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流体力学的另一个江湖

如果将传统流体力学形容为一个江湖,N-S方程无疑是这个江湖最伟大的传说,只可惜这本“旷世秘籍”没有人能解开。于是流体江湖的三位大佬——雷诺、布辛涅司克和普朗特各自使出了自创的神功“雷诺平均的N-S方程”、“涡粘性假设”以及“混合长度理论”,将无法求解的N-S方程劈开了一个口子,从而开启了计算流体力学百年的RANS时代。

而近三十年来,尤其是进入新世纪以后,一种基于LBM的CFD方法慢慢走入大众的视野,无论是思想、方程还是实际操作过程都和传统CFD完全不同,甚至有传统CFD大佬直呼“It’s a magic”。随着LBM在工业领域的大放异彩,人们开始关注LBM的历史和今天。相对于N-S方程,LBM更像是流体力学的另一个江湖。

撰文 | 卢比与钢蛋

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LBM中的L才是源头?

LBM(Lattice-Boltzmann Method)中文译为“格子玻尔兹曼方法”,自然以玻尔兹曼输运方程和麦克斯韦-玻尔兹曼分布为根基,不过在这个名字中,首当其冲的“格子”二字,才是LBM几十年发展的源头。而要问“格子”到底是从哪里来的,则必须从LBM的前世老祖——元胞自动机(cellular automata,缩写为CA)说起。
 

自动机,顾名思义就是自己可以动的机器,比如鲁班造的木鸢、孔明先生的木牛流马(手动狗头)。从计算理论上来说,自动机指的是一种抽象的自行式计算设备,自动遵循预定的操作顺序。

而元胞自动机指的是有一组规则的元胞(或格子),每个元胞都有某些状态(比如白或黑),当分配好初始的状态和演变规则后,下一个时刻元胞的状态由前一时刻的状态和周围元胞的状态确定,类似于我们玩过的贪吃蛇游戏。元胞自动机天然是一种时空离散的计算模型,其概念最早由斯坦尼斯拉夫·乌拉姆(Stanislaw Ulam)和冯·诺依曼(Von Neumann)于1940年代提出。他们当时在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室工作,后来许多LBM领域的先驱也曾研学于此。

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当格子遇见流体力学

元胞自动机的概念催生了一些应用,比如细胞生长、沙丘堆积、城市发展的预测等等,其特点是使用微观粒子的时空积叠来描述宏观现象。而在流体力学领域,最初的应用典范便是格子气自动机(Lattice Gas Automaton,缩写为LGA)。格子气自动机使用布尔变量表示流体粒子在空间格子上的存在与否。在格子气自动机中,流体粒子存在于这些格子上,并严格按照格线迁移或者碰撞。这些粒子的演化只与自身状态和相邻粒子相关,因此可以方便的进行分区计算。而粒子的有无仅用0和1便可表述,不存在迭代的收敛问题。这与传统求解流体问题的思路大相径庭而又容易理解,当时这种方法风靡一时,甚至被誉为划时代的方法而登上了华盛顿邮报的头版,如同一入江湖便风头无限的少侠。

1972年,法国学者J. Hardy,Y. Pomeau和O.de Pazzis提出了第一个LGA模型,即HPP模型;1986年,U. Frisch,Y. Pomeau和美国学者B. Hasslacher提出了一个对称度更高的正六边形的LGA模型,即FHP模型,该模型成功的恢复了不可压缩N-S方程。而在Physical Review的125周年纪念专刊上,这篇文献也成为唯一入选的流体类文章。

少侠的出场虽然霸道,可是想要成为大侠尚需时日。随着方法的深入研究,人们发现LGA也有其天生的缺陷。对于湍流问题,LGA由于自由度(速度方向的数目)太低难以精确描述;而布尔运算又在局部带来了明显的数值噪声;更重要的是,通用计算机已朝着浮点运算的方向迅猛发展,只进行布尔运算则效率很低,人们不得不专门研制硬件。

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LBM的雏形

为了应对LGA的种种缺陷,1988年McNamara和Zanetti从分子混沌的假设(忽略分子之间的相关性)出发,把LGA中的布尔运算替换成实数运算,粒子不再是0或者1,而演化为大神玻尔兹曼的分布函数f,并用玻尔兹曼输运方程代替了LGA的演化方程,叩开了格子波尔兹曼方法的大门。1989年,Higuera和Jimenez又引入平衡态分布函数feq简化了碰撞算子。

随后,LBM的发展迎来了华人之光。1991年,陈十一、陈沪东以及J.M.V.A. Koelman等学者分别独立提出了基于BGK单松弛模型将碰撞算子线性化的思路,即以控制趋近平衡态快慢的方式简化碰撞算子;而后,钱跃竑和陈沪东等学者又分别基于不同形式的格子和BGK模型,并使用麦克斯韦-玻尔兹曼分布来代替平衡态函数feq,并恢复了N-S方程。从此以后LBM开启了从少侠走向大侠的武学探索之路。

值得一提的是,上述方法源自于1954年Bhatnagar、Gross和Krook为简化玻尔兹曼输运方程而提出的碰撞间隔理论,又被称为格子BGK模型(即LBGK)。看来想要成为一代武学大师,还是需要旁征博引,啥武功都要会一点。

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从LBM到流体力学

相对于LGA,LBM有两个巨大的优势:

在方程左侧利用统计函数消除数值噪声

在方程右侧使用碰撞算子的连续函数代替离散的碰撞规则

于是,LBM在速度分布函数和LBGK的加持下,就如同武林高手打通了任督二脉一样,展现了巨大的优势和潜力。

在LBM方法中,速度分布函数f依赖于位置与时间,因此在传统力学(物理量是位置和时间的函数)框架下,f依然是个连续的量——这也是它在宏观框架下亦能代表流体运动的基本依据。同样,由于f同时包含了位置、速度、时间的信息,而压力、密度等宏观变量通常只与位置和时间相关,因此如果对微观速度进行积分而移除其依赖性,即可得出各类宏观变量。

如下图所示,如果对分布函数、粒子质量及微观速度等的组合进行统计,则可得出宏观的密度、动量和能量。压力是粒子动量的体现,而温度被粒子动能表征,宏观速度则最直接,它是微观速度的期望——这些参数都可由移除微观速度依赖性的积分得出。LBM表面上看还是离散的方程,却有连续的属性——因此它一定程度上也具有欧拉以及N-S方程求解器的特质,相比LGA更为贴近于传统理解的流体力学。

对于被LBGK所代替的碰撞项,也具有丰富的内涵——人们虽然不再纠结于粒子之间的相互作用力与碰撞方式,而是把它简化为刚性碰撞,但即便是刚性碰撞,也需要复杂的积分才能完成,而LBGK完成了碰撞算子的线性化。另外,LBGK描述了原始碰撞的零阶物理过程,这也意味着,如果想使用LBM求解复杂本构关系的物质,只需要修改碰撞项即可。

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从LBM到CFD

从LBM到流体力学,仿佛郭少侠南下中原之后,跟随洪七公学习降龙十八掌。理论上降龙十八掌是天下第一刚猛的武功,可是郭少侠使出来效果如何,那就要去真正的江湖上试一试了。LBM从理论上搭建了微观速度分布函数和宏观物理量之间的关系,那么LBM究竟如何在计算流体力学的领域施展自己的抱负呢?相对于传统CFD的求解过程,基于LBM的CFD可谓是大道至简,用尽全身的力气打出去这一掌就可以了。

如上图所示,LBM的实施流程为:首先对全部格子的流场进行初始化,然后施加粒子的输运和边界条件算出中间过程的分布函数f*,而后求出密度和宏观速度,再计算此状态下的平衡态函数,最后施加粒子的碰撞,得出更新的速度分布函数f,此后就是循环迭代,直至计算结束。LBM凭借着其独特的技术优势在学术界和工程领域得到越来越多的关注。不过,也总给人感觉有点“根不正,苗不红”,正如大漠的人们都以为郭靖是个落难的孩童,却不了解郭靖乃是梁山好汉的后代。接下来我们就从统计物理出发重新推导LBM,为其正名。

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LBM江湖的上古大神

19世纪中期,气体动理论的主要奠基人克劳修斯(Clausius)、麦克斯韦(Maxwell)和玻尔兹曼(Boltzmann)三人引进了统计概念,将宏观理论和微观基础联系了起来。1902年,Gibbs(吉布斯)把Maxwell和Boltzmann所创立的统计方法发展为系综理论(Ensemble Theory),使原来仅适用于气体的理论,推广到气体、液体和固体,并发展为今天的统计力学。

玻尔兹曼输运方程(Boltzmann Transport Equation,简称BTE或BE)诞生于1872年,而LBM则于1990年代左右由LGA发展而来,不过LBM诞生之初时,并没有跟连续的玻尔兹曼方程建立关联。后来人们逐渐认识到此问题的重要性——即从统计物理的角度重新审视并构造LBM。如下图所示,针对玻尔兹曼输运方程,首先使用BGK模型将碰撞算子线性化,然后在指定坐标系下进行时空离散得出LBGK方程,最终对平衡态函数进行泰勒展开并略去高阶项,即可得出LBM的控制方程以及各项参数。

通过上述的推导,可以发现LBM是简化玻尔兹曼方程的一种特殊离散形式。由此,LBM终于找到了自己名正言顺的身份,有了各位上古大神的坐镇,加上近几十年来,华人科学家的巨大贡献,LBM也终于开宗立派,创建了属于自己的江湖。

 

结语

LBM方法从最初的低雷诺数、不可压缩流动的计算,历经日复一日的修炼升级,多年以后俨然自成体系,形成了另一个江湖。不过相比于公认的“旷世秘籍”N-S方程,人们对LBM能否反映真实的流体世界一直心存怀疑。本公众号将在后续推送更多的文章,揭示LBM闯荡流体江湖的心路历程,敬请期待。

 

本文经授权转载自微信公众号“LBM与流体力学”。

 



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