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我们需要怎样的数学教育?

在各个层次的数学课程中,从小学到博士后水平,都缺失了重要的一环,就是对模糊和混乱的创造过程的忠实描述,而这个缺失是数学课让最积极的学生也感到厌倦的主要原因之一。如果对数学概念创造过程中的思想之舞没有深刻认识,就无法充分领悟数学的优雅和美丽。这个过程不像看上去那样难,但是需要彻底改变我们讲授数学的方式。我们需要在教科书中至少纳入一些错误的假设、推理和结论,让学习者在接触现代形式的定义之前体验到这些。我们需要像讲故事一样写教科书,让书中的角色经常被难住,不知道下一步该往哪里走。职业数学家每天都要用到这些策略,但是在教科书中和课堂上很少拿出来讨论。
 
本书的主题就是:讨论从模糊和定性到精确和定量的过程,或者说,如何自己发明数学。我所说的“发明”不仅仅是创造新的数学概念,还包括学习如何重新发明已经被其他人发明了的数学知识,从而获得对这些概念更深入的理解。这个过程以前从没有被明确讲授,然而它比任何数学课程都更为重要。
 
——《烧掉数学书:重新发明数学》作者Jason Wilkes
 
本书作者Jason Wilkes(美)拥有数学物理学和心理学双硕士学位,写作本书时在加州大学圣巴巴拉分校攻读进化心理学博士学位。
 
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撰文 | 唐璐(任教于湖南大学,《烧掉数学书:重新发明数学》之译者)
 
我们需要怎样的数学教育?这个问题从未像今天这样变得重要而又复杂。
 
被寄予厚望的数学教育
 
庚子年注定不平凡,新冠疫情尚未平息,中美冲突的阴影又笼罩在太平洋上,美国政府急不可耐扼杀华为等中国高科技企业的举动,一夜之间让光刻机这种小众工业设备成为了举国瞩目的焦点,仿佛是决定国运兴衰的胜负手。身处漩涡的任正非老爷子倒是处变不惊,密集走访中科院和多所名校,安抚各界情绪,并直陈要害不是光刻机,而是基础科学和人才培养。
 
大国之间的科技角力,明面上是人工智能、大数据、高端芯片和量子计算等领域的竞争,骨子里比拼的却是数学、物理等基础学科的创新研究和人才培养。没有一流的基础学科实力,就不会有一流的高科技实力,更谈不上有一流的国家实力。楼建得越高,地基就得打得越牢。
 
被寄予厚望的基础学科教育能否担此重任?目前的教育能不能为创新性基础学科人才的成长提供合适的土壤?我们是走在正确的道路上还是在南辕北辙?答案恐怕是不言而喻的。
 
数学教育的弊端
 
受科举历史传统的影响,中国学生在书本知识的学习上普遍投入大量时间和精力,由此使得绝大多数中国学生都承受着高考和学科竞赛的巨大压力(所谓的东亚内卷,尤其是近年来高中教育的普及和校外培训行业的发展,竞争压力迫使学生和家长不断加码资源投入,学业负担让人苦不堪言)。这也导致了教育体系(包括学校和培训机构)以应试为价值导向,以取得考试绩点为目的,这种导向在数学教学中的表现就是侧重解题能力的训练,因为要想在有限的考试时间内获取高绩点,最有效的手段就是集中精力训练解题技巧。
 
以获得考试绩点为目的,以训练解题技巧为手段,这样的数学教育会带来两方面的弊端:一是学习动力难以持久;二是学生会将数学等同于解题,对数学的认识产生偏差。
 
功利性目标扼杀对数学的兴趣
 
以获得绩点为目的学习数学,本质上是通过考试施加压力,用高绩点刺激学习者的大脑分泌多巴胺,从而为学习行为提供动力。这种做法会造成两个后果:一是在学习起步阶段没有获得好成绩的学生很难获得学习动力;二是获得了好成绩的学生一旦失去了绩点这根胡萝卜,同时也会失去学习动力。
 
中国学生在国际数学奥林匹克竞赛的成绩历年来都很出色,但获奖者中继续从事数学研究的人并不多,这是一大主因。因为很多奥赛参与者的出发点就是获奖,从而获得升学等一系列好处,这样一旦奥赛和考试游戏结束,无论获胜者还是失意者,这根胡萝卜都不复存在,除了职称和帽子,很多人再也找不到学习和研究数学的动力。这也造就了中国学生在以解题为主旨的国际数学奥林匹克竞赛中争金夺银如探囊取物,而中国的数学研究在国际数学界的影响却不大的尴尬局面。如果说数学奥赛是短跑,成为优秀的研究者则更像是长跑,而能让人维持长期行为动力的因素只能是兴趣。
 
强调兴趣驱动并不是要将兴趣放在与奥数相对立的立场上去。事实上,有很多一流的数学家,例如证明了庞加莱猜想的俄罗斯数学隐士佩雷尔曼,曾获得菲尔兹奖的华裔数学家陶哲轩,以及近年来在国际数学界声名鹊起的恽之玮、许晨阳等北大数学“黄金一代”,都曾是奥赛获奖者。追求绩点本身无可厚非,我们要警惕的是将绩点和获奖作为唯一或最重要的目标,从而让学生丧失了兴趣和长期学习的驱动力。
 
解题技巧训练误导对数学的认识
 
以训练解题技巧为主旨,是当下数学教育的另一大弊端。这其中对低龄儿童的解题技巧训练为害尤甚。在现实压力和利益驱动下,许多培训机构和焦虑的家长热衷于向低龄小学生灌输各种解题技巧。过早和过多的解题技巧训练严重违背儿童认知发展规律,直接扼杀了儿童对数学自然萌发兴趣的可能。而这种自然萌发的兴趣正是最宝贵的需要精心呵护的学习驱动力,回顾数学大师们的成长历程,最初的驱动力无一例外不是来自于这种自然萌发的兴趣遇到了宽松而有营养的环境。
 
对于中学生来说,面临升学压力无法回避大量刷题,但也不能因此放弃对数学本质的深入认识。过度的解题技巧训练并不能有效提高学生的数学认识水平,反而会误导学生将数学等同于解题,妨碍对数学建立正确的认知。
 
学术研究不同于考试和学科竞赛,关键在于创新而不是解题能力。只会解题而不擅长提出问题,就永远只能跟着别人的思路走,注定做不出一流的研究。只有将创新潜能释放出来,才有可能成为引领潮流的弄潮儿。因此数学教育应当让学生认识到,数学不是呆板的不容许变通的知识,而是一门动态的发展中的学科。
 
数学教育应当展示如何创造
 
数学创新能力可能来自天赋遇到合适的土壤;也可能来自师徒相授,耳濡目染大师创造数学的过程,从而习得其精髓。大部分人则只能通过阅读各种著作尤其是第一手著述来了解这个创造过程。现代数学已越来越专业化和严格化,学习前沿数学的门槛因此也水涨船高,需要学习大量的专业知识作为基础。然后在达到这一阶段之前,很多学生的思维已被过度的解题技巧训练固化,灵性已被磨灭殆尽。
 
对于大部分不会从事数学研究的学生来说,过多的解题技巧训练同样无益。应用领域与数学的发展相辅相成,数学的应用更侧重于针对现实世界现象的创造性抽象思维能力,而不是解题技巧。因此,在基础数学教育阶段,除了讲授解题,还应当向学生讲授数学思维的本质,展示数学的创造过程。
 
以获得绩点为价值导向,以解题技巧训练为主旨的数学教育体系,既不利于国家的人才培养,也不利于个人的真正成长。无数家长和学生投入不计其数的时间、精力和金钱,得到的却是国家和个人双输的局面。面对这种互害式的囚徒困境,一方面需要家长和学生对待绩点采取更加理性的态度,另一方面也需要数学教育专业人士站在更高的立场上不断进行新的尝试。
 
针对数学教育的两大弊端,好的数学教育应当回归数学的本源,展示出数学的创造过程,通过对数学知识体系构建过程的清晰呈现让学生既见树木也见森林,是引导学生兴趣,让学生入门的最佳途径。
 
“烧掉数学书”,另辟蹊径
 
在诸多数学教育方式的尝试中,近期出版的《烧掉数学书——重新发明数学》(湖南科学技术出版社,2020年9月)一书很值得关注。从书名可以看出,这是一本从知识的创造过程着手讲述数学的书。在这本书中,数学不再是课本灌输给我们的知识,而是我们的发明,是人类共同参与的创造活动的产物。这本书的目的不是帮你提升解题技巧,而是讲述数学为何是这样,用轻松的风格展示出数学的创造过程。
 
书名“烧掉数学书”并不是怂恿你真去烧书,而是提醒你对两类数学书保持警惕,要让这些书为自己所用,而不要让自己为书所困。
 
首先需要警惕的是把学生训练成做题机器的数学辅导书。在目前的中小学数学教学和培训中,绝大多数老师都将学数学视为学习如何解题。这也导致很多学生对数学的认识产生局限性,甚至视数学为畏途。学数学必须做题,但数学绝不是只有做题。《烧掉数学书》正是难得的一本能纠正中学生和大学生对数学的这种错误认知的书。
 
还有一类需要警惕的书是用严格性折磨学生的大学数学课本。不知有多少熬过了中学题海折磨的学生,仅存的一点对数学的热情被微积分课程严格的ε-Δ语言当头浇灭。受数学严格化和分支专业化影响,现代数学课本的作者热衷于让自己的著作无懈可击,然而注重严格性的阐述方式适合专业读者,却并不适合初学者。
 
对于初次接触微积分的学生来说,严格性并不是必需的,更重要的是理解微积分的思想根源。数学分析经历了两百年的发展才逐渐严格化,数学分析严格化的过程无疑是数学史中最瑰丽的篇章之一,但对于微积分的初学者和非数学专业学生来说,严格性绝对不是必需的,甚至构成了不必要的障碍。牛顿和莱布尼茨对微积分的阐述显然谈不上具有严格性,然而这并不妨碍他们是一流的数学大师。没有严格性的数学走不远,但严格性对于数学,就好比拐杖对于人,只是帮助我们前行的工具,而不是数学研究的目的本身,数学发展的精髓仍然在于天才直觉的引导。
 
针对数学教育中存在的这些弊端,《烧掉数学书》抛开传统的数学符号体系,用自己的语言重新发明数学。书中采用“作者”、“读者”和“数学”三个角色对话的形式,以小学生也能理解的加乘运算为基础,逐步发明出各种数学概念,首先发明函数、面积和斜率的概念,接下来就直奔要旨,干净利落地推演出微积分基本定理,然后又回过头来以此为基础,从级数和极限的角度推演出自然常数e和圆周率π的性质等数学知识。这些知识在中学数学中往往是作为事实未经解释直接给出,原因正是对其本质的理解需要以微积分为基础。《烧掉数学书》则另辟蹊径,从数学发展的本源出发重建了阐释体系,从而让读者可以融会贯通。整本书的推演过程如同侦探小说般环环相扣,精彩纷呈,看似无关的线索最后汇聚到一起,清晰呈现出微积分的思想发展脉络。
 
虽然仅以最基本的加乘运算为出发点,这本书的收尾却绝不简单,通过对函数概念的推广,最终将书中建立的体系推进到了非专业大学数学不会讲授的泛函。虽然这部分内容对于中学生来说可能略为艰深,但相信能坚持读到最后的读者一定会觉得不虚此行,因为这一部分最能体现出数学的终极武器——抽象化——的美和力量。
 
《烧掉数学书》最难能可贵和新颖之处在于,读者可以看到这些数学知识是如何被创造的,而且读者可以参与这个创造过程。针对当前的数学教育只重视解题技巧的弊端,《烧掉数学书》正适合当下的中学生或大学生阅读,了解数学家思考数学的方式,矫正应试教育造成的对数学的扭曲认知。
 
《烧掉数学书》面向的读者不限于正在学数学的学生,也适合认识到当前数学教育的弊端却又无可奈何的老师和家长阅读。作者虽然是美国人,但美国的数学教育面临的一些问题也同中国一样。书中对数学教育的弊端和如何改进有诸多探讨,相信思考过这些问题的老师和家长从中一定会找到许多共鸣和启发。
 
所有不甘心于自己对数学的理解停留在大学微积分课的似懂非懂,毕业后已经把数学还给老师的人同样可以阅读这本书,了解什么是真正的数学,摆脱曾被数学习题支配的恐惧,说不定还会发现自己原来具有数学潜质呢!
 
数学对于大多数人不应只是解题和晦涩难懂的符号,数学教育也不应只有功利性目的。面对绩点价值观引导下的数学教育现状,我们不能指望一本书就能带来多大改观。这就好比将种子撒播到石田,也许会颗粒无收,但种子也有可能掉落在石缝间的土壤上,有合适的机缘就会长出参天大树。在现实压力下,教育系统追求绩点无可厚非,但不应以扼杀学习兴趣为代价,至少应该为想要思考和探寻数学本质的学生提供机会和创造条件。进化出于生存的目的赋予了动物们眼睛和大脑,但人类的不同之处在于我们会用它们来仰望星空和思考无垠宇宙。



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