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数学中的直观、定义与表达

在数学教程中如何给出定义,经常是值得研究的。好的定义应当揭示概念的本质,是“what”层面的,而不是“how”层面的。


撰文 | 姜树生

本文所讨论的数学问题,主要与数学教育有关。

对于一个数学概念的理解,直观、定义与表达这三个方面都是需要的,但有各不相同的作用。

在小学数学的初级教程(具体说就是自然数的认识)中,这三个方面是混合在一起的,既要有直观(从扳着手指头数数开始,实际上要做很多实验),又要学记数法(进而就可以计算),最终要形成自然数的概念。在这个过程中,难免有不适当的做法,甚至走弯路、犯错误,但如果最终形成了自然数的概念,在学习过程中有些缺点出些错误都无可非议。就如孩子学走路,难免跌跌爬爬,磕磕碰碰,甚至受点伤,但只要最终学会走路就行。

然而近年来,有些自以为高明的教学法,从很小就教孩子学习记数和计算,不重视甚至忽略直观。其结果可能使得孩子在速算比赛中获奖,但却不能自觉地应用数学解决生活中的问题,更没有培养创新能力。其实只是一种虚荣而已。

到了中学数学教程中,上述三个方面逐渐分开,教学法与小学有显著的不同。

首先来看无理数的概念。在早年的大多数教科书以及当今的一些教科书中基本上是这样讲的: 首先以例子说明无理数存在,具体说就是有的“数”不等于两个整数的比,最常见的是边长为 1 的正方形的对角线的长度(有的教科书中给出其无理性的证明)。认识到无理数的存在,就可以进一步形成实数的概念,即有理数与无理数的全体。至于无理数表达为无限不循环小数,很多教科书是不讲的,或者仅举具体的例子让学生体会。这样的讲法尽管没有给出实数的定义,却是适合大多数学生。实际上大多数人一辈子也没见过实数的定义,但这并不妨碍他们在工作中使用实数,因为数学的严谨性是由数学家保证的,一般人尽可以放心大胆地使用。

但是,如果有学生问“什么是无理数”,准确地说就是不满足于直观,希望从根本上搞清楚实数的概念,教师应该怎样回答呢?这样的学生是千里挑一,而能回答这样问题的中学教师也是千里挑一。问题仅在于千里挑一的学生能否遇到千里挑一的老师。

有的老师会回答说:“无理数就是无限不循环小数”,在有些教科书或课外书中也看到这样的“定义”。然而,“无限不循环小数”只是无理数的一种表达方式,而不能作为定义。从哲学上说,任何一个定义必须是针对一个客观存在的对象,否则就可能落入逻辑陷阱。(一个典型的例子就是“所有集合的集合”,若引入这个“定义”,整个数学体系就崩溃了。)首先需要明白实数是一种客观存在,然后才能谈它的表达。

有效的实数定义至少有两个,一是用戴德金分割,一是用基本叙列。两个定义是相互等价的,但风格迥异,前者几何味较浓,后者代数味较浓。(从数论的眼光看,实数是整数在“阿基米德位”的局部化。)要想理解实数的实质,最好两个定义都读懂(若能从数论的角度理解当然更好)。但这两个定义都颇不简单,而且定义后还要建立各种运算、大小关系、极限等。对于一般的中学生甚至大学生,难度都是相当高的。因此,在中学数学教程和大学高等数学教程中不引入实数的定义,是明智的。

但若在中学或大学数学教程中以“无限不循环小数”作为无理数的定义,则是非常不明智的,非但不能使学生明白,反而会使很多学生误以为懂了。如 [4] 中所说:

“不怕不懂,就怕不懂还自以为懂。”

再来看平面几何。在几何教科书中有很多定义,但这些定义都不是“原始”的,原始的概念如点、直线、平面等都是只有直观没有定义的,但它们由公理体系界定。用现代的语言,几何对象可以定义为满足一些条件 (公理) 的若干集合所组成的体系。硬要定义直线、平面等是不会有好结果的,所幸还没听说有这样的教科书。

不过在现行中学数学统编教科书中,很多几何概念的定义有严重缺陷,例如把直观当作定义,或语义含混 (详见 [2])。

回过头来再看实数的概念。非常值得一提的是数轴的直观。将实数理解为数轴上的点,对于大多数学生是理解实数(包括无理数)的一个有效途径。有了无理数的例子,再有数轴的直观,对于普通学生就可以有效地讲授实数概念。换言之,几何直观是理解实数的一个有效途径,对于中学生是不可或缺的。

对于多数学生有较高难度的定义还有一些,如概率。对于这类概念,只讲直观而不讲定义,常常是明智的。但常常还需要给出表达方式,并进一步给出“操作”(如计算)方法。这样学生就能够运用这些概念,做出有创新性的工作,尽管可能最终也没有完全搞懂某个概念。此外,通过应用也有可能提升对于概念的理解。

简言之,如果学生能理解,直接讲定义对于建立数学概念最有效;而若大多数学生不能理解,最起码也不应该讲假的定义,或者忽悠学生。

在大学数学教程中也有定义方面的问题。

先来看微积分教程。随便找一本微积分(或数学分析)教科书,就会看到其中积分(黎曼积分)的定义颇不简单。在数学分析教程中,一元函数的积分定义为一个颇不平凡的极限,判别其存在性还要用到达布和等,相当复杂而费解。在非数学专业的微积分教程中,这部分内容只是简化了些(实际上是偷工减料),复杂度基本未变,所以未必比数学分析教科书容易懂;但另一方面,对这些内容都不会布置作业,更不会考试(包括研究生入学考试),徒然浪费时间且让学生头疼。

顺便指出,各版本中学教科书中的积分概念也是这样写的,对于中学生当然就更头疼了,甚至很多中学教师也看不懂。

学过实变函数论就知道,一元函数黎曼可积等价于几乎处处连续,直观地说,其实离连续函数没多远。在黎曼积分的应用中实际上主要是针对连续函数,至多是分段连续函数。对于一般的学生,由黎曼积分其实只是学到面积的一个定义,何况这还不是一般的定义,例如一条一般的约当单闭曲线所围成的区域的面积,就不能用黎曼积分来定义(在康妥的时代就知道,曲线可能有非零的面积)。所以,花了那么多的时间那么大的功夫学黎曼积分,只是学到一个特殊情形的面积定义而已。然而,一般人都有面积的直观,并不需要面积的定义。(如果关心面积的定义,可以看勒贝格积分或更一般的定义,如动力系统中对于维数和测度的定义。)因此,为了理解积分的概念,至少对大多数学生,不如局限于连续函数的积分。

如果将连续函数的积分定义为“有向面积”,就很容易理解且不需要花多少功夫。具体说,对于闭区间 [a, b] 上的连续函数 f(x),由直线 x=a,x=b,y=0 和曲线  y=f(x) 围成的图形具有面积,将直线 y=0 上方的面积看作正的,下方的面积看作负的,这样得到的总面积称为有向面积。将 f(x) 在 [a, b] 上给出的有向面积称为它的积分,记为
 

由此定义不难证明牛顿-莱布尼兹公式
 

 

而积分的一些其他基本性质如  (r, s为实数),分部积分法、换元法以及一些初等函数的积分等,利用牛顿-莱布尼兹公式都很容易证明 (有些甚至可以作为习题)。利用张景中先生制作的辅助软件,一堂课就足以讲清楚积分的基本概念和牛顿-莱布尼兹公式,这已经超过中学课程标准的要求了。至于黎曼积分的原始思想——分割成竖条作面积和再取极限,可以直观地讲一下,不讲也可以,不需要花费很多课时,其实只有少数学生会关注。

再来看线性代数教程。“向量”是最重要的基本概念之一。在目前所见到的很多教科书 (其中有些是早年的) 中,向量定义为有序数组。这样的定义不仅费解 (与解析几何中的定义相距甚远),而且向量的运算还要另外定义。一般说来,要直到学了很多内容后才明白向量是什么。

这样的定义有明显的缺陷,没有揭露向量的本质。详言之,有序数组是向量在取定的坐标系下的表达,是“how”层面的,而好的定义应该是“what”层面的。

从“what”层面看,向量就是向量空间的元素,脱离向量空间来讨论向量是没有意义的。向量的运算,都涉及多个向量以及它们之间的关系。所以,要明白什么是向量,归根结底要明白向量空间。

然而,很多线性代数教科书中根本就没有向量空间。即使有,很多教师也不讲。常见的理由是,向量空间太“抽象”,学生难以理解。那么,基于向量空间的很多概念和定理,当然就更不能讲了。

其实向量空间的概念并不算很“抽象”,国外一些大学本科代数教科书是先讲群论后讲线性代数,显然比我国的线性代数或高等代数教科书更“抽象”。另一方面,我国现在的中学生都要花很多工夫学集合,但从教科书上看不到有什么用(除了刷题)。若是对于向量空间概念的高明之处有所领悟,至少会觉得集合是有用的。所以,至少有一部分学生理解向量空间并无困难。而对于有困难的学生,需要教育者的耐心,例如可以采取如下的途径讲授。

注意学生在解析几何中学过平面向量和空间向量,而且知道一些物理应用。在初等的数学和物理教科书中一般会讲向量的直观,即“既有大小又有方向的量”,而且较好的教科书中还会指出,这只是一种直观,并非既有大小又有方向就是向量 (例如电流)。学生通过物理意义可以对向量有正确的理解,尽管还没有向量空间的概念。那么,从向量的这些直观概念推进到一般的向量空间,本质上只是维数可以不受限制。因此,可以先复习解析几何中的平面向量和空间向量,包括它们的直观意义和物理应用,然后系统地复习和整理向量的运算,再复习和整理向量在直角坐标系下的表达。然后举例说明高维的向量也是有数学和物理意义的。由此引导到一般的向量空间,就不很“抽象”和难于理解了。当然这需要多花费一些时间,但对于后面的学习是有利的。

也许您会反驳说:“把向量定义为有序数组,我没觉得费解呀,而且很容易很方便。”好的,那我们接着往下看。您总不至于停留在向量水平吧,那么下面要理解张量。按照“有序数组”这个路子,很多教科书是这样定义张量的: 一个n维r阶张量由一组数组成,其中每个脚标取1至n的整数,所以共有nr个数;如果用一个n×n-矩阵 (aij) 改变坐标系,则各需要做一个以aij的函数为系数的坐标变换 (具体的变换公式甚为复杂且与张量的共、反变性有关,此处从略)。您还觉得这样的定义不难理解且方便吗?


 

如果理解了向量空间,那么要理解张量只需要再往前走一步,例如将域K上的两个向量空间V, W的张量积 定义为它们的对偶空间 上的所有 K-双线性函数组成的空间,它同构于 ,也同构于。有了张量积就很容易定义张量了 (参看 [3])。这样直接从“what”层面理解,显然容易得多也简单得多。

还值得指出,一般不能说定义的对错(Yuri Zarhin 曾无奈地说: “Well,every definition is correct”),只能说定义的优劣。一个好的定义能够揭示客观存在或自然规律,启迪思维,引导有意义的研究方向。在极端的情形,甚至一个好的定义就解决了问题。遗憾的是很多定义有缺陷。有的教科书将直观当作定义,毫无科学严谨性可言,有些还颇为费解,或语义含混,或几乎是同义反复(参看 [2]),这些都是误人子弟。有些定义虽然严谨,但没有背景,不自然(有人为设置的条件),在极端的情形甚至所定义的东西根本不存在。尽管由这样的定义可以推导出一些定理,可以写论文发表,但对科学并无贡献,也不会有应用,只是逻辑游戏而已。还有一类情形,虽然所定义的对象是客观存在且值得研究的,但定义的条件复杂或费解(如上面所说的将表达作为定义),尤其不利于初学者。其中有些还可能导致偏见或心理障碍。

由上所述可见,在数学教程中如何给出定义,经常是值得研究的。这是张景中先生所说的“教育数学” (参看 [6]) 的一个课题。

参考文献

[1] 姜树生: 谈数学教育的特殊性——兼谈如何处理数学与教育学的关系. 数学通报 2008 年第 4 期

[2] 姜树生: 现行统编中学数学教科书有多烂 (2016)

[3] 李克正: 《抽象代数基础》,研究生数学丛书 6. 清华/Springer 出版社 (2007)

[4] 李克正: 现代社会对于劳动者的数学素质的需求 (2019)

[5] 其故: 得数学者得天下. 返朴网 (2019)

[6] 张景中: 谈谈教育数学 (2021)

 



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