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人类为什么研究数学

撰文 | 林木

 

1、非数学专业的人适不适合读数学

非数学专业的人适不适合读数学?如果我们去问科班出身的人,会发现绝大多数的回答是非数学专业的同学不适合来读数学。原因在于缺乏数学基础的训练。比如说你直接开始看研究生的课,会连课本都看不懂。我们怎么看待这种认识?他们这种看法有一定道理,但是过于片面了。非数学专业的来学数学,他的动力他的兴趣会比较的强,这是一个方面。另一个方面,当你在什么问题都还没有开始想的时候,给你太多基础的训练是好事的同时也是一件坏事。

好的一方面是你掌握了一些数学语言,并且懂得一些基本的逻辑。坏的一方面是它将会以一种固定的方式限制你的思维。比如说我们对于数学到底想做什么的问题并不清楚,我们不知道数学想干什么,不知道数学到底是怎么回事,然后就被告诉说这道题就该这么解,这么解就对。如果你问为什么要这么解,很多时候得不到任何想要的回答。而非数学专业的同学在看待很多问题的时候,思想可能会更开放。

比如说跟数学专业的人讨论,他可能第一反应是你这个逻辑对不对,你这个细节有没有问题。这是他的第一个反应。你如果跟其他专业的人去讨论,他们可能首先关注你的想法是什么,你想解决什么问题,你这个想法能不能解决这些问题,而不拘泥于一些很细节的东西。如果你说的这条路对了,严格化只是一个手段。严格的证明能够保证我们不出错,但是严格的证明不能保证我们想到解决问题的思路。

事实上,科班出身的同学,由于受今天数学教育的一个影响,形式化思维会很严重。我们举个n维欧式空间的例子。在历史上,人们首先发现了实数,也就是一维的欧式空间,然后根据现实需要推广到高维的n维空间。但是从数学的角度看, n维空间是更基本的东西,一维空间只是n等于1的特殊情况。于是讲的时候可以从n维的欧式空间开始讲,再令n等于1得到一维空间的特殊结果。而且这样讲显得这个问题更深刻。

如果是这样的思维,对于数学为何产生,数学要解决什么样的问题,抽象的数学和具体的现实问题有什么样的联系这些非常重要的问题是不会引起思考的,比如说现实的物理空间是三维的,有了相对论之后加上时间研究四维时空,人们为什么要研究一般的n维空间,它的动力来源于哪里,它的应用又为何正确?

从这个问题讲,一方面是想告诉大家,数学专业本身去学数学有它的优势,要知道自己的优势在什么地方,但也要知道自己的不足,要想办法去弥补这些不足。而另一方面如果有非数学专业的人致力于研究数学,那么也有他的优势,但也有他的不足,也是要把自己的优势发挥出来,同时想办法通过一定的训练来弥补自己的不足。

 

2、概率论的起源
 

概率论要解决什么问题?我们人类为什么要搞这一门学科?

概率论在历史上的出现源于赌金的分配,从这个时候开始出现了概率相关的问题,但概率论真正成型和发展并不单纯是由于这些问题,更大的动力来源是生产实践。我们现在来考察一个灯泡生产商。顾客要来买灯泡,肯定关心厂家的灯泡能烧多久,产品的质量有没有保证。如果是一个具体的灯泡,它要烧多久,我们可以让它一直烧,看它什么时候烧坏了。可问题在于,经过测试之后,灯泡就报废了。现实生活中我们不能用这样的思路解决问题。我们必须想办法通过其它手段来解决它,并给出令人信服的结论。

如果对于同样的材料,同样的生产工艺,生产的同一批灯泡,我们认为它的一个质量大概是稳定的。怎么叫做大概是稳定的呢?就是说把这一批灯泡全都拿过来烧,可能有的烧的时间特别短,有的可能烧的时间特别长,但是对于绝大多数的灯泡而言,它烧的时间就会稳定在一个值附近。

基于这样的想法,如果一次生产了2万个灯泡,虽然不能把2万个都烧了,但抽100个出来烧一下是没问题的。烧一下之后,这100个可能有10个连200个小时都没烧够,可能还有15个直接烧过了8000个小时,但是剩下的绝大多数都在三四千个小时左右。这个时候就说这批灯泡它大概比较稳定的烧的时长是4000个小时。比如说超过80%合格,那么对于这样的一个生产工艺,它就是达到了一个及格线的,当然需要改进,但是可以继续用。你再去买灯泡的时候,你可能也会偶然买到坏的,但是你不会说我一连买了100个全是坏的。这是一类我们需要用概率论解决的问题。

概率论这门学科它之所以能够成型,第一个很基本的步骤就是概率这个概念的产生。现实当中有很多问题,虽然说每考察一个都会产生一个确定的结果,但我们在处理问题的时候不能这样去处理。我们发现在考虑多次或者多个的时候,它会有一个稳定性的东西,也就是概率这个概念。或者说概率这个概念,是把这个稳定性抽象出来。但是抽象出来还不算是数学,还只是一个想法,抽象出来之后,还得有数学的语言去表达它,有数学方法去处理它。

在研究的时候也发现另外一些问题。比如你去研究不同的问题,它所满足的模式还不太一样。从一个袋子里抓小球,抓出来放不放回去,你会发现不同的概率它又有不同的模式。所以就得搞概型,其实一个概型就是一类概率问题,用这一个概念来解决这一类问题。这些基本的概念和理论成型之后,它会抽象出一些数、一些数量关系,然后就需要把相应的概率做一些计算。

刚刚我们讲了赌金分配促使了概率论的偶然发生,而概率论真正成型和发展应当归功于生产实践。大家想,我们先把概率论的历史起源和基本认识搞清楚,具体一个概型的概率怎么算、为什么这么算等等这些东西一点一点去搞就行了,这样的学习思路是不是更加清晰高效呢?

 

3、高等数学要研究什么东西

高等数学的核心是微积分,那微积分是从什么问题来的?答案是运动。在15、16世纪之前,整个数学都处于常量数学时期,也就是初等数学时期,而从资本主义萌芽兴起之后渐渐地过渡,发展成了变量数学。为了反抗宗教神学,以伽利略和笛卡尔为代表的近代自然科学的先驱,开始去大量的研究运动问题。你比如说他们去研究天体运动,神学讲天体沿着圆周在运动,那是因为有上帝在推动。又为什么是圆周?因为上帝是完美的,而最完美的曲线是圆周,所以天体沿着圆周在运动。人们通过一定的研究,发现这个轨迹不是圆周,而是椭圆。然后通过牛顿等人做一个总结,告诉人们天体运动不是有上帝在推动,而是万有引力的影响,是自然规律的作用。

再到后面人们发现运动的研究还有它的生产力意义,运动的研究是整个社会的发展向人们提出的现实要求。  

从物理学的角度研究机械运动是我们熟知的情形,化学同样会从化学的角度去研究运动,比如在分子和原子层面考虑化学键的分裂、结合。不同的学科有各自不同的研究对象,从不同的角度去研究,但是它们都涉及一类共性的问题,就是数量关系的问题。而数学恰恰是来解决这个问题的,所以它就给数学提出了现实的需要。也就是说人们需要从而且只从数量关系的角度研究运动,这正是数学这门学科所要解决的问题。当社会发展向人们提出研究运动需要的时候,就赋予了数学相应的任务和历史使命。

为了完成这样一个任务,承担从数量关系研究运动这样的一个历史使命的学科就是微积分,微积分是从这个地方来的,它要干的也就是这个事情。

当数学进入了变量的时代,它的研究对象、研究问题不一样了,它的研究方法也发生了变化。数论里面产生了解析数论,几何学也出现了解析几何和微分几何。

 

4、笛卡尔的贡献

在微积分出现之前,有一个必须要提的数学家——笛卡尔。怎么看待笛卡尔的数学成就呢?也就是说怎么评价坐标系的意义呢?

如果没有笛卡尔坐标系,今天的数学会是什么样子?数和形结合不到一块,也不会产生变量,我们可能一直处在初等数学时期。

笛卡尔坐标系的建立,最直接的意义是解析几何这门学科的诞生,里面包含一个观念的转变,也就是引入了动态的观点。人们不再把一条曲线单纯地看作曲线了,还可以把它看作是点的轨迹,这是从形的角度说。那从数的角度看,会发现数可以变,可以有一个变化的范围,也就是说变量的概念产生了。变量数学的时代,如果连变量都没有,连变量都没办法刻画,自然没有发展的舞台,这是笛卡尔坐标系它真正的数学意义。所有的变量数学,都可以看作是从笛卡尔这个地方起源的。

他的这项工作,并没有证明什么高深的定理,但他搞的这个东西开启了整个变量数学的时代。因此,笛卡尔是世界一流的数学家,是和牛顿、莱布尼茨同等层次的大数学家。

 

5、函数的诞生

有了变量之后,也就有了函数,函数的概念最早由欧拉定义,但在这之前数学家们也一直在研究函数。函数其实就是变量对变量的依附关系,这些变量在其它学科里面是具体的量,比如速度、电流等等,但在数学这里,变量只保留了数量在一定范围内可以发生变化的特点。函数是微积分的研究对象,这里主要的还是连续函数。那么我们需要什么样的方法进行研究呢?

极限的概念并不直观,因为极限是倒着来的。比如说一个人从地方A走到地方B,极限的看法是我先走到了地方B,再往回看我1/2的时间走到了哪里,1/4的时间走到哪里。极限是当这个运动过程完成之后回过头来看的,它和人们的直观思考方式不太一样。牛顿产生了极限这个想法,但他自己也不是很肯定,到了晚年他也还是想用这个东西,但毕竟微积分没有跟着牛顿的思路发展。当时牛顿和莱布尼茨争夺微积分发明的优先权,导致整个欧洲的数学分裂成了两部分,一部分是以牛顿为代表的英国数学家群体,一部分是以莱布尼茨为代表的欧洲大陆数学家们。英国那一派没走下去,虽然也出了麦克劳林、泰勒等人,可是这些人做的东西显然没办法跟欧拉、拉格朗日等人相比。

如果要研究运动,y随着x变化,自然的做法是去考察x变一点点的时候,y怎么变。而这也就是我们微积分研究的无穷小方法,沿着这个方法就构成了19世纪之前整个微积分的发展。微积分诞生之后,它自身作为工具,又可以去研究微分方程,也可以用微分去研究几何(微分几何)。常微分方程在18世纪的时候,解法就已经研究得比较清楚了,此时的物理学还主要停留在力学的研究时代,所以偏微分方程主要是以弦振动方程为代表的一些简单的波动方程。到了19世纪物理学进入了电磁学和热学等的研究时代,所以19世纪的偏微分方程的发展又是以热传导方程、拉普拉斯方程为代表,格林函数法等解法也在这时诞生。

从这些东西我们可以看到微积分是从什么地方来的,要解决什么问题,研究微积分的过程中是怎么把这样的一些想法转化成数学的方式,它需要什么样的概念。我们就要把这些问题搞清楚,而这些问题又需要结合数学本身演化的历史来把它搞清楚,也就是我们讲的历史和逻辑相一致的问题。

人类为什么要研究数学?通过刚才对数学史的讲解,我们把逻辑过程还原为认识过程,能够发现历史上的数学不是现在这个样子。其实未来的数学也不是今天这个样子,数学要有一个历史的发展。很多人把数学当成是既定的这个样子,但是我们知道数学有它自己要完成的任务,因为数学要解决现实的数量关系、空间形式等,把数量关系的规律、空间形式的规律给它揭示出来,所以在它发展到一定阶段时,它可能会有一些质的变化,这是数学自身的发展规律。数学的发展最终也一定会朝着更好地为人类服务的方向前进。


本文经授权转载自微信公众号“数学经纬网”。



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