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迈向数学的统一

“数学是一个永不会完成的创造过程。”

 

撰文 | 夏尔·埃雷斯曼(Charles Ehresmann)

翻译 | 叶凌远译者按

本文是夏尔·埃雷斯曼(Charles Ehresmann,1905-1979)于1966年4月25日在堪萨斯大学劳伦斯分校数学系荣誉晚宴上的演讲,同年发表于Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques (《范畴拓扑学与范畴微分几何》) 杂志,题目为“Trends toward unity in mathematics”。

埃雷斯曼是一位在德国出生的法国数学家,他是布尔巴基学派的早期成员之一,在微分拓扑和范畴论等领域作出了重要工作。

 

夏尔·埃雷斯曼

 

这篇文章简明地回顾了从古典时代到现代数学的发展历程,阐述了他对于采用范畴论的语言统一不同数学分支的设想。那时距范畴最初的概念在数学文献中正式出现不过21年的时间。到如今,将近60年的时间过去了,范畴论无论是在其自身还是在统一数学方面都有了长足的发展,因此埃雷斯曼文章所规划的蓝图与提出的问题不见得仍在现在的语境下适用。但范畴论发展所取得的成果却没有在更广泛的数学家群体中得到它应有的重视。翻译这篇几乎是60年前的文章,是希望和读者一起回到半个世纪之前,重新思考数学的本质、体会现代数学的思维方式。翻译整体遵照原文,对个别细节进行了修改,注释与粗体均为译者所加。

在常人眼中,数学结论经常被认为是永恒的真理,但数学不是由一成不变的定理所构成的;它也不仅仅产生了大量习题,在其他科学中有广泛的应用而已。数学是一门生动的科学,在持续不断地向前快速发展。我们所处的年代正是数学极速扩张的时代;并且现在,也有一股重要的力量推动着数学迈向统一。同样的发展导致了新文学的出现——小说不必再有情节;诞生了抽象音乐,有时是由计算机谱写;还有抽象的雕塑和绘画,它们并不旨在呈现真实事物的一般表象。这种同样的抽象过程也发展出了一种新的数学,其动机不在于寻找可能的应用,而是基于我们一种强烈的愿望——希望知晓每一个问题的本质和它所依赖的整体结构。这种一致并不令人惊讶,毕竟数学与艺术非常相似:数学理论不仅需要严格性,还要满足我们对简洁、和谐和美的追求;一个优美的理论和一件艺术品一样,它们都是人类灵感的创造。

对于那些数学家中的柏拉图主义者,他们工作的动机是要寻找给定情景下真实的结构,以及这些结构的抽象表示。对更务实的数学家来说,他努力的目标是用他所掌握的一切手段去解决纯数学或应用数学中出现的预先给定的问题;在此过程中,他会尽可能避免引入新的一般概念。而所有数学家都会认同的是,如果一项数学工作能够激发新的研究产生,那么它在数学中的价值就能得到最好的证明;数学最重要的应用恰恰应是数学本身。

直到最近,大多数哲学家,甚至柏格森[1],都把数学说成是一门与日常空间中的数与量有关的科学。这个描述或多或少对应着古希腊的数学,但现代数学已不再是如此了。

对希腊人来说,数学代表着算数(Arithmetics)几何学(Geometry)。前者是关于自然数的科学,后者研究的是日常空间中图形的形状和几何量的比例。尽管他们的几何学是一个公理化的体系,但他们认为这些公理是被“证据”所强加的。事实上,他们在推理中所隐含的假设比明确说明的公理更多。令人惊讶的是,他们从未引入实数的概念,尽管欧多克索斯[2]的比例论与20多个世纪后由戴得金[3]给出的实数定义没有本质上的区别。这种把以前已知的某一类对象——在这里则是一类有理数——作为一个新的对象的抽象过程,对他们的思想来说是完全陌生的。即使是开创了诸如静力学(Statics)和流体力学(Hydrodynamics)等新领域并为积分理论开辟道路的阿基米德,也不愿意抽象地定义实数。在他之后,创造的冲动似乎被耗尽了,而数学在整个中世纪都处于沉睡之中。

数学创造力的复兴还要归功于16世纪意大利数学家引入的新数字,包括负数和虚数,以及同一时期韦达[4]所引入的代数符号。希腊人也有一种基于几何的代数,但他们没有引入任何代数符号,导致他们的作品难以阅读。
笛卡尔和费马也为数学带来了新的推动力,他们创立的解析几何统一了代数和几何。尽管曲线切线的定义问题,以及如何寻找一条曲线的切线等问题已经在非常特殊的情况下得到解决(例如阿基米德的螺旋线),但现在我们可以用一种有效的方式对它们进行研究,这也直接导致牛顿和莱布尼茨发明微积分。莱布尼茨似乎已经猜到了许多未来数学的发展。他不仅明确地将函数作为对象引入数学,从而为泛函分析奠定基础;而且在他尚未实现的通用表意文字(universal characteristics)理论中[5],他梦想着揭示所有事物的代数结构,并构造一种普世的算法来进行表达和推理。因此,他不满足于笛卡尔的解析几何学,因为它依赖于坐标系的选取。或许是在困惑中,他预见到了几何学必定拥有一种内蕴的代数结构,而线性代数和格拉斯曼代数(编者注:参见《格拉斯曼: 扩展的学问与线之代数丨贤说八道》)可以说部分地实现了他的这个梦想。不幸的是,他所处的时代并不能接受他过于超前的思想,他没有足够的追随者来发展他所设想的道路。不过他在微积分方面的工作被广泛地采用了,特别是他所创立的微分和积分的符号。而微积分也在很长一段时间内成为数学的一个主要的领域。

19世纪由罗巴切夫斯基和亚诺什[6]分别独立发现的非欧几里得几何学是另一进步。截止那时,古典时代为数学所设下的所有界限都被打破了:(欧几里得)几何学不再是由感知经验所强加给我们的,其所依赖的是人类基于公理的创造;我们可以设想不同的公理系统来研究不同的几何学。康德所强调的我们对于空间概念的“先验性(a priori)”由此变得过时了[7]。那么,几何学的本质到底是什么?在当时,人们将一个具有传递性群作用的空间作为几何的统一性概念,例如欧几里得空间的传递群作用事实上就是欧几里得平移变换。因此,几何学成为一个群作用的不变量和共变体的理论。但实际上,这个定义只适用于齐性空间中的几何学,而其他类型的几何已被发现,人们感到有必要对几何和空间的概念进行另外的概括。这最终导致了拓扑空间的定义,它是回答所有关于连续性、极限和近似问题的恰当语境,也使得分析和几何领域中许多共同的结构得以显现。

在同一时期,康托尔[8]的集合理论出现了,并愈发成为所有数学分支统一的基础理论。这是数学中一种新的抽象方式。如康托尔所说,从那时开始“数学的发展就是完全自由的了”,集合论中的概念“只要求不矛盾,并与之前引入的概念通过精确的定义相联系即可”。尽管不久之后,人们发现了一些危及康托尔集合理论的悖论,从而危及整个数学大厦,但康托尔的杰作开启了现代数学思维之路。

自本世纪初以来[9],数学理论中创造的自由使得人们在集合上考虑了许多新的数学结构。除了各种类型的代数结构(如群、环、域、半群、模、代数、李代数等),还有许多测度和概率模型结构以及对各种各样的拓扑结构的精细化:均匀结构、度量空间、拓扑流形、具有各种微分结构的可微或分析流形,如黎曼流形及其上的联络、代数流形等。考虑同一集合上的不同结构可以构造新的数学对象,如李群、拓扑向量空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间、赋范代数,等等。这些结构的引入主要是为了满足纯数学发展的需要,而一旦它们被更多的人所了解,它们在其他领域的应用自然会越来越多,运用数学理论的人也会越来越多。在引入所有这些不同类型的数学结构之后,人们深切地感受到了统一的必要性;经过一段快速扩张的时期,如果没有一种统一的理论将各个领域联系起来,那么一个无法阻挡的趋势便是,不同的数学家们将和巴别塔的建造者们一样,使用不同的、不相容的数学语言发展各自的领域。

考虑到这些理论的相似性,我们可以通过对结构这一概念,或者更确切地说,集合上某一特定种类的结构的一般性定义得到某种统一。这一思想是由布尔巴基学派[10]发展而来,也是他们编撰的系列教材《数学原本》(Éléments de mathématique)中内容顺序的编排基础。在数学研究的最开始就被广泛考虑的整数和欧几里得空间这两种结构,一旦被公理化地定义,就非常确定地对应着集合上某一种结构,即所有满足此类结构的对象都是同构的。但现代数学所引入的集合上的不同结构类别(例如群或拓扑结构)并不具有这种唯一性。
集合上一般结构的理论可以用范畴和函子的概念来进行更加普遍的公理化,而范畴论的发展似乎是当今数学最具特色的一种统一的趋势;基于此,我认为它很快就会像其他基础领域一样,如线性代数和拓扑学,在大学早期就被教授。[11]

一个范畴是由一族元素和在它们之上部分定义的复合操作所构成的[12],同时复合需要满足一定的规则(公理)。例如,每一个群都是一个特殊的范畴,复合操作和群的乘法一致,这使得其中每个元素在这个复合操作下都是可逆的,且只有一个单位元;但最典型的例子还是所有集合间的函数所构成的范畴,其中的一个元素是两个集合之间的一个映射,复合操作则和通常函数之间的复合相一致。抽象范畴的公理化正是基于这个由集合之间的映射构成的范畴所提出的。我们把范畴中一个元素叫作一个态射,而不称其为函数,可以将其想象为从一个物体(态射的源)到另一个物体(态射的靶)的一个箭头。因此,范畴论中态射的一般概念是函数概念的推广,而函数被戴德金认为是数学的基本工具。

函子是范畴之间保持复合操作的映射。它们再次构成了一个范畴,即函子的范畴。对于我们通常所考虑的集合上附加的某种数学结构,它们之间的同态也构成一个范畴。对于所有的这些范畴都可以自然地定义一个函子,映射到之前所述的集合之间的函数所构成的范畴[13];这通常被称为遗忘函子(forgetful functor),即在这个函子的作用下我们忘记了集合上其它的结构,仅仅保留了最基本集合的信息。例如,所有拓扑空间之间的连续映射构成的范畴,亦或是所有群同态所构成的范畴,都有如上所述的遗忘函子。

现在,我们可以更抽象地考虑从范畴H到范畴C的任意一个函子p。根据上面的讨论,在这个语境下,我们则可以将H的任意一个物体S看作是相对于函子p的一个结构,或更确切地说是C范畴中的物体p(S)上的一个p-结构。因此,H可以看作是C上的p-结构所构成的范畴。令人惊讶的是,许多有关集合上某种特定结构的理论和构造可以被如上所述有关 p-结构的一般理论所统一起来。我们可以在这个框架下定义子结构、商结构、自由结构、笛卡尔积、一族物体的和,或更为广泛的任意一个函子的极限和余极限,等等。目前我相信,现在的数学研究将会更少地关心单个p-结构的性质,甚至也不会那么关心某一个函子p的性质;相反,现在数学的目标应该是研究某一族函子的性质,使得曾经对于某一特定函子p和其对应的p-结构成立的定理,现在对于这一族中任意的函子都成立。一旦理解了这个定理有效的真正原因,我们一般会发现,只有很少的一些条件(假设)是证明这个定理所真正必要的。因此,原来定理的证明如今可以推广到一类非常广泛的函子上,而不仅仅只对原本的p函子适用。特别地,这个定理可能会包含许多已知的函子,从而应用于我们从未想过的领域。例如,有关拓扑空间的紧致化,均匀空间的完备化,自由群、自由模或更一般的由一个集合生成的自由代数的构造,都可以看作是某一类抽象的函子自由结构存在性定理的推论。

当然,上述对数学进行统一的方案过于粗略。事实上,只有数学家们的创造力才能持续地发现新的有趣的函子类。如我们所见,在数学中,创造过程的一个特点是把以前定义的一类对象作为一个新的数学对象来加以认识。当我们开始研究不同函子的分类及其性质来梳理统一现有的数学理论时,我们是否在这个更高的层次面临着相同的问题?一旦这个新理论走向成熟且再次变得复杂、纠缠不清,我们是否有必要发展更高程度的统一理论?我们不试图回答这个问题。然而,我们愈发深刻地认识到,数学是一个永不会完成的创造过程,它的存在性并不需要通过它的重要性或是不断扩大的应用范围来证明;它的意义远远不仅是充当“物理学的推土机”。数学是理解整个宇宙的关键,统一了人类从科学到哲学到形而上学的所有的思维。因此,柏拉图和莱布尼茨的伟大理想,即让数学成为一切知识本质的理想,可能终将实现。

 

注释

[1] 亨利·柏格森 (Henri Bergson, 1859-1941),法国哲学家,文学家,于1927年凭借丰富、富有活力的思想和语言获得诺贝尔文学奖(译者注;全文所有的脚注均为译者所加,后不再一一指明)。

[2] 欧多克索斯(Eudoxus,408 B.C.–355 B.C. ),古希腊数学家、天文学家,欧几里得《几何原本》中的许多内容很有可能是来源于欧多克索斯,一些人认为他是古希腊最杰出的数学家。

[3] 里查德·戴得金(Richard Dedekind,1831-1916),德国数学家,在数论、抽象代数(特别是环论)以及算数的公理化等领域作出非常重要的贡献。

[4] 弗朗索瓦·韦达(François Viète,1540-1603),法国数学家,初高中生们熟悉的韦达定理就来源于他。

[5] 通用表意文字 (拉丁语为characteristica universalis),是莱布尼茨所设想的一种通用的形式化语言,该语言能够表达数学、科学以及形而上学等方面的概念,并支持一种通用的逻辑演算。

[6] 尼古拉·罗巴切夫斯基(Nikolai Lobachevsky,1792-1856 ),俄国数学家;鲍耶·亚诺什(János Bolyai, 1802-1860),匈牙利数学家,他们和高斯生活在同一时代。两人均独立的为非欧几何,特别是双曲几何,作出了重要贡献。

[7] 康德认为人类对时间和空间的认识不是通过概念化(conceptualisation)的方式完成的,它们是我们感观直觉的纯粹形式(pure form of sensible intuition)。非常粗略地来说,前者涉及知性(understanding)的运作,而后者形成的知识则是先验的。

[8] 格奥尔格·康托尔(Georg Cantor,1845-1918),是出生于俄国的德国数学家,创立了现代集合论,是实数的严格定义及整个微积分体系的理论基础,为数学基础(foundation of mathematics)作出了杰出的贡献。

[9] 这里指本文成文的时间,即20世纪。

[10] 尼古拉·布尔巴基(Nicolas Bourbaki)是20世纪一群法国数学家的共同笔名,他们自1935年开始撰写一系列关于现代高等数学的书籍,以把所有数学建立在集合论坚实的基础之上为目的。在这个过程中,他们致力于将数学概念尽可能地普遍化和严谨化, 对20世纪之后的数学发展产生了深刻的影响。

[11] 范畴论最早起源于1945年Eilenberg和MacLane 的题为General Theory of Natural Equivalences的论文,在随后的几十年内作为一门数学语言和工具迅速地参与到各个数学分支的发展之中。遗憾的是,本文作者埃雷斯曼的这一猜测直到多年后的今天也没能在大多数的大学内成为现实。

[12] 在现代的范畴论语言中,一般把范畴定义为两种类别的元素,即物体和它们之间的态射,所构成的数学对象;但也可以仅仅将一个范畴理解为一族态射加上上面部分定义的复合操作,因为范畴中的物体和单位态射是一一对应的。换句话说,态射的信息包含了物体的信息。本文对范畴所采取的是后一种理解。

[13] 即把一个同态看作是其对应的集合之间的函数。

 

本文译自 Ehresmann Charles. "Trends toward unity in mathematics." Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques 8 (1966): 1-7.

 



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