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横跨两种文化的数学家,爱因斯坦说他是自己伟大的老师


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卡拉西奥多里是20世纪最具影响力的数学家之一,一位被爱因斯坦尊称为老师的希腊裔数学家。他的教育与研究经历融汇欧洲两种文化,历经两次希土战争和两次世界大战的峥嵘岁月,为希腊一生赤诚。在学术方面,卡拉西奥多里对变分法、复分析、实变函数论、测度论等数学理论作出重要贡献;在物理学公理化问题上更是有杰出工作。而才华横溢的他精通多门外语,研究涉猎极广,还是一位出色的演说家。更不为人知的是,他有两位中国学生。关于这位大师级人物的中文资料较少,本文是作者精心梳理后所作,以飨读者。

 

撰文  范明

爱因斯坦的广义相对论彻底改变了人类对于宇宙时空的认知,但是很多人并不知道, 他曾得到过一位希腊裔德国数学家的帮助。爱翁在1955年去世前的最后一次公开讲话中说:“你们要求我回答各种问题,却没有人想知道谁是我的老师,谁向我展示了通往更高深的数学科学、思想和研究之路!我只想说我伟大的老师是无与伦比的希腊人康斯坦丁·卡拉西奥多里,一切都归功于他。”康斯坦丁·卡拉西奥多里 (英文:Constantin Carathéodory,希腊文:Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή,1873-1950)  祖籍希腊,生于柏林,在布鲁塞尔长大,在德国度过了大部分职业生涯。他跨越两种文化,是20世纪最有影响力的数学家之一。

康斯坦丁·卡拉西奥多里

双重文化背景

 

 

 

希腊是西方哲学、文学、戏剧、雕塑、建筑、史学、政治学、数学和科学的发源地,被称为“欧洲文明的摇篮”。古希腊人在数学和科学方面成就斐然,从创造神话故事来解释世事的神话史观开始,直到信奉"万物皆数"的毕达哥拉斯、"希腊三哲"之一的柏拉图、“几何学之父”欧几里得、科学巨人阿基米德等,可谓群贤毕至。爱因斯坦认为,西方文明对人类社会的两大贡献之一是古代希腊哲学家发明的演绎系统,另一个则是文艺复兴时期发展出来的实证传统。希腊语是世界上最早拥有元音字母的语言,这种语言将古希腊的民主、科学、戏剧和哲学最终推向全世界。对于全世界数学家来说,一个个希腊字母所代表的特殊含义,总能让人会心一笑,例如π表示圆周率、φ表示黄金分割率、ε表示无穷小量等等。

公元前2世纪,古希腊灭亡后成为罗马帝国的一部分,东罗马帝国以拜占庭为中心,孕育出东方色彩的希腊文化。1453年,奥斯曼帝国攻陷君士坦丁堡 (现为伊斯坦布尔) ,随后希腊进入奥斯曼土耳其帝国统治时期,直到1832年才正式宣布独立。1897年因克里特岛的归属问题,希腊王国和奥斯曼帝国之间爆发了第一次希土战争。1920-1922年间,又因小亚细亚事件爆发了第二次希土战争。法那尔人是传统上居住于君士坦丁堡法那尔区的东正教希腊裔居民,起源于16世纪后期一些富有的希腊裔商人 (多为罗马遗民) ,受过良好的西方教育,对于其希腊人身份具有认同感。17世纪末开始,法那尔人逐渐获得奥斯曼中央重用,许多人官居要职,成为帝国与欧洲各国交往的翻译和中间人。在19世纪希腊的独立运动和欧洲复杂的政治环境中,法那尔人也扮演了重要角色。

卡拉西奥多里来自君士坦丁堡法那尔区一个博学的希腊贵族家庭,家族多位成员担任过重要的帝国政府职务和驻外使节。卡拉西奥多里的父亲是一位律师,长期担任奥斯曼帝国驻比利时、俄国、德国的外交官。他母亲的祖上是希腊第五大岛希俄斯一个富商家族,传说希俄斯还是古希腊吟游诗人荷马和"医学之父"希波克拉底的故乡。1822年,希腊独立战争期间,奥斯曼帝国军队在希俄斯岛进行了大屠杀,卡拉西奥多里的母系家族先后移居意大利和法国马赛,因此他具有东西方双重文化背景。卡拉西奥多里对于物理学、语言学、哲学、政治、工程和考古等领域均有涉猎,他一生经历了两次希土战争以及两次世界大战的艰难时世,与20世纪上半叶的世界风云变幻紧密相连。

卡拉西奥多里六岁时母亲因病去世,他和妹妹由外祖母抚养。卡拉西奥多里从小接触来自东西方不同国家的外交、科学、法学和音乐界杰出人士,中学时代展露出对几何的兴趣,两次获得全德高中数学竞赛一等奖。他高中毕业后,遵循19世纪上半叶以来的家族传统,在比利时皇家军事学院接受土木工程师培训,并接受数学教育。1895年,卡拉西奥多里在克里特岛结识了希腊近代最著名的政治家之一韦尼泽洛斯 (Eleftherios Venizelos) ,二人成为终身好友。1897年第一次希土战争爆发,卡拉西奥多里表明了自己的政治立场。他后来前往埃及参加大坝修建工程和测量金字塔,业余时间自学数学,他还撰写了一本关于埃及历史地理的书,作为对这个迷人国家的告别礼物。

从左至右:卡拉西奥多里、他的父亲、妹夫和妹妹(摄于1898年)

 

走上专业道路

 

 

 

1900年是旧世纪的结束,也是新世纪的开始。希尔伯特 (David Hilbert) 在巴黎举行的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名演讲,提出了23个重要的数学问题,成为20世纪数学发展的最高纲领。正是在这一年 ,27岁的卡拉西奥多里进入柏林大学,开始数学专业的学习,两年之后他又来到当时的世界数学中心哥廷根大学读博。希尔伯特领导的哥廷根学派缔造了20世纪前30年的数学辉煌,那时国际数学界富有盛名的数学家近一半都出自哥廷根学派,在全世界学数学的学生中,最响亮的口号就是:“打起你的背包,到哥廷根去。”

卡拉西奥多里来到哥廷根后,受教于希尔伯特、克莱因 (Felix Klein) 等大数学家,哈恩 (Hans Hahn) 关于变分法的学术讲座开拓了他的视野。在另一位数学大师、希尔伯特的好友闵可夫斯基 (Hermann Minkowski)  指导下,卡拉西奥多里于1904年以《关于变分法中的不连续解》的论文获得博士学位,同年他参加了在海德堡举行的第三届国际数学家大会。在希尔伯特的建议下,1905年卡拉西奥多里取得Habilitation特许任教资格——德国的最高学衔,先后在波恩、汉诺威、布雷斯劳、哥廷根、柏林等地的高专或大学担任教授。

左图为卡拉西奥多里 (左) 与匈牙利数学家费耶 (Lipót Fejér),1911年二人合作证明了关于调和函数的Carathéodory-Fejer定理;右图为卡拉西奥多里 (右) 与希尔伯特。


1919年秋天,卡拉西奥多里的生活发生了戏剧性的变化。他接受了已成为希腊首相的韦尼泽洛斯的邀请,辞去了在柏林大学的教职,前往小亚细亚地区的士麦那筹建一所大学,以支持老友重建作为希腊化信标的爱奥尼亚海海岸的梦想。卡拉西奥多里试图以盎格鲁-撒克逊的大学为模型,创建一所东方最完美的大学,以及整个东方独一无二的收藏丰富的图书馆。因此他遍游欧洲,为新大学购买书籍和设备。1922年8月第二次希土战争结束前,士麦那被土耳其人占领后焚毁,他的设想因此没有成为现实。卡拉西奥多里是在士麦那坚守到最后的希腊人之一,在他的安排下,大学所有图书仪器移至雅典,希腊文明也和他一起离开了这片土地。1922年和1923年,卡拉西奥多里分别被聘为雅典大学数学教授和雅典国立工业大学力学教授。

1924年,卡拉西奥多里回到德国,应聘担任慕尼黑大学教授及系主任,恢复了自己辉煌的职业生涯,并将余生留在那里。卡拉西奥多里的数学兴趣深深植根于几何学和力学,他更是一位才华横溢的分析学家,对于数学的简单、自然和优雅具有极高的品味。卡拉西奥多里凭借其飞扬的精神和不懈的追求,在诸多数学领域做出了卓越贡献。他一生发表了60多篇学术论文,撰写了7部著作,解决了曾困扰高斯 (Carl Friedrich Gauss) 和欧拉 (Leonhard Euler) 等数学大师几百年的数学问题。至少有17条数学定义或定理以卡拉西奥多里命名,在美国数学会的《数学评论》杂志中有700多篇文章题目中带有他的名字,他还是迄今为止唯一获得德国科学院院士称号的希腊人。

 

数学物理成就丰硕

 

 

卡拉西奥多里的主要研究领域是变分法,即处理极值泛函的数学领域。变分法起源于一些具体的物理学问题,最早可追溯到1687年牛顿的最小阻力问题和1696年约翰·伯努利 (Johann Bernoulli) 的最速落径问题。18世纪欧拉开始对这一类问题进行系统研究,并在其著作《变分原理》中确定了相应学科的名称。1750年代欧拉和拉格朗日 (Joseph Lagrange) 提出了后来以二人名字命名的"欧拉-拉格朗日方程",综合了欧拉的几何方法和拉格朗日的解析方法,成为求解泛函临界值函数的关键定理,但缺点是不能分辨最大值、最小值或二者皆非。19世纪后期,魏尔斯特拉斯 (Karl Weierstrass) 先后得出弱变分极小值和强变分极大值的充分条件,被认为具有划时代意义。

在其博士论文及后续工作中,卡拉西奥多里把变分法中关于光滑曲线的理论推广到有角曲线,他基于汉密尔顿-雅各比方程构造极值场,证明了极值泛函的充分条件,并导出了欧拉-拉格朗日方程和魏尔斯特拉斯条件。卡拉西奥多里重新研究了变分法与偏微分方程的关系,近年来他的方法被应用于最优控制和动态规划理论。二战期间卡拉西奥多里编辑了欧拉的两卷关于变分法的著作,于1946年出版。卡拉西奥多里在几何光学方面的工作与他的变分法研究密切相关,他证明了除平面镜外,没有其他镜片可以避免像差,他还提出了施密特望远镜的理论。在1937年的著作《几何光学》中,卡拉西奥多里从柯西的特征理论出发,论证了惠更斯原理和费马原理的等价性。

复分析是研究复函数,特别是亚纯函数和复解析函数的数学理论,黎曼 (Bernhard Riemann) 1851年的博士论文《单复变函数一般理论基础》包含了现代复变函数论主要部分的萌芽,并为他后来的黎曼几何研究铺平了道路。黎曼在这篇论文中陈述了复分析最深刻的结果之一—— 黎曼映射定理,但其证明并不完整。奥斯古德 (William Fogg Osgood) 于1900年给出了该定理的第一个严格证明,1913年卡拉西奥多里给出了另一个严格及完整的证明并推广了定理,这也是第一个纯粹依赖于函数理论而非位势理论的证明,因此成为教科书中的标准证明方法。

卡拉西奥多里的两本著作封面,左图的《共形表示论》英文版于1932年出版;右图的《变分法和一阶偏微分方程》德文版于1935年出版,两卷英文版分别于1965和1967年出版。


19世纪以来,数学分析进入严格化阶段,开始构建公理体系。随着魏尔斯特拉斯关于实分析和复分析的基础研究,以及康托尔 (Georg Cantor) 的集合论工作的问世,经典的黎曼积分理论暴露出较大的局限性;勒贝格 (Henri Lebesgue) 在1902年的博士论文中创立了后来以他的名字命名的测度和积分理论,对20世纪数学领域做出了重大贡献。卡拉西奥多里对测度论进行了公理化研究,提出了勒贝格可测集判定准则及测度的延拓定理,并将其推广到布尔代数,成为抽象测度论的有力工具和现代测度论的基础。卡拉西奥多里对于常微分方程、多复变函数、凸几何、辛几何等也均有研究。

希尔伯特的23个数学问题中的第六问题是"公理化物理",他在1899年出版的《几何基础》教材中,确立了几何学严格的公理化基础,用以避免传统的欧几里得公理的一些弱点。1909年,卡拉西奥多里在《数学年鉴》上发表了开创性论文《热力学的基础研究》,他给出了平衡、态与热力学坐标等热力学基本概念的数学化定义,提出了热力学中不可逆的公理原理,指出状态的不可积性与熵的存在有关。他将热力学第二定律通过以下公理表达:“在一个系统任意平衡态的相邻态中,都存在经由可逆绝热过程不能达到的状态。”卡拉西奥多里关于测度论的工作为连续体物理和热力学公式的改进提供了基础,为伯克霍夫 (George Birkhoff) 将遍历性确定为度量传递性,还为考普曼 (Bernard Koopman) 和冯·诺伊曼 (John von Neumann) 引入希尔伯特空间上动力学系统的谱分析铺平了道路。

卡拉西奥多里的博士导师闵可夫斯基也是爱因斯坦在瑞士苏黎世联邦理工大学读书时的老师,而闵可夫斯基的四维时空为爱因斯坦的狭义相对论提供了数学表述结构。1916年,爱因斯坦在担任普鲁士科学院院士期间,期望对于他自己提出的广义相对论的数学基础有更深刻的了解,特别是关于静态宇宙中光和自由粒子的封闭轨迹相对应的测地线问题。因此他与卡拉西奥多里取得联系,请教汉密尔顿-雅各比方程和正则变换等“经典数学问题”,并很快得到卡拉西奥多里的回复及详尽的解释。两人1916-1930年间的全部通信收藏在瑞士首都伯尔尼的爱因斯坦博物馆以及希腊科莫蒂尼的卡拉西奥多里博物馆。1928年卡拉西奥多里作为美国数学会的第一位访问学者,担任哈佛大学客座教授。1936-37年度他再次访美,应邀在美国数学会100周年年会上发表演讲。

雅典街头的一幅壁画,左为卡拉西奥多里、右为爱因斯坦。

 

为希腊一生赤诚

 

卡拉西奥多里非常热爱古希腊文化传统和遗产,1920年代选定士麦那建立一所新希腊大学,就是他的提议,而这一设想随着1925年在希腊第二大城市塞萨洛尼基建立的亚里斯多德大学才得以实现。1930年卡拉西奥多里再次应韦尼泽洛斯之邀回到希腊,用两年时间重组雅典大学和亚里士多德大学。卡拉西奥多里访美期间虽然通常是作为一位德国教授被介绍,但他经常提到自己的希腊血统,并为能够提高希腊在美国的声誉出力而自豪。卡拉西奥多里是一位杰出的语言大师,除了母语希腊语和法语外,他还精通德语、英语、意大利语、土耳其语和古代语言。卡拉西奥多里也是一位才华横溢的演说家,1936年在挪威奥斯陆的国际数学家大会上,他被任命为菲尔兹奖评委会五位成员之一,在大会上发表演说并颁发了第一枚菲尔兹奖章。

卡拉西奥多里一项有趣的研究是关于帕特农神庙北面的柱座曲线和石柱间距,1937年他参加了希腊考古学会百年纪念活动并发表了自己的论文。兴建于公元前五世纪的帕特农神庙是为雅典城邦守护神雅典娜女神 (Athena) 而建的祭殿,得名于雅典娜的别号Parthenon,矗立在雅典卫城最高处。帕特农神庙是古希腊与雅典民主制度的象征,代表了古希腊建筑和雕刻艺术的最高水准。19世纪以来,多位英国建筑师测量和研究了帕特农神庙的柱座曲线,大都认为是一条抛物线。卡拉西奥多里则利用当时最新的测量结果,从数学角度进行研究。他的结论是:帕特农神庙的柱座曲线是一条半径为5560米的圆弧,因为在神庙建成百年之后圆锥曲线才被古希腊数学家梅纳希莫斯发现。

1924年当卡拉西奥多里来到慕尼黑时,那里已经为民族主义和反犹太主义提供了肥沃的土壤,但无人能预见到近十年后纳粹掌控德国的巨大灾难。二战期间卡拉西奥多里因其希腊血统受到一定程度的歧视,并且与德国中产阶级一样,对于纳粹在希腊的大屠杀以及驱赶科研机构的犹太人等罪行保持沉默。然而并不是每个人都可以成为"英雄",作为站在两个民族之间的人,卡拉西奥多里总是在他人需要时伸出援手。他利用自己在国际学术界的关系和声誉,帮助"非雅利安"的同行找到教职或逃离德国,包括一些著名数学家和科学家。卡拉西奥多里的儿女在家里只允许说希腊语,他的女儿Despina清楚记得,由于她曾在家里对纳粹给予正面评价,挨了一生中父亲唯一的一记耳光。

卡拉西奥多里一生中一直保持与希腊学术界的密切联系,他在雅典大学任教时的本科学生Evangelos Stamatis,后来研究古希腊经典数学并取得很大成就。在二战最艰难的时候,卡拉西奥多里帮助希腊拓扑学家Christos Papakyriakopoulos在雅典大学获得博士学位。战后卡拉西奥多里又竭尽全力,为德国重新融入文明世界做出贡献。卡拉西奥多里是一个具有良好教养并受人尊敬的人,他完全摆脱了在学术界屡见不鲜的虚荣和嫉妒,为别人的成就感到纯粹的喜悦。直到77岁去世前几天,卡拉西奥多里仍然坐在书桌前研究数学。1950年卡拉西奥多里卒于慕尼黑。

左图是1994年发行的两枚希腊邮票,上为卡拉西奥多里、下为泰勒斯;右图是位于慕尼黑南部森林公墓的他和夫人Euprhrosyne及儿子Stephanos的墓地,墓碑顶端设计成希腊爱奥尼式柱头。

 

两名中国学生

 

卡拉西奥多里一生指导了20余位博士学生,多人日后成为卓有成就的数学家,最早也是最著名的两位是毕业于波恩大学的Hans Rademacher和Paul Finsler。前者因其在解析数论、数学遗传学、实分析和量子理论方面的研究而知名;后者则定义了微分几何中的Finsler流形,证明了Hadwiger—Finsler不等式。卡拉西奥多里在慕尼黑大学与蒂采 (Heinrich Tietze) 和佩龙 (Oskar Perron) 组成了和谐的金三角,慕尼黑大学数学学院最大的演讲厅就以他的名字命名。在慕尼黑卡拉西奥多里作为第一导师指导了十篇博士论文、作为第二导师指导了七篇,他的最后一位学生是1947年毕业的Karl Weigand。在卡拉西奥多里的学生名单中还有两位中国人的身影,即1933年毕业的李达 (Ta Li,1905-1997) 和1940年毕业的徐瑞云 (Süe-yung Kiang,1915-1969) ,徐瑞云因已婚而冠夫姓"江"。

李达,字仲珩,湖南平江人,1924年考入东南大学。1933年,他在佩龙和卡拉西奥多里指导下,以《关于微分方程的稳定性问题》的论文获得慕尼黑大学博士学位。1932年9月4-12日,正在攻读博士学位的李达,与熊庆来、许国保一起,出席了在瑞士苏黎世召开的第九届ICM国际数学家大会,成为最早参加ICM的中国数学家之一,彼时中国数学会尚未成立。李达在会后第三天即写出长达五千字的《世界数学家会议记录》,11月1日同时在南京的《科学世界》和长沙的《世界旬刊》刊出。该文是20世纪上半叶中国数学家对国际性数学学术活动最早、最详细的报道,特别是记录了设置菲尔兹奖的由来:12日"宣告本会接收Fields奖章基金,成立委员会,以Caratheodory,Cartan Severi, Takagi (高木贞治) 为委员,讨论奖章应给何人,及给予方式。"

1935年回国后,李达先后在清华、山东、同济、蓝田师院及重庆大学任教,1942年出任重庆北碚的复旦大学理学院院长及数理学系的创系系主任,成为最高级别的教授。根据《复旦数理通讯》1948年第1期,该系“创立于民国三十二年秋。李先生以理学院长兼本系系主任……万分困难,但经其苦心计划,本系基础,因此奠定。”抗战胜利学校迁回上海,“各位先生皆具诲人不倦精神,因此师生间之感情融洽,研究气氛颇为浓厚。”1948年李达署名“李仲珩”,在《科学》杂志发表《三十年来中国的算学》一文,是第一篇对1918年以来中国数学各分支研究成绩较全面的回顾文章。1947年李达前往美国做访问研究并定居美国,他以数学物理方法见长,曾独立主持一个宇航科研部门及多个重要项目,并当选美国航空与航天研究院通讯院士。

李达在《世界旬刊》出版《世界数学家会议纪录》 (左图)。1955年,高等教育出版社出版了苏联数学家那汤松的著作《实变函数论》上下两册 (右图),由徐瑞云译。


徐瑞云祖籍浙江慈溪,出生于上海。她于1927年进入上海第一个由国人开办的女子学校——务本女中读书,1932年考入浙江大学数学系,师从著名数学家陈建功和苏步青,毕业后留校。1937年,徐瑞云和新婚丈夫江希明同时获得亨伯特奖学金,来到慕尼黑大学攻读博士学位。在卡拉西奥多里指导下,她于1940年完成了博士论文《关于勒贝格分解中奇异函数的傅里叶展开》,成为继刘叔庭之后中国第二位女性数学博士。 (编者注:长期来以来,徐瑞云被认为是中国第一位女性数学博士,但近年最新考证的结果是刘叔庭(Shu Ting Hsia Liu)。) 徐瑞云毕业回国后在浙江大学任教,后创办杭州大学数学系,为培养函数论方面的专业人才殚精竭力。1955年,高等教育出版社出版了苏联数学家那汤松的著作《实变函数论》上下两册,由徐瑞云译、陈建功校。徐瑞云还指导赵彦达翻译了卡拉西奥多里倾注了最后心血的著作《复变函数论》 (第一卷) ,可惜1985年该书问世时,徐瑞云已经含冤而逝16年了。

追求数学与诗歌之美

 

笔者第一次听到Carathéodory的名字,是40多年前在复旦大学读本科的时候。在实变函数论的课堂上,学到判别勒贝格可测集的卡拉西奥多里准则时,留下了深刻印象。在这个定理中,外测度就像一把精巧的手术刀,对点集E进行任意切割,而E可测的充要条件就是切割后两部分的外测度之和等于E自身的外测度。一方面,这一准则及其证明实在漂亮,是笔者大学时代最喜欢的定理之一;另一方面,卡拉西奥多里的名字极富音乐感,读起来朗朗上口,那时的课本上译为"卡拉泰屋独利"。然而对于卡拉西奥多里的生平,笔者竟一无所知,更没有听说过他的中国学生李达和徐瑞云——这两位距离我们不远的前辈数学家。虽然笔者几乎做完了那汤松所著《实变函数论》书上的全部习题,却从未注意过译者的名字,真是十分惭愧。

与卡拉西奥多里齐名的另一位20世纪的希腊人,是1963年诺贝尔文学奖得主乔治·塞菲里斯 (英文:Giorgos Seferis,希腊文:Γιώργος Σεφέρης,1900-1971) ,因其“对古希腊文化遗产充满深挚感情的卓越抒情诗作”,成为第一位获诺贝尔奖的希腊人。塞菲里斯出生于小亚细亚的斯弥尔纳城,在第二次希土战争中,诗人的故乡与士麦那一起并入土耳其,使他大受震动。数学研究与诗歌创作有异曲同工之妙,都需要丰富的直觉和想象力,共同的追求是简洁与和谐。不知道卡拉西奥多里与塞菲里斯是否有过交往,然而他们对于祖国的爱却是一样的,故乡希腊是他们精神激流的源泉和归宿。他们在数学中、在诗歌中寻找故园,那是在“异国天空下育成的种种情思和想念”。

雅典和柏林,是与卡拉西奥多里的一生有着不解之缘的两个城市。现以笔者拍摄的雅典帕特农神庙和柏林勃兰登堡门结束本文,后者是德国第一座新希腊建筑,其门顶的中央雕塑是希腊神话中的胜利女神尼刻。两座建筑均采用粗大雄壮的多立克柱式,特农神庙享有"史上最完美的多立克式神庙"的美誉。

雅典帕特农神庙(左)和柏林勃兰登堡门(右)


美国南密西西比大学丁玖教授阅读了本文初稿并纠错,特此致谢!文中其余图片均来自网络。

参考文献

1. M. Georgiadou,Constantin Carathéodory: Mathematics and Politics in Turbulent Times, Springer-Verlag, 2004.
2. H. J. Pesch, Constantin Carathéodory, a Greek-German Professor of Mathematics at the University of Munich in the Years 1924-1945 —— A Personal Statement, 2017.
3. G. P. Stevens, A Curve of the North Stylobate of the Parthnon, American School of Classical Studies at Athen, 1937.

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