力f=qv×B [5],其运动方程为 。作变换 r'=r+r0+v0t,t'=t,这相当于引入变换v'→v+v0,则有  ,但是,  ,显然哪儿不对劲儿!相对性在这儿遭遇的不协调,尤其是在电动力学中的表现,未来会成为爱因斯坦建立狭义相对论以及推广狭义相对论而得广义相对论的动机。




4



惯性与惯性参照框架


伽利略在研究自一个斜坡滚下的小球在对面斜坡上爬升的问题时,发现小球在对面斜坡上的爬升高度接近初始高度。在没有摩擦的极限情形下,小球的爬升高度应等于初始高度,而与斜坡的倾斜程度无关 (现实世界中当然总有摩擦。这样的思考方式才见抽象的威力) 。那么,若对面斜坡的倾角为零,也即根本没有坡只有平面,则小球追求上升到初始高度的努力会表现为一直往前运动下去。由此,伽利略得出了运动的惯性定律:“一个不受外力影响的物体会保持原有运动状态。”这个惯性定律后来成了牛顿第一定律。后来的广义相对论之于狭义相对论的一大进步是对惯性运动概念的修正。

惯性定律成立的参照框架 (reference frame)  是惯性参照框架 (inertial reference frame)  。所谓惯性,就是懒,不会主动改变。在惯性参照框架中,一个不受外力的物体会保持静止或者匀速直线运动的状态。相互间作匀速直线运动的参照框架,若其一为惯性参照框架,则全部都是惯性参照框架。惯性和惯性参照框架是相对论的关键词。摆脱对惯性参照框架的依赖是推广狭义相对论的原初动机之一。这是后话,且待下文分解。


参考文献

1. 曹则贤,《物理学咬文嚼字》卷一,中国科学技术大学出版社(2018).

2. Galileo Galilei, Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo Tolemaico e Copernicano (关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话), 收录于《伽利略全集》 (le opera di Galileo Galilei) 卷七。英文为Dialogue concerning the two chief world systems-Ptolemaic & Copernican, translated by Stillman Drake, 2nd edition, University of California Press (1967). 这一段文献非常重要,故将英文内容照录如下:For a final indication of the nullity of the experiments brought forth, this seems to me the place to show you a way to test them all very easily. Shut yourself up with some friend in the main cabin below decks on some large ship, and have with you there some flies, butterflies, and other small flying animals. Have a large bowl of water with some fish in it; hang up a bottle that empties drop by drop into a wide vessel beneath it. With the ship standing still, observe carefully how the little animals fly with equal speed to all sides of the cabin. The fish swim indifferently in all directions; the drops fall into the vessel beneath; and, in throwing something to your friend, you need throw it no more strongly in one direction than another, the distances being equal; jumping with your feet together, you pass equal spaces in every direction. When you have observed all these things carefully (though there is no doubt that when the ship is standing still everything must happen in this way), have the ship proceed with any speed you like, so long as the motion is uniform and not fluctuating this way and that. You will discover not the least change in all the effects named, nor could you tell from any of them whether the ship was moving or standing still. In jumping, you will pass on the floor the same spaces as before, nor will you make larger jumps toward the stern than toward the prow even though the ship is moving quite rapidly, despite the fact that during the time that you are in the air the floor under you will be going in a direction opposite to your jump. In throwing something to your companion, you will need no more force to get it to him whether he is in the direction of the bow or the stern, with yourself situated opposite. The droplets will fall as before into the vessel beneath without dropping toward the stern, although while the drops are in the air the ship runs many spans. The fish in their water will swim toward the front of their bowl with no more effort than toward the back, and will go with equal ease to bait placed anywhere around the edges of the bowl. Finally the butterflies and flies will continue their flights indifferently toward every side, nor will it ever happen that they are concentrated toward the stern, as if tired out from keeping up with the course of the ship, from which they will have been separated during long intervals by keeping themselves in the air. And if smoke is made by burning some incense, it will be seen going up in the form of a little cloud, remaining still and moving no more toward one side than the other. The cause of all these correspondences of effects is the fact that the ship’s motion is common to all the things contained in it, and to the air also. That is why I said you should be below decks; for if this took place above in the open air, which would not follow the course of the ship, more or less noticeable differences would be seen in some of the effects noted. No doubt the smoke would fall as much behind as the air itself. The flies likewise, and the butterflies, held back by the air, would be unable to follow the ship’s motion if they were separated from it by a perceptible distance. But keeping themselves near it, they would follow it without effort or hindrance; for the ship, being an unbroken structure, carries with it a part of the nearby air. For a similar reason we sometimes, when riding horseback, see persistent flies and horseflies following our horses, flying now to one part of their bodies and now to another.

3. Albert Einstein, the Meaning of Relativity, Taylor & Francis (2004). Translated by Edwin Plimpton Adams, 原文为 Vier Vorlesungen über Relativitätstheorie (相对论四讲), Vieweg (1922).


注释

[1] 人类获得对世界的感知的重要途径之一是手。就造就科学家一事而言,手的训练一点也不比脑的训练欠缺丁点儿意义。学会用手写字、推导公式、做实验,用眼观察,用脑子思考,当这些成为习惯的时候,一个人就初具科学家雏形了。

[2] Inert gas, 惰性气体,指氦、氖、氩、氪、氙和氡六种元素,因为它们懒得与别的元素发生化合反应,所以基本上以单质、气体的形式存在(not always)。其中,氩,argon,西文字面意思就是不干活。

[3] 微小的加速运动也是感知不到的,这属于探测极限的问题(detection limit)。对任何信号的测量,都要求信号强度达到某个阈值以上。手头的仪器探测不到光就以为物质是暗的或者某区域是个黑洞,就属于对实验物理常识的无知。 

[4] 矢量是对vector (携带者) 的误解和误译。Vector 只需要有线性代数结构(乘以标量系数和相加),可以但无需有方向和长度。

[5] 这里的不是中的乘号,而是两个矢量的叉乘。但是,叉乘只对三维空间里的矢量成立。这里的问题需要更多的数学知识才能理解。科学,至少物理学是这样,是在不断修正错误的过程中才多少有点儿正确的内容的。


本文为曹则贤著《相对论-少年版》第4章。该书由科学出版社2020年4月出版。


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《相对论~少年版》目录



目录
   作者序之一
   作者序之二
少年能学会相对论吗?当然!
如何读这本书
一页纸相对论
两页纸相对论

1  引子
2章物理时空、参照框架与坐标系
2.1. 物理时空
2.2. 参照框架
2.3. 坐标系 
2.4. 参照框架与坐标系
3章朴素相对论
3.1 经典力学范式
3.2 参照点
3.3 开普勒行星运动三定律
3.4 朴素相对论
4章伽利略相对论
4.1 伽利略与近代物理学
4.2 伽利略相对论与伽利略变换
4.3 伽利略相对论下的物理学
4.4 惯性与惯性参照框架
5章变换不变性与洛伦兹变换 
5.1. 二次型、转动与变换不变性
5.2. 波动方程的不变变换
5.3. 麦克斯韦波动方程
5.4. 洛伦兹变换
5.5. 洛伦兹变换的历史
5.6. 洛伦兹群与庞加莱群
6章狭义相对论基础
6.1. 狭义相对论缘起
6.2. 长度、时间与时空
6.3. 光速
6.4. 相对性原理
6.5. 为什么叫狭义相对论?
6.6  爱因斯坦的开山之作
6.7  狭义相对论时空关系
6.8.  狭义相对论效应
6.9  再论光速
6.10 洛伦兹变换的一般性推导
6.11. 相对论动力学
6.12 相对论经典电磁学
6.13 作为几何理论的狭义相对论
6.14 非常特别相对论
7章相对论质能关系
7.1. 质量与能量
7.2. 普莱托的质能关系
7.3. 爱因斯坦的质能关系
7.4. 电子-正电子湮灭
7.5.能量-动量张量
7.6.  劳厄和克莱因的最终证明
7.7.  一点补充说明
8章相对论量子力学
8.1. 相对论与量子力学的结合
8.2. 克莱因-戈登方程
8.3. 狄拉克方程
8.4. 相对论量子力学方程的一般构造
8.5. 量子场论
9章弯曲空间与弯曲径迹
9.1. 运动轨迹
9.2. 平面、直线与平直空间
9.3. 曲线、曲线长度与曲率
9.4.空间的曲率
9.5.测地线
10章曲线坐标
10.1.导言.  
10.2.曲线坐标系的定义
10.3.  协变基和逆变基
10.4.  曲线坐标语境下的积分与微分
10.5.  曲线坐标系举例
11章变换视角下的物理量
11.1. 物理量
11.2. 张量变换
11.3. 度规张量
11.4. 协变微分
12  广义相对论基础
12.1. 广义相对论的前驱
12.2. 为什么要推广相对论?
12.3. 等价原理与广义协变性
12.4. 广义相对论引力场方程
12.5. 测地线方程
12.6. 引力场方程的希尔伯特推导
12.7. 关于弯曲空间的数学知识补充
13章引力场方程的解
13.1 史瓦西解
13.2 德西特解
13.3 多余的话
14章广义相对论效应
14.1. 导言   
14.2. 反常水星近日点进动  
14.3. 引力弯曲光线 
14.4. 引力红移
14.5. 关于光的感叹
15整体相对论
15.1. 引力作用下的两体运动
15.2. 牛顿的水桶实验
15.3. 爱因斯坦的马赫原理
15.4. 整体相对论
15.5. 结语

附录相对论物理数学预备知识罗列
附录2. 相对论关键人物与事件
附录3. 爱因斯坦的物理学成就与年谱
附录4. 爱因斯坦相对论著作目录



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