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冯·诺伊曼早期生涯、洛斯阿拉莫斯时光及计算之路

撰文 | Peter Lax

翻译 | 张智民

校对 | 贾略羚

本文有两个目的:勾画约翰•冯•诺伊曼(John von Neumann)极具想象力、创造力、洞察力的超强头脑;展现他的思想和实践怎样重塑了未来。作为计算机时代来临的先知,在逝世近60年的今天,他的形象比以往任何时候都更加巍然耸立。

冯•诺伊曼在科学界拥有着诸多身份,但本质上他是一位数学家。他的天才在于他的数学和数学思维,结合不寻常的“常理”,主导了他对于所有事物的思考。如果冯•诺伊曼没有英年早逝,他一定会得到阿贝尔奖、诺贝尔经济学奖、诺贝尔计算机奖和数学奖:这是两个目前还不存在但最终会设立的奖项。因而,我们在讨论他得到三个诺贝尔奖的可能性。如果考虑到他对量子力学基础的贡献,也许是三个半。现在让我开始我的故事吧。通常,故事总是以我们的英雄出世开始的,那是1903年12月28日的布达佩斯,约翰是一个中产阶级上层犹太家庭的三个儿子中的老大,父亲马克思(Max)是一个银行家。19世纪末20世纪初的布达佩斯是激动人心的时代,约翰•卢卡奇(John Lukács)在他的《布达佩斯1900》中详细记载了这段历史,对于数学和物理那尤其是激动人心。费耶尔(Fejér)、里斯(Riesz)兄弟、波利亚(Polya)和赛格(Szegö)、哈尔(Haar)、波兰尼(Polányi)、冯•卡门(von Kármán)、西拉德(Szilard)、乔治•海韦西(George Hevesi)、维格纳(Wigner)、泰勒(Teller)、德奈什•加博尔(Dennis Gábor)和乔治•贝凯西(George Békesy)都出生于前后25年的那段时间。由于冯•卡门(von Kármán)父亲的改造,学校系统对于天才儿童尤其敏感。因而毫不奇怪,在拥有50%犹太学生的法索利高中(Fasori Evangélikus  Gimnázium)任教的数学教师拉斯洛•拉茨(László Rátz)立刻发现了诺伊曼非凡的天赋,并且知会了约翰的父母以及匈牙利数学圈子的领袖詹斯夫•柯谢克(Józef Kürschák),他们都认为年轻的诺伊曼应该接受特殊教育。他的第一位私人教师是加博尔•赛格(Gábor Szegö),开始他也是一位神童,后来成为教授,先是在柯尼斯堡,接着去了斯坦福。赛格夫人经常回忆起她丈夫第一次见到少年天才满眼含泪回到家里的情景。赛格离开德国以后,由日后去了耶路撒冷希伯来大学的迈克尔•费基特(Michael Fekete)接替了他的位置。冯•诺伊曼的处女作是1922年19岁时与费基特合作的关于超限直径(transfinite diameter)的一篇文章,在这之后,费基特在他余生长期的科学生涯中都致力于这一研究。

冯•诺依曼1920年代的相片

数学领域的少年神童并不罕见。除了大脑的逻辑线路,最可能的原因是,掌握和解决数学问题并不需要丰富的社会阅历。而这一点对于许多数学家造成了不幸的结局,他们躲开那些以非数学的方式提出的数学问题。可以肯定的说,不是所有人,其实只有少数数学家可以如冯•诺伊曼那样全身心地接纳真实世界的问题。他的挚友,同样是数学家的斯塔•乌拉姆(Stan Ulam)认为,冯•诺伊曼的数学思维并非几何的,也非感知的,而是代数型的,一面是代数符号,另一面是对这些符号含义的解释。或许这就是为什么冯•诺伊曼拥有可以思考如此广泛的各类问题的超人能力。

完成高中课程之后,他的父亲认为数学是一个不实际的职业,而化学工程则是一个有前途的行当。于是,年轻的约翰离开了家,先去了柏林,两年以后转到苏黎世。在那里他结识了两位大数学家乔治•波利亚和赫尔曼•外尔,更确切是他们结识了他。外尔是当时直觉主义的代表人物之一。1926年,冯•诺伊曼在苏黎世得到了他的化工学位,同时他也在缺席大部分课程的情况下取得了布达佩斯大学的数学博士学位,那年他还未满23岁。

在柏林,冯•诺伊曼还准备了联邦理工学院的入学考试,并于1923年以“突出的成绩”通过了这项考试(20年前阿尔伯特•爱因斯坦在这项考试中名落孙山)。与此同时,青年冯•诺伊曼开始撰写他的数学博士论文《超限序数导论》(The Introduction of Transfinite Ordinal),这是一个技巧高超、哲理深刻的课题。最终论文以《集合论的公理化》(An Axiomatization of Set Theory)的名称发表,目的是解决一个逐渐显现的数学危机。对此,冯•诺伊曼日后是这样描述的:

“19世纪末20世纪初,乔治•康托(Georg Cantor)的集合论,一个抽象数学的新分支导致了困惑。具体说,某种推理引出矛盾;尽管这种推理没有占据集合论的主流和有用的部分,并且总是比较容易通过正规的判断加以辨别,但令人困惑的是,为什么较之理论的成功部分,这部分内容就欠缺合法性?”

冯•诺依曼开创性的量子力学文集

这件事将数学圈子分裂为两个阵营:直觉主义者严格限制无穷集合的定义和使用,形式主义者则坚信利用欧几里得式的公理体系,最终会如人们期望的那样摆脱无穷集合的羁绊,同时避免自相矛盾。形式主义的领导人就是哥廷根的大卫•希尔伯特,柏林数学界领袖埃哈德•施密特(Erhardt Schmidt)的老师。施密特对于年轻的冯•诺伊曼非常友善,多年后的1954年,冯•诺伊曼在年迈的施密特的纪念文集上撰文表达了他的感激,尽管当时的他早已不再专注具体的数学问题,并且那些数不清的义务和职责使得他无暇撰写论文。

冯•诺伊曼在集合论基础研究方面的工作引起了远在哥廷根的年迈的希尔伯特的注意,与日俱增的名声为他赢得了洛克菲勒基金会的资助访问哥廷根一年。但当他到达那里,才发现当时最紧要的问题不是集合论基础,而是量子力学。创建一套数学理论解释清楚海森堡和薛定谔的新理论断断续续地占据了冯•诺伊曼的余生。他构造的希尔伯特空间的自共轭无界算子为量子力学提供了合理的理论基础,同时也奠定了现代数学的基石。进而,这是典型的冯•诺伊曼风格:他不但奠定了理论基础,而且指出了怎样应用到具体的有意义的物理问题当中去。

这个时候的冯•诺伊曼名声鹊起。他在柏林得到了临时教职,接着是汉堡,整个欧洲到处都请他去演讲。但到20年代末,他将目光投向了美国,部分原因是欧洲教授位置的稀缺,他远在大多数人之前就已经意识到这一点。所以,1929年当普林斯顿邀请他去讲数学物理(主要是新的量子力学)时,他欣然同意。接下去的四年,他将时间平均分配在普林斯顿和德国之间。

对于冯•诺伊曼而言,这段时间科学上重要的事件是哥德尔关于希尔伯特形式主义注定失败的证明。1931年,哥德尔证明了,一个充分丰富的逻辑系统如果不求助更加丰富的逻辑系统不可能被证明没有矛盾。这件事终结了冯•诺伊曼与公理体系和集合论的缘分。然而他的努力并没有白费,这些对于他日后考虑计算机的结构起到了至关重要的作用。第二个事件发生在1932年,那就是查德维克(Chadwick)关于中子的发现,这对未来产生了决定性的影响。

1933年,冯•诺伊曼往来于普林斯顿与德国之间这种50/50平均分配的完美安排突然之间结束了,原因有二:一是希特勒攫取了权力,二是冯•诺伊曼得到了新成立的普林斯顿高等研究院正教授的任命。这是一个荣誉极高的位置,得到同样位置的有爱因斯坦和外尔,哥德尔也是后来才加入的。

30年代中期是冯•诺伊曼的创作高峰期。与弗朗西斯•默里(Francis Murray)的合作,产生了他影响最深远的发现之一——算子环理论,今天被称为冯•诺伊曼代数。同时,不断集聚的政治危机使他坚信战争不可避免,并且迫在眉睫。他还预见了战争导致对于欧洲犹太人的迫害,如同一战时期土耳其政府对于亚美尼亚人的屠杀。

第二排中间白发灰色西装者为作者,其左边为Andrew Majda,右边为Eitan Tadmor

因而毫不奇怪,当清楚地意识到战争的到来时,他就开始考虑如何运用他的数学天分来帮助美国备战。当时战争用到数学最多的部分是弹道学,而阿伯丁武器试验场恰巧就在普林斯顿附近,所以他全身心的投入到爆炸和冲击波的研究中。在这个过程中,他差一点儿就变成军械部的一名陆军中尉。由于他刚好超过35岁的限制,而战争部长又不允许有特例,这件事情只好作罢。这反倒帮了冯•诺伊曼,使他避免了军队那些严酷的繁文缛节,可以自由的接触各种不同的项目。他接受了为数众多的委员会的任命,积极地参与各种审议和评估。很快,他作为一个联系实际的应用数学家的名气开始飙升,就如同15年前他作为一名纯粹数学家的名气飙升一样。如今他又有了一批新的“粉丝”,其中有军械部的西蒙(Simon)将军和科学研发办公室主任万尼瓦尔•布什(Vannevar Bush)将军。1943年初,他被派往英国协助那里的反潜和空战。他的确帮上了忙,同时也从英国人那里学到了很多关于爆炸方面的知识。很快,他就将所有这些刚刚学到的知识用到了一个重要的战争项目中——制造原子弹。

冯•诺伊曼到达洛斯•阿拉莫斯国家实验室的时候,等待着他的是一大堆难题,必须逐一解决才能制造钚弹。钚同位素自然裂变释放足量的中子可以引爆任何炸弹,除非装载的足够迅速,而中子挤压是最有希望的装载方法。冯•诺伊曼之前学到的高爆方面的知识在这里派上了用场,帮助他找到了一个安全快捷的方法。这项工作,加上对许多其它类似的物理和工程难题的贡献,带给他解决问题能人的美誉,得到了洛斯•阿拉莫斯最耀眼的明星们的敬重,这些人包括奥本海默(Oppenheimer)、贝特(Bethe)、费曼(Feynman)、佩尔斯(Peierls)、泰勒(Teller)以及其他许多人,大家承认他在智力方面高人一筹。核武器设计容不得半点差错,每一个方案必须有理论验证,这需要求解非线性可压缩流体方程。冯•诺伊曼明白解析方法无法完成这个任务,解决连续力学问题的唯一出路是离散它们,然后数值求解得到的方程组。有效的进行这类计算的工具是高速可程序化的电子计算机、具有大容量的存储器、程序语言、微分方程离散的稳定性理论以及快速求解离散后的方程的各种算法。正是这些任务,冯•诺伊曼在战前以及战后花了大量的精力。他清醒地意识到计算方法不仅在武器设计方面起到关键作用,对于解决种类繁多的科学和工程问题也至关重要。他对天气和气候的了解尤其激发了他在这方面的认知,同时他也明白除了暴力地解决具体问题,计算机还可以做更多的事情。

请允许我引述他1945年在蒙特利尔的一次演讲,当时高速计算机仅仅是他想象中的模糊轮廓,他说:“毫无疑问,我们可以继续列举更多案例来佐证我们的论点,很多纯粹和应用数学领域急需计算手段来打破目前纯分析手段难以胜任对付非线性问题的僵局。诚然,有效的高速计算设备有可能在非线性偏微分方程以及其他困难的甚至完全无法触及的领域提供我们需要的启示,这种启示是所有数学领域取得真正进展所必须的。以流体力学为例,这种启示在过去两代人从纯粹数学家的直觉中并未发生,尽管大量一流的数学努力曾经企图打破这个死结。如果说在某种程度上这种启示发生过,它们源于物理实验。我们现在可以使计算更加有效、快速和灵活,使用新型计算机或许也能提供所需的极具启发的提示,而这些最终会导致重要的分析进展。”

这里的每个人都知道冯•诺伊曼是现代计算机之父,但并非每个人都意识到他也是计算流体力学之父。下面,我就具体表述他在这方面的两项贡献。

冯•诺伊曼对于有限差分方程理论的奠基性贡献之一是稳定性的概念,这是以他的名字命名的一项重要测试。按照他给出的最初表述,这项测试仅仅包含常系数线性方程的稳定性,但他大胆预言这项测试同样适用于变系数的系统,后来的事实证明他是对的。

冯•诺伊曼计算可压缩流体最深刻的思想是激波的捕捉。这意味着激波以及这类流体中不可避免而产生的其他间断在离散逼近中不是作为内部边界,而是变化迅速的过渡层,流体中每一个点都被当作普通点来处理。在1944年的一项计算中,他成功地研究了一端封闭的管道中气体的流动:初始向后,与气流方向相反。在激波位置,运动粒子的路径突然改变方向。他观测到粒子路径在激波附近摆动,说明速度场在那里震荡。这种震荡源于冯•诺伊曼使用的差分方程的色散效应。随后,在与里克特迈耶(Richtmyer)的一篇文章中,人工粘性被引入以消除非物理的震荡。

如果冯•诺伊曼今天醒来,他会震惊于哪一件事?高性能廉价的个人电脑的普及?互联网?计算机和计算科学的高度发展?气候的计算仍然是一个困难的问题?基因组的解码?登陆月球?苏联解体?或是这个世界还没有自我毁灭?

冯•诺伊曼的英年早逝夺去了数学和科学的一位天才领袖和雄辩的代言人,也剥夺了整个年轻一代领略20世纪最具才情的天才的机会。

此文是2014年作者在Eitan Tadmor教授60岁生日晚会上的主旨发言。

作者简介:Peter Lax,匈牙利裔美国数学家。阿贝尔奖获得者。

译者简介:张智民,美国韦恩州立大学数学系教授,北京计算科学研究中心讲座教授,本刊编委。

本文经授权转载自微信公众号“数学文化”。

 



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