在《冯·诺伊曼：无与伦比的天才（上）》中，我们介绍了冯·诺伊曼的早期时代：作为神童降临地球；进入大学后以及在哥廷根时期，他对集合论、博弈论、量子力学和算子理论的相关成就。在下篇里，我们继续他的天才故事。众所周知，因为纳粹政权上台，一大批顶级学者移民美国，冯·诺伊曼就是其中之一。在这里他继续发挥了自己的超常天赋，特别是在数学方面，仅在遍历理论方面的研究就“足以保证他在数学上的不朽”；而他还在曼哈顿计划、计算机科学等工作中贡献了彪炳史册的成果。最后，我们还能看到一个生活中的冯·诺伊曼，这位“火星人”的地球人一面。

 

撰文 | Jørgen Veisdal （挪威科技大学经济和管理学院工业经济与技术管理系 助理教授）

 

编译 | 哪吒

 

在美国

 

1929年10月，约翰·冯·诺伊曼受邀到普林斯顿大学讲授量子理论，这是他第一次来到美国，当时还是汉堡大学的一名编外讲师。1930年至1933年他在普林斯顿大学任客座教授。任期结束的同一年，希特勒首次在德国掌权，导致冯·诺伊曼完全放弃了他在欧洲的学术职位，并对纳粹政权声明，

 

“如果这些男孩再这样干两年，他们会至少毁掉一代人的德国科学。”

 

当然，许多事实证明冯·诺伊曼的预测是正确的。第二年，当纳粹教育部长问道：“既然摆脱了犹太人的影响，哥廷根的数学进展如何？”据说希尔伯特回答道：

 

“哥廷根已经没有数学了。”

 

在普林斯顿大学（1930-1933）

 

20世纪30年代中期，冯·诺伊曼（以及众多其他一流的数学家和物理学家）在新泽西州普林斯顿的处境如今已是众所周知。

 

根据维格纳所说（Macrae, 1992），在普林斯顿大学的推荐下，冯·诺伊曼和同为路德教会高中的同学尤金·维格纳一起被普林斯顿大学教授奥斯瓦尔德·维布伦（Oswald Veblen）招募：

 

“……不要仅仅邀请一个人，而是至少两个，他们两人已经彼此认识，不会突然觉得自己被放在了一个没有私人往来的孤岛上。约翰尼的名字在那时已经闻名世界，所以他们决定邀请约翰尼·冯·诺伊曼。他们看了看谁和冯·诺伊曼一起写文章?他们找到了维格纳先生。所以也给我发了一封电报。”

 

——摘自 Norman Macrae，John von Neumann（1992）

 

1930年冯·诺伊曼作为客座教授第一次来到普林斯顿。关于他在那里的工作，冯·诺伊曼自己在后来的生活中特别强调了遍历理论（Ergodic theory）。

 

遍历理论

 

遍历理论是研究确定性动力系统的统计性质的数学分支。形式上，它研究的是具有不变测度的动力系统的状态。通俗地说，想想太阳系中的行星是如何根据牛顿力学运动的：行星在运动，但支配行星运动的规则保持不变。在1932年发表的两篇论文中，冯·诺伊曼对这类系统的理论做出了基础性的贡献，其中包括冯·诺伊曼平均遍历定理（Von Neumann's mean ergodic theorem），该定理被认为是液体和气体统计力学的第一个严格的数学基础。这两篇论文的标题分别是“Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis（《准遍历假设的证明》）”和“Physical Applications of the Ergodic Hypothesis（《遍历假设的物理应用》）”。

 

 

《准遍历假设的证明》论文 图片来源：von Neumann, J. （1932）. Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis. Proceedings of the National Academy of Sciences 18 （1） pp. 70–82

 

 

《遍历假设的物理应用》论文 图片来源：von Neumann, J. （1932）. Physical Applications of The Ergodic Hypothesis. Proceedings of the National Academy of Sciences 18（3） pp. 263–266.

 

换句话说，作为测度理论的一个子领域，遍历理论关注的是允许长时间运行的动力系统的行为。冯·诺伊曼遍历定理是该领域两个最重要的定理之一，另一个定理由伯克霍夫（George David Birkhoff ）提出。根据哈尔莫斯（1958）的说法：

 

“从（冯·诺伊曼的）论文中获得的深刻见解是，整个问题本质上是群论的，特别是，测量问题的可解性与群可解性的普通代数概念是相关的。因此，冯·诺伊曼认为，是群的变化而不是空间的变化造成了差异; 用其他完全合理的群代替刚性运动的群，可以产生R2中不可解的问题和R3中可解的问题。”

 

——摘自Paul Halmos，Von Neumann on Measure and Ergodic Theory（《冯·诺伊曼论测度和遍历理论》，1958）

 

“如果冯·诺伊曼从未做过其他事情，这些东西就足以保证他在数学上的不朽。”

 

——保罗·哈尔莫斯（1958）

 

在高等研究院

 

1930-33年，冯·诺伊曼在普林斯顿大学做了三年的客座教授，然后他获得了高等研究院 （IAS） 终身教授的职位。他当时30岁。在此之前，该研究院曾计划将职位授予外尔，但未能如愿（Macrae, 1992）。仅仅成立了三年，冯·诺伊曼就成为了IAS的前六位教授之一，其他五位分别是詹姆斯·亚历山大（J. W. Alexander）、爱因斯坦、马斯顿·莫尔斯（Marston Morse）、奥斯瓦尔德·维布伦以及外尔。

 

 

新泽西州普林斯顿高等研究院

 

图片来源：Cliff Compton

 

当他1933年加入时，该研究所仍然位于普林斯顿大学Fine Hall的数学系。高等研究院由亚伯拉罕·弗莱克斯纳（Abraham Flexner）于1930年创立，由路易斯·班贝格（Louis Bamberger）和卡洛琳·班贝格·富尔德（Caroline Bamberger Fuld）的慈善资金资助，无论是过去还是现在都是一所与众不同的大学。受弗莱克斯纳在海德堡大学、万灵学院、牛津大学和法兰西公学院（Collège de France）的经历的启发，IAS被传记作家西尔维娅·纳萨尔（Sylvia Nasar）描述为：

 

“一个一流的研究机构，没有老师，没有学生，没有课堂，只有研究人员，免受外部世界的变迁和压力。”

 

——西尔维娅·纳萨尔（1998）

 

1939年，高等研究院搬到了自己的校园——“福德楼（Fuld Hall）”。在20世纪30年代初的几年时间里，高等研究院成功继承了哥廷根大学作为数学宇宙最重要的中心的宝座。这一戏剧性而迅速的变化被称为1933年的“大清洗”，许多顶级学者因为担心自身安全而逃离欧洲。其中，除了冯·诺伊曼和维格纳，当然还有爱因斯坦（1933）、玻恩（1933），冯·诺伊曼的布达佩斯同胞西拉德（1938）和爱德华·泰勒（1933），以及埃德蒙·兰道（Edmund Landau，1927）、詹姆斯·弗兰克（James Franck，1933）和理查德·柯朗（1933）等人。

 

 

高等研究院的部分职员，照片拍摄于1940年代末，前排左起：Dana Munro，Whitney Oates，爱因斯坦、Mario Laserna Pinzón、马斯顿·莫尔斯、莱夫谢茨（Solomon Lefschetz）；后排左起：冯·诺伊曼（在背景中可见）、摩根斯特恩、威尔克斯（Samuel Wilks）。

 

 

在高等研究院计算机MANIAC前，左起：比奇洛（Julian Bigelow）、戈德斯汀（Herman Goldstine）、 奥本海默和冯·诺伊曼。

 

几何

 

在高等研究院期间，冯·诺伊曼创立了连续几何学领域，这是复射影几何学的类比，其中子空间的维度不是离散集0,1，…，n，它可以是单位区间[0,1]的任意一个元素。

 

连续几何是一个格L，具有以下性质:

 

- L是模

 

- L是完备的

 

-格运算满足连续性

 

- L中的每个元素都有一个“补”

 

- L是不可约的，即只有0和1两个元素有唯一的“补”

 

就像他的遍历理论一样，冯·诺伊曼发表了两篇关于连续几何的论文，一篇证明了它的存在并讨论了它的性质，另一篇给出了例子:

 

von Neumann (1936). Continuous geometry. Proceedings of the National Academy of Sciences 22 (2) pp. 92–100. （《连续几何学》）

 

von Neumann (1936). Examples of continuous geometries. Proceedings of the National Academy of Sciences 22 (2) pp. 101–108.（《连续几何学实例》）

 

曼哈顿计划（1937-1945）

 

除了学术上的追求，从30年代中后期开始，冯·诺伊曼在爆炸科学方面发展了专长，这是一种很难用数学建模的现象。特别是，冯·诺伊曼成为了聚能装药（shaped charges）数学方面的权威，这是为了能够使爆炸能量集中的一项装药技术。

 

根据Macrae所述，到1937年，冯·诺伊曼已经预料战争即将来临。尽管他显然适合高级战略和作战工作，但他谦逊地申请成为美国陆军军械预备役中尉。作为军官预备役部队的一员，意味着他可以无阻碍地获得各种各样的爆炸统计数据，而他觉得这些更有吸引力（Macrae, 1992）。

 

 

冯·诺伊曼在洛斯阿拉莫斯（Los Alamos）时的证件照片

 

 

冯·诺伊曼与费曼、乌拉姆在洛斯阿拉莫斯（Los Alamos）交谈。

 

毫无疑问，冯·诺伊曼对原子弹的主要贡献不是作为军械部预备役的中尉，而是在于爆炸透镜的概念和设计上。后来投放在长崎的“胖子”所用的钚核就用了相关设计。

 

1944年，作为曼哈顿计划的成员之一，冯·诺伊曼证明了爆炸冲击波从固体反射而来增加的压力比之前认为的要大，这取决于它的入射角。这一发现促使他们决定在目标上空几公里而不是在撞击地点引爆原子弹（Macrae, 1992）。1945年7月16日，在内华达州的沙漠中，“三位一体”原子弹成功引爆，冯·诺伊曼也在场。这是人类第一次原子弹试验成功。

 

哲学上的工作

 

1957年冯·诺伊曼在美国哲学学会的演讲

 

图片来源：Alfred Eisenstaedt摄

 

Macrae指出，冯·诺伊曼不仅是他一生中最重要的数学家之一，在很多方面，他也应该被认为是他那个时代最重要的哲学家之一。阿姆斯特丹大学哲学教授约翰·多林（John Dorling）特别强调了冯·诺伊曼在数学哲学（包括集合论、数论和希尔伯特空间）、物理学（特别是量子理论）、经济学（博弈论）、生物学（细胞自动机）、计算机和人工智能方面的贡献。

 

他在计算机和人工智能（AI）方面的研究最早出现在20世纪30年代中期。当时他在普林斯顿，第一次见到了24岁的艾伦·图灵，后者于1936-37年在IAS待了一年。图灵的职业生涯始于与冯·诺伊曼同样的领域——集合论、逻辑和希尔伯特的判定问题。1938年，当他在普林斯顿完成博士学位时，图灵扩展了冯·诺伊曼和哥德尔的工作，引入了序数逻辑和相对计算的概念，用所谓的预言机（Oracle machine）扩充了他以前设计的图灵机，允许研究超越图灵机能力的问题。尽管冯·诺伊曼询问图灵是否愿意在他获得博士学位后担任博士后研究助理，但图灵拒绝了，并回到了英国（Macrae, 1992）。

 

在计算方面的工作

 

“在这里待了一个月后，我和冯·诺伊曼谈论了各种归纳过程和进化过程，他说：“当然，这就是图灵所说的。”我问：“图灵是谁?”他说，“去查一下1937年的《伦敦数学学会学报》。”

 

事实上，有一个通用机器来模仿所有其他机器……只有冯·诺伊曼和少数人理解。当他明白了这一点，他就知道我们能做什么了。”——比奇洛（Julian Bigelow）

 

——摘自George Dyson，Turing's Cathedral（《图灵的大教堂》，2012）

 

尽管图灵离开了，但冯·诺伊曼在30年代末和战争期间仍在思考计算机问题。根据他在曼哈顿计划的工作经历，1944年夏天，他第一次被宾夕法尼亚大学摩尔工程学院的ENIAC项目吸引。在观察过预测爆炸半径、规划弹道路径以及破解加密方案所需的大量计算后，冯·诺伊曼很快就意识到了大幅提高计算能力的必要性。

 

1945年，冯·诺伊曼提出了一种计算机体系结构，现在被称为冯·诺伊曼体系结构，其中包括现代电子数字计算机的基本要素：

 

包含算术逻辑单元和处理器寄存器的处理单元；

 

包含一个指令寄存器和一个程序计数器的控制单元；

 

可存储数据和指令的存储单元；

 

外部存储器；

 

输入和输出机制；

 

冯·诺伊曼和IAS机器，此机器有时被称为“冯·诺伊曼机器”，从1942年到1951年被放在“富德楼”的地下室（拍摄：Alan Richards）

 

同年，在软件工程领域，冯·诺伊曼发明了所谓的归并排序算法（Merge Sort Alogrithm），该算法将数组分成两半，然后递归排序，然后再合并。冯·诺伊曼亲自用墨水为EDVAC电脑编写了前23页的排序程序。

 

此外，在1953年发表的一篇名为“Probabilistic Logics and the Synthesis of Reliable Organisms from Unrealiable Components（《概率逻辑与从不可靠组件合成可靠有机体》）”的开创性论文中，冯·诺伊曼首次引入了随机计算，然而这个想法是如此具有开创性，以至于在接下来的十年里都无法实现（Petrovik & Siljak, 1962）。与此相关，冯·诺伊曼通过对自我复制结构的严格数学处理，开创了细胞自动机领域，这比DNA结构的发现早了几年。

 

尽管冯·诺伊曼在他的一生中都很有影响力，但他确信现代计算机的核心概念实际上是来自于图灵1936年的论文“On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem（《可计算数及其在判定问题中的应用》）” ——Fraenkel（1972）

 

“冯·诺伊曼坚定地向我表示，我相信他也向其他人强调过，这个基本概念是图灵的功劳——巴贝奇（Babbage）、洛夫莱斯（Lovelace）和其他人都没有预料到这一点。”

 

—— Stanley Fraenkel（1972）

 

顾问

 

“我们想要系统招标的唯一部分是你刮胡子时的想法：我们希望你把投入到事物中的任何想法都传递给我们。”

 

——摘自兰德公司负责人给冯·诺伊曼的信（Poundstone，1992）

 

在美国的职业生涯中，冯·诺伊曼为各种私人或公共事务和国防承包商提供咨询服务，包括国防研究委员会（NDRC）、武器系统评估小组（WSEG）、中央情报局（CIA）、劳伦斯·利弗莫尔国家实验室（LLNL）和兰德公司。此外，他还是美军武装部队特种武器项目（AFSWP）的顾问，原子能委员会总咨询委员会成员，美国空军科学咨询小组成员，并在1955年担任原子能委员会（AEC）委员。

 

 

私人生活

 

尽管冯·诺伊曼担任过许多职务，承担过很多责任，有大量的研究成果，但作为一名数学家，他有着一种不同寻常的生活方式。如Vonnauman（冯·诺伊曼的弟弟）和哈尔莫斯描述道:

 

“派对和夜生活对冯·诺伊曼有着特殊的吸引力。冯·诺伊曼在德国教书时，曾是卡巴莱时代柏林夜生活圈的常客。”——Vonnauman（1987）

 

冯·诺伊曼家里经常举行聚会，很有名，时间也很长。——哈尔莫斯（1958）

 

 

冯·诺伊曼和他的妻子克拉拉·丹（Klára Dán）与宠物丨图片来源：Alan Richards

 

他的第二任妻子克拉拉（Klára）说，除了卡路里，他什么都能数。

 

冯·诺伊曼也喜欢意第绪语和黄色笑话，尤其是打油诗（Halmos，1958）。他不吸烟，但在国际吸烟协会收到了投诉，因为他经常在办公室的留声机上非常大声地播放德国进行曲，让隔壁办公室的人分心，包括爱因斯坦。事实上，冯·诺伊曼声称，他的一些最好的作品是在嘈杂、混乱的环境中完成的，比如在他家的客厅里，电视机的声音一直很响。尽管他开车技术不好，但他喜欢开车，还经常一边开车一边看书，导致了多次被捕和事故。

 

 

冯·诺伊曼1938年在佛罗里达州大沼泽地

 

图片来源：Marina von Neumann Whitma

 

作为一个思想家

 

冯·诺伊曼的密友乌拉姆这样描述冯·诺伊曼对数学的掌握：

 

“大多数数学家熟悉某一种数学过程（方法），或者是有某一种数学能力。例如，诺伯特·维纳（Norbert Wiener）精通傅里叶变换。一些数学家能够掌握两种方法，就可能会给只知道其中一种的人留下深刻印象。而约翰·冯·诺伊曼已经掌握了三种方法:

 

1）对线性算子进行符号操作的能力；

 

2）对任何新数学理论的逻辑结构有一种直观的感觉；

 

3）对新理论的组合方面的上层结构有一种直观的感觉。”

 

传记作家西尔维娅·纳萨尔描述了冯·诺伊曼自己的“思考机器”，下面是关于所谓的“两列火车谜题”的轶事:

 

两个自行车骑手开始相距20英里，南北相向而行，保持每小时10英里的行驶速度。与此同时，一只苍蝇以每小时15英里的速度从南边自行车的前轮出发，飞向北边；遇到北边自行车的前轮，然后转身再飞往南边自行车的前轮，继续这样下去，直到它被两个前轮压扁。问：苍蝇飞行的总距离是多少？

 

有两种方法来回答这个问题。一种方法是计算苍蝇在两辆自行车之间每一段行程所覆盖的距离，最后将它们相加得到无穷级数。更简便的方法是观察到自行车在出发一小时后会合，这样苍蝇只有一个小时的旅行时间；因此答案肯定是15英里。当这个问题被提交给冯·诺伊曼时，他立刻就解决了，因此让提问者很失望:“哦，你以前一定听说过这个诀窍！”

 

“什么把戏？”冯·诺伊曼问，“我所做的只是对无穷级数求和。”

 

——摘自Nasar，A Beautiful Mind（《美丽心灵》，1998）

 

作为导师

 

 

埃德加·洛奇（Edgar R. Lorch）在1934年的一篇论文“Szeged In 1934”中描述了他在20世纪30年代作为冯·诺伊曼助手的工作经历，他的职责包括:

 

参加冯·诺伊曼关于算子理论的讲座，做笔记，完成未完成的证明，并将其分发到美国所有大学的图书馆；

 

协助冯·诺伊曼作为《数学年鉴》（Annals of Mathematics）编辑的工作，阅读每一份接受出版的手稿；在希腊字母下面划红线，在德国字母下面划绿线，圈出斜体，在页边空白处写下给印刷厂的笔记；每周去印刷厂一次，指导他们排版；

 

将冯·诺伊曼大量长达100页的论文翻译成英文；

 

“他流畅的思路让那些缺乏天赋的人难以理解。他会在黑板上空出的一小部分上匆匆写出方程式，在学生还没来得及抄下的时候就把公式擦掉了，这一点让他臭名远扬。”

 

——摘自N.A. Vonneuman，John von Neumann: As Seen by his Brother（《兄弟眼中的冯·诺伊曼》， 1987）

 

晚年

 

 

1956年，艾森豪威尔总统（左）授予约翰·冯·诺伊曼总统自由勋章

 

1955年，冯·诺伊曼被诊断出癌症，可能是骨癌、胰腺癌或前列腺癌（关于哪个诊断是最先做出的，说法不一），当时他51岁。经过两年病痛的折磨，他最终只能坐在轮椅上。冯·诺伊曼于1957年2月8日去世，享年53岁。传闻他在临终前，一字不落地背诵了歌德《浮士德》每一页的前几行，以此来安抚自己的弟弟（Blair，1957）。

 

冯·诺伊曼被安葬在新泽西州的普林斯顿公墓，而他一生的朋友尤金·维格纳和哥德尔在多年以后也葬在这里。哥德尔在他去世前一年给他写了一封信，现在这封信已经被公开了。计算机科学家哈特马尼斯（Hartmanis）在The Structural Complexity Column（《结构复杂性专栏》）中详细讨论了这封信（主要讨论P=NP问题）。摘录如下:

 

1956年3月20日哥德尔写给冯·诺伊曼的信：

 

尊敬的冯·诺伊曼先生:

 

听说您病了，我非常悲痛。这消息来得很意外。摩根斯特恩去年夏天已经告诉我，您曾经有过一种软弱无力的表现，但当时他认为这并没有什么大不了的。据我所知，在过去的几个月里，您接受了彻底的治疗，我很高兴这种治疗如预期的那样成功，而且您现在正在好转。我希望并祝愿您的病情能尽快好转，如果可能的话，最新的医学发现将会使您完全康复。

 

……

 

我很高兴能听到您的个人消息。如果有什么需要我帮忙的，请告诉我。谨向您及您的夫人致以最美好的问候和祝福。

 

您真挚的

 

库尔特·哥德尔

 

P.S. 我衷心祝贺美国政府授予您的荣誉

 

电视访谈

 

值得注意的是，在20世纪50年代早期，美国全国广播公司（NBC）的节目《美国青年想知道》（America 's Youth Wants to Know）中有一段对冯·诺伊曼的采访视频（如下）:

 

对于任何有兴趣更多地了解约翰·冯·诺伊曼的生活和工作的读者，我特别推荐他的朋友乌拉姆1958年发表在《美国数学学会简报》（Bulletin of the American Mathematical Society）上的文章“John von Neumann 1903-1957”和麦克雷的传记John von Neumann（《天才的拓荒者——冯·诺伊曼传》）。

 

（全文完）

 

本文译自Jørgen Veisdal，The Unparalleled Genius of John von Neumann

 

https://www.cantorsparadise.com/the-unparalleled-genius-of-john-von-neumann-791bb9f42a2d