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射影几何模型的应用:彭罗斯扭量理论丨展卷

在艺术家试图用图像的方式在平面上创造空间和三维形式的错觉时,射影几何学(Projective geometry)就诞生了。数学上,射影几何是研究关于射影变换不变下的几何性质的专门学问。而它在物理上还展现了特别的意义,从狭义相对论用四维时空所描述开始,到晶体结构以及通向量子引力的路径上等等,这项在19世纪蓬勃发展的学问至今仍焕发着生机。

《时空投影:第四维在科学和现代艺术中的表达》作者托尼·罗宾是当代著名艺术家,四维几何计算机可视化的先驱。他在探索艺术上起源于毕加索的立体主义(Cubism)的不同四维模型表达时,也探究了它们在现代数学思想和物理学的应用,将艺术与艺术史、数学与科学融合在一起。本文即讨论彭罗斯提出的扭量理论中包含的射影几何思想,彭罗斯将其与复数联系在一起构建出时空本身,并由此发展出一系列的强大的数学工具。来自艺术家的视角将帮助我们理解这门深奥的理论。

“这是一部修正主义数学史,也是一部修正主义艺术史。”本文选自《时空投影:第四维在科学和现代艺术中的表达》第7章,有删减,小标题为编者所加。点击文末“阅读原文”可购买此书。点击“在看”并发表您的感想至留言区,截至2021年11月7日中午12点,我们会选出2条留言,每人赠书1本。

撰文 | 托尼·罗宾

翻译 | 潘可慧 潘涛

校译 | 潘涛

空间真的是由无量纲点(dimensionless points)组成的吗?高中数学和常识说它是,但有另一种数学和常识说之前就错了。为了说明常识的谬误,爱因斯坦举了一个椅子被推到舞台上的例子。常识认为,推力移动椅子,因为当推力停止时,椅子就停止。原因和结果再清楚不过了。但是,你可以猛推一把椅子,这样它就会在没有人推的时候继续移动。这个小小的反例,给常识带来了难题。对此反例的长期考虑最终导致了对摩擦力的研究(牛顿第一定律指出,运动中的物体继续运动直到停止),这导致了对行星围绕太阳的运动的理解。物理学家罗杰· 彭罗斯也以类似的方式关注了直线有时是点这一表观佯谬。围绕这一佯谬的研究,他得出了一个全新的空间概念,并有希望将物理学各个独立的、看似不可调和的分支统一起来。

光 锥

在开始考察彭罗斯佯谬(Penrose’s paradox)前,请先考虑光锥(light cone),它是所有聚集在时间和空间点上的光的一部分。此外,在当前时刻,光的闪光从一个特定的位置扩展,而作为向外传播的光线的前缘的球面形成了光锥的上半部。因为很难想象四维图形,所以惯例是把光锥画成双尖纸帽,其中的圆圈代表光的球面,两条边代表光的时间流逝的历史。对于许多讨论点,在较低维度情况下的推理与在较高维度的情况下的推理是相同的,且绘图更容易。

“夹点”表示空间中某一特定位置的当前时刻。沿着光锥的垂直时间轴传播,就是在时间流逝时停留在原地;沿水平轴传播是随时随地,以无限的速度运动。这些轴可以校准,这样垂直轴上的一个滴答等于 1 秒,而水平轴上的一个滴答等于 300,000 米。通过这种校准,在 45 度对角线上运动就是以光速传播。

因为面朝下的光锥是由所有在特定时刻特定位置聚集在一起的光线组成的,所以观察者在这个夹点所能知道的就是锥内的信息。在内部,慢于光速的光线就可以到达观察者;在外部,光线或信息的传播速度必须比光速更快才能到达观察者,这是不可能的。因此,面朝下的光锥代表因果过去。同理,面朝上的光锥从那时起就描述了在那个地方因果未来的所有可能性。光锥表面则代表恰好以光速行进的光线或信息。

彭罗斯指出,这类光锥图产生一个佯谬:“点 Q 坐标t, x, y, z距原点的闵可夫斯基距离OQ,由OQ2=t2-x2-y2-z2给出。注意,如果O位于 O 的光锥上,则 OQ2=0。”(Penrose 1978,111 页)光子(光被认为是粒子的基本单位)本身,按照定义以光速行进,它的产生位置与其消灭位置之间根本没有距离,这两个事件之间也没有时间间隔。光子无处不在,它将在同一时刻出现。对于某些观者来说,过去、现在和未来可能有区别,但就光子而言,这一系列有序的点之间没有任何距离。直线有时也必须是点。为了准确地表示这种事态,光锥必须重新绘制,使其中的一些直线只是点,也就是使面朝下光锥的圆形底座和面朝上光锥的圆形底座不被任何距离隔开。彭罗斯从它的角度表达了光线的真实情况,画了一幅画,其中两条光线在一个球面上变成了两个点,其长度被缩小为零(图 3)。

要使这一论证具体化,需考虑一个在恒星 4.3 光年之外的核爆炸中产生的光子,它被眼睛吸收并转化为化学能时,就结束了它的存在。其路径长度约为 4.06×1013米。但是,如果某人以非常高的速度行驶,那么这条路可能只有原来的一半长;在 95% 的光速下,这条路只有原来距离的 30%。

考虑那个著名的双生子例子,如果一个人乘坐宇宙飞船,以接近光的速度旅行,而另一个人待在地球上,这对双胞胎的年龄就不一样了。或者,对于那些不那么喜欢假设的物理谜语的人来说,要考虑粒子加速器,当物质加速到接近光速时,放射性物质样本的半衰期实际上会根据静止时钟(以及与其他物质相比)减慢。狭义相对论方程所描述的扭曲是有物理实在(physical reality)的,光锥图必须解释这一事实。

彭罗斯的替代光锥也提供了误导的信息,因为它没有显示所有作为点的光线的球面从现在开始缩小或向外生长,就像产生闪光时的情形。包括零在内的各种长度的光线佯谬是由描述它们的空间模型产生的,如果它们被认为是空间中的直线(line in space),模型中的问题就不可避免。彭罗斯的创造性飞跃,乃是意识到还有另一个几何对象可以模拟光线:射影直线(projective line)可以容纳光线的所有长度。(为了保持术语清晰,我将射影几何中的线称为“射影直线”,而在其他几何学中称之为“空间中的直线”,这是强调射影直线与背景无关的区别。)

从表面上看,射影直线看起来像是空间中的直线,但它却截然不同,更加丰富。在射影几何中,存在着直线和点的基本对偶论;凡是谈论其中一个,就可以谈论另一个。射影点用比率(齐次坐标)表示,高维空间中所有满足这一比例的点都被认为是同一点。一旦这种想象飞跃发生,射影直线就越来越准确地描述了光线。射影直线具有一系列有序的点,但是——类似于光线——它们没有确定的长度。就这一点而言,射影直线上某一范围内的点可以通过多个射影变换合法地重新排列,那些投影将一条直线投影回自身,这对于空间中的直线上的点来说则不可想象。19 世纪射影几何的成就是逐渐将射影几何从笛卡儿 x, y 网格中移除,并跟踪因不同投影而变化的测量值时,在图形中保持不变的情况。因此,并不存在网格是射影直线(即光线)的专有定义。

没有潜在的空间网格的事件空间的前景,对物理学家来说是很有吸引力的。一段时间以来他们一直对物理学的戏剧应该在一个预先确定的空间(不管它如何弯曲或扭曲)舞台上发挥出来的想法感到不爽。根据广义相对论,空间是物质的创生。根据粒子物理学,物质在空间之外产生,是从时空的虚粒子(几乎不可能有任何物质的单位)中冒出来的。如今弦理论提出,物质最终由一维实体组成,与任何三维物质单位相比,一维实体对纯几何的亲和力要大得多。圈量子引力(loop quantum gravity)比其他形式的弦理论有价值,它的发明者之一李·斯莫林(Lee Smolin)说,这主要是因为“我们真的可以以一种背景独立的方式来看待空间和时间,把它们看作一个关系网”(Smolin 2001,179 页)。对于彭罗斯来说,这些关系网的单位由射影直线构建:“我们把时空认为是从属的概念,而把扭量空间——原先是光线空间——认为是更基本空间。”(Hawking and Penrose 1996,110 页)“通常的时空概念……是由扭量基本成分构造出来的。” (Penrose 2004,963页)

扭量空间

彭罗斯经常写道,想象一位观看夜空的观者,恒星的宇宙就像一个球体(被称为“天球”或者“天图”),观者在其中心。另一位站在离第一位观者一段距离的观者,也看到了一个天球。通常情况下,这两个球体可以简单地通过旋转一个球体使之与另一个球体重合在一起。然而,如果第二个观者以接近光速行进,这种方法将无法奏效;球体中存在光的畸变,简单的旋转不会产生重合。例如,如果第二个观者直接从静止的第一个观者身边经过,但正以很大的速度向北极星移动,那么天球上的恒星就会被挤压到北极区;如果第二个观者经过第一个观者的一侧,天球上的恒星将被旋转到一边,然后挤压到北方。当然,运用洛伦兹变换会从另一组重新计算一组恒星位置,但是彭罗斯注意到一组更简单的变换,即莫比乌斯变换(与莫比乌斯带没有关系)也会获得成功。

要使莫比乌斯变换起作用,天球上的位置必须用复数重新编号:形为a +b i 的数字,其中 i 是虚数。复数通常表示在平面上,其中第一个数(实部)是在水平轴上的位置,第二个数(虚部)是在垂直轴上的位置,完全复数是用这两个轴作为地图坐标定义的平面上的位置。这整个二维平面,代表了一组相关的复点(complexpoints),可以被认为是一条复直线(complex line)。射影直线的行为就好像它们是封闭的,因此经常被建模成圆:左无穷大和右无穷大是一样的。“所选择的(射影几何的)公理非常普遍,允许坐标属于任何场:不是我们可以使用有理数的实数,而是复数。”(Coxeter 1961,231 页)因此,射影直线需要不仅是一条实点直线,还可以是一条由复数组成的直线。若它既是复数又是射影,则直线就只有一个无穷远点。这条复线,被建模成只有一个无穷远点的平面,卷成一个球,称为黎曼球面。

对于莫比乌斯变换,天球被映射到这个数学球面上。若使用极坐标(从球面中心的角度导出)代替经度和纬度坐标,则计算进一步简化。这种对复数和极坐标的改变,结果是一个意想不到的好处。不仅洛伦兹变换的计算更容易进行,彭罗斯说的广义相对论中的计算也更容易进行。此外,射影空间中的复数是量子物理工作的首选数学系统;至少这两个不同的物理学分支现在可以使用同一种数学语言。

彭罗斯指出,“在基本的扭量对应中,(闵可夫斯基)时空中的光线在(射影)扭量空间中用点来代表,而时空点则表示为黎曼球面”(Hawking and Penrose 1996,111 页)。当用齐次坐标表示时,空间中的直线就变成了点。当做出射影和复时,点变成复射影直线,即黎曼球面。彭罗斯将光线射影模型的相关性与复数的便利性结合起来,构造了复射影三维空间,即扭量空间(twistor space)的定义(图4)。扭量不是无质量粒子,不像矢量是无质量粒子,但扭量是对无质量粒子可能性的描述,因此是对空间的描述(图 5)。在许多著作和讲座中,他对这些元素之间的有机联系感到惊讶:天球的狭义相对论洛伦兹变换也是莫比乌斯变换;莫比乌斯变换假定黎曼球面及其内含的复射影几何;光线最好模拟成射影直线。

我找到了我的空间!

射影几何学和复数的结合还有进一步的协同作用,这是一个凝聚在一起的整体,远远大于其各部分看似无害的总和。描述无质量粒子自旋的此种自然方式,就是这些令人欣喜的结果之一。

观者总是位于天球光线的中心,因为光线在当前时刻聚集在一个特定的位置上,组成观者的天图(sky map)。这些光线,若延续到未来,则构成未来一半的光锥,即观者的反天图(anti-sky map)。对于光线本身,这两幅天图被“视为等同”,意思是它们被合(即“胶合”)在一起因为光线的长度为零。彭罗斯谨慎地说,过去光锥和未来光锥的这个紧化(一个数学术语,指“系统的完成”)只是一个数学上的“方便”,但是一个有信息的“方便”。光线穿过夹点时,它们的位置在光锥的上半部分被反转。紧化,就相当于在光线中加一个扭曲。

另一种将光锥紧化的方法,是在闵可夫斯基空间(Minkowski space)中添加一个无穷远光锥(图 7)。添加一个无穷远元素,是射影几何封闭一个空间的既定技巧。这种紧化的结果,构造了复射影三维空间。彭罗斯意识到,由闭环组成的紧化光锥是三维球面(球面的四维类似物)的霍普夫纤颤(一组链接的圆)。这是一个久已为人所知的数学事实,即在三维球上的某些平行路径随着它们的推进而扭曲。彭罗斯认为,这一几何事实必须解释无质量粒子自旋的起源,尽管所有的细节还没有搞清楚。为了界定光线扭转的方向,光线的描绘必须有一个附加的结构,而这是通过添加旗子来实现的:把光线看作旗杆,把旗子看作附在旗杆上的刚性信号旗(图8 )。(旋量,即随它们推进而旋转的矢量,就是这样被描述的,而扭量则以旋量数学为基础。)现在可以跟踪零射线(零长度的光线)的扭曲,并将其看作紧化的必然结果,紧化本身就是在其自身参考系中具有零长度,从而成为一个射影实体的光线的必然结果。

射影几何学与复数融合的另一个令人欣喜的结果,是时间之矢的更加清晰的画面。虽然没有什么比过去发生的事情和尚未发生的事情之间的区别更明显,但这种区别无论是从几何角度还是从物理学角度看并不明显。举一个物理学的例子,想象一下早晨的太阳使一片雾气变暖。当阳光击中雾中的水分子时,水分子会被加热,开始以渐增的能量四处运动。随着分子四处运动并撞击其他分子时,云团扩展,密度降低,直到云最终蒸发。但是,把注意力集中在水的分子反弹上,晨雾的大画面就消失了。如果只拍摄了几个分子的特写电影,人们就无法分辨电影放映是向前还是向后,因为物理学定律不会区分跑向未来的事件还是跑向过去的事件。在局部上,即使雾总体上正在消散,分子的碰撞也能将雾凝聚成孤立的斑点。在这个例子中,有一个清晰的全局时间之矢和一个混乱的局部时间之矢。

也存在相反的情形。人们可以通过考察光线的自旋,在局部检测光线,看看它们是向前移动,还是向后移动。右旋螺钉被标记为正且随时间向前移动,左旋螺钉被标记为负且随时间向后移动。现在,问题在于构建全局箭头(global arrow)。彭罗斯解释道,“量子场论需要把诸场量分解成正频和负频部分。前者顺时间传播,而后者逆时间传播。为了得到理论的传播子,人们需要一种把正频率(也就是正能量)部分挑出来的办法。扭量理论是完成这种分解的一个(不同的)框架——事实上,这种分解正是扭量的一个重要的原始动机” (Hawking and Penrose 1996,107 页)。

彭罗斯详细叙述了 1963 年 12 月 1 日一次驾车旅行的确切时刻,当时他意识到,有一种方法可以将这些局部观测结果构造成一个完整的全局图景,用来描述时间箭头(arrow of time)。他认识到,实线将复平面分为正虚部和负虚部,这种基本的分解也是用黎曼球面来模拟的。从北极向南半球上的点的投影等同于负频率,随时间向后退行,而从北极向北半球上的点的投影则等同于正频率,沿光锥上部的方向(反天映射)随时间前行。这一分析给出了时间方向的全局图景。彭罗斯宣告:“我找到了我的空间!”(1987 年,第 8 节;2004 年,993 页以后)

通向实在之路

天球只定义了时空中的一个点,即观者在当前时刻的位置。光锥的所有光线在时空中的单个点汇聚。因此,每个扭量只定义单个点。问题变成如何将这些点组装成由离散元素组成的协合空间,以及如何在没有已有的坐标系的情况下做到这一点。换句话说,我们的目标是定义一个空间,首先它具有量子粒度(quantum graininess),因此不是无限可分的;其次它完全由自身组成,而不涉及任何其他系统。按照物理学家的说法,此种空间应该是组合空间,与背景无关。早在 1958年,彭罗斯就提出了自旋网络(一个带有内部计数系统的拓扑拼砌)的概念来表达这样的空间。到 1968 年,他开始发表这一观点,十年后,自旋网络在数理物理学界中广为人知。彭罗斯将这一想法描述如下:

这里描述的理论中出现的“方向”皆由系统之间的相互关系所定义,它们一般不会与先前给定的(且是不必要的!)背景空间中的方向一致。在这里获得的空间,将被认为(确实必须被认为)是由系统本身决定的空间。希望对上述方案的一些修改能够考虑到诸系统相对速度的影响,从而也许可能建立四维时空。(上述理论中不含时间,甚至到事件的时间顺序与此无关的程度!)(Penrose 1979,306 页)

自旋网络后来的发展证明,在大型聚集体中,它们的外观和功能类似于空间,因此与经验是相容的。该方案的各种修改已经发展,包括高维自旋泡沫。但是,目标仍然是“得到那种完全离散的、明显是‘组合的’理论框架……要深入到大自然的最微细致尺度上来理解其运作机制,这一框架是必不可少的”(Penrose 2004,958 页)。

彭罗斯对扭量的希望是,它们可以用来弥合当代物理学中相对论和量子物理学之间最严重的鸿沟,首先把它们放在同一个编号系统中;还有一个很大的鸿沟要跨越;量子物理学是关于过去的故事;后向光锥描述因果过去。如前所述,所有可能影响当前时刻的事件都必须在光锥内,因为只有这样,任何信息或影响才有时间到达当前时刻。过去在光锥外发生的任何事件,都必须以比光速更快的速度在当前时刻到达指定的地点。从相对论者的观点来看,物理学是关于未来的故事。事件受到引力相互作用的影响,此时此刻质量扭曲了局部空间,从而改变了未来。未来光锥向引力质量倾斜;甚至类时间路径(在空间中没有任何方向,但只是通过时间)向质量倾斜。

量子力学的佯谬在于,过去光锥之外的事件似乎确实影响(即纠缠)在当前时刻所做的测量。为了解释因果关系锥外部事件的佯谬,一种流行的观点认为光锥必须是模糊的(fuzzy);它们朦胧的表面,包括可能被误认为在光锥之外的点。彭罗斯设想,存在许多毗连的、叠加的光锥,事件是模糊的,直到它们卡入其中的一个或另一个:“在扭量处理中,则是‘光线’未变但‘事件’变得模糊。” (Penrose 2004,966 页)这种量子多重态(quantum multiplicity)通过“水平大约为一个引力子(gravitron)或更大的尺度”的引力相互作用,被分解成明确的经典结果(Penrose 1989,367 页)。

另一项建议是认为光锥是刚性的,这样,倾斜未来光锥也会倾斜过去光锥,从而扫进光锥并导致外部的因果过去事件。如果人停下来想一想,光锥的刚性旋转是完全反直觉的:过去就是过去,一去不复返,而未来则受当前事件的影响。从现在开始的事件,没有理由影响过去的情况;毫无疑问,光锥应该会在其夹点处合上。当然,如果光锥由空间中的线组成,它们就会分裂。我建议将光线解释为射影直线,解释光锥在旋转时如何保持刚性。从零射线的角度来看,从过去到现在到未来的路径不可能有分离,因为这些点之间没有距离。光线的射影性质意味着光锥不能在其夹点处合上,因此必须是刚性的。使未来光锥倾斜以改变可能的未来不可避免地使过去光锥倾斜,将光锥以外的事件带入因果过去。

彭罗斯的扭量纲领,可以概括为主要基于三个洞见。他意识到,光线的路径更像是射影直线,而不是空间中的直线,洛伦兹变换也可以作为莫比乌斯变换来完成,而光锥的完整图景(紧化图景)将它们描绘成三维球面上连在一起的平行圆圈(霍普夫纤颤)。接下来至少有四个有希望的结果。所有的物理学,包括相对论,都可以使用相同的复数作为测量系统。粒子中自旋的起源,被看作几何学的函数。全局时间之矢,及其对熵(entropy)的影响,与空间的描述结合。最后,这一扭量纲领保证了一个与背景无关的空间组合结构。彭罗斯承认,尽管这个庞大而未完成的扭量纲领目前在纯粹数学领域取得了比物理学更全面的成功,但研究人员各自仍在继续研究这个纲领的不同部分。自旋网络连同其对非连续空间的描述,尤其鼓舞人心。此外,在过去两年里,爱德华· 威滕(Edward Witten)找到了一种把扭量和弦理论结合起来的方法,通过这些思想的融合,他可以在更可信的四维,而不是弦理论通常的十一维上搞弦理论。

虽然彭罗斯经常被贴上柏拉图主义者的标签,因为他专注于几何学的首要地位来定义什么是可能的,但彭罗斯实际上更像一个亚里士多德主义者,他坚持认为我们所观察到的就是实在,我们的问题来自应用了一些错误的模型。“对于那些时空维数超出我们直接可观察(即1+3)的理论,”彭罗斯说,“我看不出有何理由值得相信,它们使我们背离了物理学认识的方向。”(Penrose 2004,1011 页)彭罗斯有时又说,扭量只是一种替代表述:“它可能被简单地看作为解决标准物理理论中的问题提供了新的数学方法。”相反,扭量可能被视作为所有物理学基础提供了一个替代框架,其特点是“事件概念(时空点)从主要角色降到次要角色”(Penrose and Rindler,第 2 卷, viii 页)。在这个表述中,扭量的价值是深远的;彭罗斯想要用反直觉的复数和射影来换取反直觉的高维。既然它们在数学上等价,就采取更接近我们体验的空间模型。射影模型(projective model)把我们从错误的空间概念中解放出来,使我们走上了通向实在之路(The road of reality)。

 



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