财新传媒
位置:博客 > 返朴 > 放弃奥数的数学天才,用一生教人怎么解数学题

放弃奥数的数学天才,用一生教人怎么解数学题

“解数学题也可以如游戏般快乐。”

 

撰文 | 小叶

最小公倍数是什么?也许不需要复杂的数学公式,通过一个简单游戏就能理解。规则如下:每过24秒拍一下手,每过45秒跳一下,那么到第几秒既拍手又跳跃呢?下面视频中提供的游戏不仅能让人懂得最小公倍数的意义,还能学会计算方法。

 

是的,解数学题可以如游戏般欢乐。这段视频出自美国在线数学教育平台“问题解决之道”(Art of Problem of Solving,以下简称AoPS)。而我们在视频中看到的那位手舞足蹈、语速飞快的老师正是该平台创始人Richard Rusczyk。

 

时至今日,AoPS运营了整整18年,俨然成为了大批数学高手的“快乐老家”,活跃在网站论坛上的人们有着以下共同特点:从小在数学方面天赋异禀,痴迷数学,热衷解决数学问题,渴望挑战数学难题。而他们的领头人Richard Rusczyk恰恰符合所有这些特征。年少时,他曾致力于数学竞赛,大学后创建过自己的数学竞赛圈,职业道路几经波折,最终仍然实现了一边欢乐探索数学,一边实践数学教育的理想。

 

Richard Rusczyk出生在美国爱达荷福尔斯(Idaho Falls),从小跟随作为核工程师的父亲辗转全美各地的学校。年幼的他热爱篮球,还喜欢钻研棒球统计数据,这恰恰是他走入数学天地的起点。到了七年级,他的母亲给他报名参加美国初中生数学竞赛MathCounts,结果表现非常出色,同时还结交到了不少数学同好。两年之后,一家人定居至阿拉巴马州,在那里他再次参加MathCounts,最终获得全国总决赛第24名的好成绩。

 

自此之后,Rusczyk成为高中数学竞赛队的明星,不仅和团队一起参加美国东南地区的各项赛事,还以个人身份参加美国数学学会举办的一系列全国竞赛American Mathematics Competitions。他的竞赛之路一帆风顺,家中的书架上摆满了参赛缎带和奖杯。他本人也亲口承认“就是喜欢收集数学奖杯。”除了奖杯这一收获之外,数学竞赛也让Rusczyk接触到了学校常规课本之外的数学领域,沉迷于解题的乐趣。

 

1987年,当时已是高二的Rusczyk受邀参加美国数学奥林匹克集训营。这个夏令营每年夏天在西点军校或海军学院举办(如今由卡内基梅隆大学(Carnegie Mellon University)统一举办),为期一个月的封闭式训练,以选出最优秀的学生组成国家队,代表美国参加每年七月的国际数学奥林匹克竞赛(International Mathematic Olympiad,以下简称IMO)。

 

自认为数学天赋满点的Rusczyk踌躇满志地踏入西点军校,准备大干一场。然而,也就是这次集训营,让他第一次在自己最擅长的领域品尝到了深深的挫败感,也意识到自己对数学的认识多么局限。多年以后,他在AoPS官网上坦诚讲述了自己的当年经历:

 

“我在集训营待了五周,经历各种测试,做了60多道题。结果,一套题都没解出来。我当时认为,其他同学做得比我好是因为他们知道的解题公式和技巧比我多。我自己有一张公示表,在我接受的数学教育认知里,公式就是数学的一切。只要记下公式,就没有解不开的题。直到集训结束,我才发现,原来自己才是那个知道最多公式的人,有些同学甚至连公式表都没有。“[1]

 

正是这次痛苦的失败经历让Rusczyk反思了解题技巧和数学题之间的关系。很多学生对数学的“糟糕”印象往往是:一周学会套路→考试用上套路→考完很快忘记。MOP的失败让他意识到,数学学习的过程并不是 “记住公式,解答为公式量身定做的题目”,实际上,真正成功的数学家知道如何灵活运用少量的公式去解答灵活多变的数学题。

 

领悟到这一点以后,Rusczyk逐渐转变了对数学的态度。在高中最后一年,他开始自主研究一些数学证明,对数学概念有了更深刻的理解。此后,他还两次参加集训营,最后一次有幸成为替补队员,不过最后因病遗憾地提前离队,无缘IMO。不过,这并不妨碍他到高中毕业时,跻身全国数学最顶尖前八名高中生。

 

虽然Rusczyk始终没能进入国家队,但也带来了意外收获:集训之余的篮球活动让他结交到了一众数学挚友,包括同样来自南方的Sam Vandervelde(获1989年IMO银牌),Jordan Ellenberg(获1987、1989年IMO金牌,1988年IMO银牌)和Sandor Lehoczky。在和他们的交往中,Rusczyk明白了自己和这帮数学天才之间的差异:他的朋友们都是发自内心的,真正热爱思考抽象的数学问题,而他喜欢数学,更多是出于竞争心理,或为了结识朋友

 

高中毕业后,Rusczyk进入数学系超强的普林斯顿大学。可能先前三出三进集训营的失败经历耗尽了他对数学的热情,Rusczyk觉得自己可能并没有处理数学抽象理论的创造力,此外,他还怀疑自己是否有耐心将一生奉献给数学研究——因此,他选择了化学工程专业。

 

在有机化学课上,Rusczyk观察到,学生基本分为两派,一派学得很开心,一派学得很痛苦。开心派相信,有机化学的大部分内容都可以从极少数的基本原则中推导出来,做到化繁为简;而更多的学生则将每个知识点都视为需要记忆的新内容,越学越多,越多越记不住,深陷知识点的“泥潭”而痛苦不堪。无疑,前者将数学学习中的解题能力迁移到了化学学习上,后者则不管走到哪里,都反复不断地使用死记硬背的方法。

 

当然,学业之余,Rusczyk也没有彻底告别数学竞赛。独乐乐不如众乐乐,他和集训营的小伙伴们到处发邮件,邀请高中生们参加他们组织的“曼德博竞赛”(Mandelbrot Competition),以纪念分形理论之父本华·曼德博(Benoit Mandelbrot)。竞赛结果让他们意外发现一个问题:参赛选手们的得分普遍偏低,对他们来说题目太难了。但为什么会这样?Rusczyk和同在普林斯顿的Lehoczyk经过讨论,得出结论:在美国,大部分中小学生除了接受基础数学教育之外,并没有很多机会接触到更加复杂高深的数学知识,数学资源分配并不均匀,而且不同地区数学老师的教学质量也良莠不齐。对于年轻的数学爱好者,他们可能没有听说过什么数学竞赛,也不知道那些精英级的数学夏令营活动。而Rusczyk在集训营碰到的许多天才选手,他们都有自己的小圈子,或跟随优秀的大学数学老师学习,或在具有浓厚数学文化的特殊学校学习,有机会比许多其他同龄人更早接触高等数学概念。

 

认识到这样的差异,Rusczyk和Lehoczyk决定写书,让更多人——尤其是数学爱好者——有机会学到高级的数学知识,提高数学问题解决水平。经过一番努力,1993年,两位大学生自费出版了如今颇有名气的The Art of Problem Solving(《解题的艺术》),分为上下两册。这套书的教学对象是广大中小学生,在序言中,Rusczyk直抒教材的真正目的,强调思维能力的重要性:

 

对学生来说,“这是一本方法论教材。如果你只是记下了上面所有的公式,你就错过了真正的重点。培养创造性思考过程是解决数学问题的关键,学会解题背后的思维方式,所有数学公式将不言自明。如果遇到问题,不要紧张,找同学,找老师,找教材。不要轻易放弃!”对老师来说,“无论如何使用这本教材来教学,关键是要让学生理解为什么数学公式能解开数学问题。只有这样,他们才能全面理解公式的应用范围以及数学之美。”[2]

The Art of Problem Solving,2019最新版丨来源:Amazon

 

同年秋天,Rusczyk开始在斯坦福大学攻读化工专业的博士学位,但很快就发现自己并不适合科研生活。开学后仅8周,Rusczyk就退学了,之后,他驱车拜访当地中小学,一边销售自己的教材,一边寻找数学老师的职位,最终受聘于一所小型私立小学。没过多久,他又发现自己也不适合当一名常规的数学老师。虽然他热爱教学,但要吸引本来就对数学不感兴趣的学生,难度太大。与之相比,他更喜欢与热爱数学的学生打交道,而销售自己的The Art of Problem Solving能接触到真正的数学爱好者。于是,第二年夏天,他离开了教师岗位,出发去寻找热爱数学的人。

 

爱数学的大脑都在哪儿?上世纪90年代中期,华尔街是汇聚全国顶尖数学人才的宝地,Rusczyk自然也被吸引。他进入对冲基金D.E.Shaw工作,非常享受债券交易的快乐时光。不过,他的内心始终没有放下建立自己事业的念头。1998年金融危机之后,他辞去工作,这次却不急于谋求新职位,而是和妻子Vanessa搬去了加州圣迭戈郊区定居。那里有优美的森林环境,他们又养了三头小毛驴,还变成了狂热的徒步爱好者。与此同时,他重拾少年时代最重要的爱好:钻研奥数竞赛题。

 

1990年代末,互联网热潮掀起,Rusczyk开始尝试制作一些在线教学课程,并思考事业发展的各种可行方案。2003年,31岁的Rusczyk沿用自己首套教材的名称,正式创立artofproblemsolving.com网站(以下简称AoPS)。他创建了在线社区,在上面发布各种数学竞赛题,展开互动教学课程。区别于其他教育者,Rusczyk的教师经历让他明确了自己的教学对象,主要关注对数学兴趣强烈、能力又出众的学生。同时他早已看到,在现实生活中,即使能力相同,对数学抱有同样热情的学生,可能会因为人脉资源的多寡不同,彼此之间差距越拉越大,很是可惜。因此,Rusczyk以网站平台为基础,想方设法弥补不同学生之间的差异,让他们都能公平地获得相同的数学资源。

 

网络无国界,很快,世界各地的数学爱好者纷纷前来社区灌水,讨论数学题、相互激励,帖子里到处是数学人独特的俏皮话。华裔数学家赵宇飞就属于最早的一批社区成员,他曾三次参加IMO,分别于2005、2006、2004年获得金银铜牌,如今已是麻省理工学院的数学教授。赵宇飞回忆自己上高中时,回家第一件事就是登陆Rusczyk的社区论坛,看看有没有什么新鲜话题。

 

与网站一同成长的还有Rusczyk的教学视频。最开始,Rusczyk发布的免费视频内容主要是即兴演说。本文开头讲述的数学游戏即来自著名的《最小公倍数》(Least Common Multiple)。作为数学老师,Rusczyk出镜时穿过各种颜色的T恤,但偶尔也会跳脱出正经形象,深色连帽衫、墨镜,口中念念有词,摇身一变为数学界的说唱家。其实,这一切的目的都在于引导学生以实验般大胆无畏的精神“游戏”数学领域

 

除了游戏精神外,Rusczyk还认为,学习数学有时候和学习乐器和体育运动一样,天赋型选手越早开始训练,日后所取得的成就也越多。因为对于贴上“数学天才”标签的孩子们,人们往往有一种刻板印象,觉得他们似乎不需要努力,就能学好数学,所以“天才不用苦学”。其实不然,Rusczyk自己的求学经历让他时刻准备面对各种难题,天才也要努力才能更上一层楼,同样,也会面临失败的打击。这也反映了AoPS的另一重要理念:哪怕是数学天才般的学生,也要正常看待早期的苦学和失败,跌倒和成长都没有问题,丝毫不用避讳。

 

少年时代,Rusczyk曾在一场数学讲座中听到了“随机游走”问题(Random Walk Problem):从某一点出发,每走出一步都是随机的(例如通过抛硬币决定前进方向)最终会走出一条蜿蜒路径,经过一段时间之后,离起点的距离是多远?匈牙利数学家George Polya假设一维简单随机游走每一步向左和向右的概率均为0.5,证明了质点返回原点的概率为 1,也就是说,如果你不断重复抛硬币,经过许多许多步后,你走回起点的概率是100%。

 

后来,Rusczyk和Lehoczky经常在街头玩“随机游走”,让硬币带来意外之喜。而Rusczyk还有另一番感悟,他认为随机游走似乎隐喻了自己从小到大与数学忽远忽近的关系。“最终,我确实回到了起点。”创建AoPS无疑是回归了自己热衷解数学题的初心。

 

不过,Rusczyk从不认为AoPS仅仅是为了“教授数学”而创立的。他们走得更远:“发现、鼓励并培养下一代会解决问题的人。”在官网上,Rusczyk亲自写下了他心目中的解题理念:


 

“我们学习解数学题,是因为数学是最基础的逻辑学科。数学不仅是科学的基石,也是一种最清晰的方法,用来学习和理解严谨的逻辑论证。数学语言极其精确:要么对,要么错。……无可争议,容不得半点主观。”[1]

 

至于解数学题的具体方法,Rusczyk总结出以下四个步骤:

1. 明确问题:这是解决问题的第一步。如果都不知道解决的问题是什么,就盲目开始,只会让解决过程难上加难。

2. 制定计划:接下来就是制定解决计划,可以运用哪些技巧,分析问题的特征,收集相关信息等,帮助自己在解决过程中做出正确的决定。一味横冲直撞,往往四处碰壁。

3. 解决问题:在前两步的基础上着手解决问题,行动大于想法,只要开始动手,无论好坏,总能有些成果。

4. 行动复盘:问题解决高手往往会在解决之后复盘全过程。如果是数学问题,可以反过来思考一下答案是否合理。在回顾过程中,考察一下哪里做对了,哪里做错了,尽量避免日后重复错误。[1]

Rusczyk的问题解决四步法简单朴素,不仅可用于解决数学问题,也适合处理工作或生活中遇到的其他问题。他的“问题解决之道”关键正在于此:一味死记硬背(数学公式也好,其他条条框框也好),只能解决眼前一道题。但学会数学的思维方式,可以解决更大范围内的更多问题,解决手段也会更多样化,更具创造力。几十年来,AoPS的成就受人瞩目。从1995年到2004年,美国国家奥数队整整20年没有在IMO上得到过一个冠军。但从2015年起,美国连续四年夺冠,成功因素当然有很多,例如数学强化项目,国家队主教练罗博深(Po-Shen Loh)的指导,还有一部分功绩便是AoPS。2015年美国国家队的6名队员都在不同时期参加过AoPS的在线课程,2016年蝉联冠军的美国队队员在培训数学时也使用过AoPS的教材[3]。这样的成就也间接圆满了Rusczyk自己的IMO梦想。

 

如果要问Rusczyk最喜欢的工作是什么?他的回答有点儿出乎意料:将一本本教科书送到真正喜爱数学、需要数学的学生手中,翻阅每一页,他们都能学到新的数学知识,培养数学思维,建立并拓宽自己的“问题解决之道”。对Rusczyk来说,和一群对数学探索充满激情的学生讨论才最有真实感,大家心照不宣:“我们是书呆子,又怎样?!这才是真正做自己!”[4]

 

参考资料

[1] https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Problem_solving

[2] Sandor Lehoczky, Richard Rusczyk - The Art of Problem Solving, Vol. 1_ The Basics (2006, AoPS Incorporated)-compressed[3] http://sdvoyager.com/interview/meet-richard-rusczyk-art-problem-solving-carmel-valley-rancho-bernardo/[4] https://www.newyorker.com/culture/persons-of-interest/richard-rusczyks-worldwide-math-camp

 



推荐 11