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他是法国前总理,更是一位被遗忘的数学奇人

他一生在出世的数学家和入世的政治家的不同角色之间切换,尽管他在政治生涯中取得了最高职位,但他作为数学家的贡献更为耀眼。

 

撰文 | 范明

 

17世纪以来,法国历史上出现了众多一流数学家,笛卡尔、韦达、帕斯卡、费马、拉格朗日、拉普拉斯、达朗贝尔、勒让德、蒙日、彭赛列、柯西、傅里叶、伽罗华、庞加莱、阿达马、格罗滕迪克等大师级人物,如天空中的群星般璀璨,不可胜数。与人们印象中对于数学家的刻板印象不同,很多法国数学家热心于社会政治活动,在法国还有数学家从政的传统。例如1799年拉普拉斯曾给数学爱好者拿破仑当过六个星期的内政部长,1831年伽罗瓦两度因政治原因下狱,2010年菲尔兹奖得主维拉尼(C. Villani)出任法国国民议会议员。数学家、政治家和航空赞助人保罗·潘勒韦(Paul Painlevé,1863-1933,旧译“班乐卫”)也是这样一位奇人。

左:潘勒韦标准像,右:1925年11月9日《时代周刊》封面的潘勒韦头像| 图源:https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/

 

所处时代里最著名的数学家之一

 

潘勒韦出生在巴黎的一个工匠家庭,他的童年正值法国的动荡年代,从小在文学和科学方面都具有天赋。直到中学毕业前,潘勒韦尚未决定自己的人生方向,在政治和工程之间举棋不定,但最终选择了科学生涯。1883年,潘勒韦进入巴黎高等师范学校(École normale supérieure,简称巴黎高师)学习数学,在P. Appell、G. Darboux、C. Hermite、皮卡德(É. Picard)、庞加莱(H. Poincaré )和 J. Tannery等教授的影响下被数学深深吸引。他在博士论文导师——当时法国最杰出的数学家之一皮卡德建议下,1886年前往德国哥廷根大学跟随克莱因(F. Klein)和施瓦兹(H. A. Schwarz)深造,次年以题为《关于解析函数的奇异线》的论文获得巴黎大学博士学位。

 

当时法国领先学者的标准职业道路是在外省获得第一个教职,然后尝试返回巴黎。潘勒韦博士毕业后被聘为里尔大学(Université de Lille)数学和应用力学讲师,1892 年回到巴黎,先后在巴黎大学、巴黎综合理工学院(École Polytechnique)和法兰西公学院(Collège de France)任教,1903年成为巴黎大学数学教授,1905年成为巴黎综合理工学院力学教授。潘勒韦的主要研究领域涉及微分方程及分析力学,他对数学最早的兴趣是代数曲线和曲面的有理变换,提出了双均匀变换的概念,并对非线性分析理论表现出极大兴趣。潘勒韦具有敏锐的数学直觉,他有一句名言:“在实数域的两个真理之间,最简单和最短的路径通常是穿过复数域。”

 

在瑞典现代数学之父米塔-列夫勒(G. Mittag-Leffler)的斡旋下,1888年庞加莱因对三体问题的研究获得瑞典和挪威君合国国王奥斯卡二世颁发的数学奖。1895年9-11月,同样对三体问题感兴趣的潘勒韦应国王之邀前往斯德哥尔摩大学讲学。潘勒韦的讲义《微分方程的解析理论教程》两年后出版,其中包括对n体问题奇异性的第一次系统研究。例如他证明了“三体问题的奇点都是碰撞奇点”, 并提出了著名的“潘勒韦猜想”:当n>3 时,n 体问题存在非碰撞奇点。用通俗的话来说,就是如果系统中有三颗以上星球,就可以将其中一颗甩到无穷远处。留美中国数学家夏志宏(1992年)和薛金鑫(2014年)分别证明了当n ≥ 5和n=4时潘勒韦猜想成立。

 

潘勒韦取得的最重要的成就之一是发现了后来以他的名字命名的非线性常微分方程以及新的超越函数。众所周知,线性常微分方程可以使用初等函数或经典的特殊函数求解,而求解非线性微分方程比线性方程困难得多。19世纪发现的椭圆函数扩展了特殊函数族,可用来求解一类二阶非线性常微分方程。潘勒韦利用 K. Weierstrass、L. Fuchs 和 S. V. Kovalevskaya 的想法,研究了一类二阶非线性常微分方程,其通解的二阶导数是自身和一阶导数的有理函数,该函数在复平面上局部解析,并且通解没有可移动临界奇点。这类方程被称为具有“潘勒韦特性”,有些文章中(如维基百科)“唯一可移动的奇点是极点”的定义是错误的。

 

潘勒韦与B. Gambier、R. Fuchs等发现,具有潘勒韦特性的非线性常微分方程总是可以转化为50种规范形式之一,其中44个方程可以经约化后使用已知函数求解,只有六个方程需要引进“新的”超越函数。这六个常微分方程被称为“潘勒韦方程”,而其解被称为“潘勒韦超越函数”,具有与经典特殊函数非常不同的性质。某些潘勒韦方程的不可约性一直是一个有争议的话题,1980年代末,日本数学家K. Nishioka和H. Umemura证明了所有潘勒韦方程都不可约化为线性方程或利用椭圆函数求解。由于在现代几何、量子场论、可积系统和统计力学中的应用,近年来潘勒韦超越函数重新引起数学界的兴趣,并且被推广到高阶非线性常微分方程以及非线性偏微分方程的研究。

 

潘勒韦系统地分析了刚体系统的运动,其中涉及到在滑动过程中的干(库仑)摩擦力。他给出了此类系统的一般运动方程,并指出使用库仑摩擦定律可能导致的自相矛盾的情况,提出了摩擦系统动力学中的“潘勒韦悖论”。后来潘勒韦还曾尝试创建力学公理,他相信力学公理允许定义仅适用于直线和匀速平移运动的绝对运动坐标系。类似于潘勒韦方程,由于近几十年来非线性动力学方法的发展,潘勒韦悖论再次回到公众视线。米塔-列夫勒对潘勒韦的评价是:“他不惧怕最困难的问题,是一位真正的发明家。” 与潘勒韦师出同门的阿达马(J. S. Hadamard)说:“潘勒韦继承了庞加莱的工作,达到了人类力量的极限。”

 

潘勒韦的数学才华很快得到国际公认,成为那个时代最著名的数学家之一。他曾获得法国科学院数学科学大奖(1890)、波尔丁大奖(Prix Bordin,1894)和蓬塞莱大奖(Prix Poncelet,1896),1900年当选为法国科学院(Académie des sciences)院士。同年在巴黎举办的国际数学家大会(ICM)上,潘勒韦担任分析分会主席。1904 年,他在海德堡ICM上作了题为《积分微分方程的现代问题》的大会报告。潘勒韦指导的一名博士是1907年毕业于巴黎高师的法都(P. Fatou),因勒贝格积分中的Fatou引理和复变动态系统中的Fatou集而知名。

潘勒韦的著作:《微分方程的解析理论教程》(左),《航空学》(右)| 图源:amazon.com & omnia.ie

 

航空先行者及执掌多个部门的政治家

 

如果潘勒韦继续从事数学研究,前途未可限量。然而19世纪末著名的“德雷福斯事件”改变了他的人生,从而迈出了政治生涯的第一步。德雷福斯(A. Dreyfus)是一位法国犹太裔军官, 1894 年 12 月被反犹联盟指控叛国罪并被判处无期徒刑。1898年初,以著名作家左拉(É. Zola)投书支持德雷福斯的清白为开端,掀起了为期十多年、天翻地覆的法国社会大改造运动。1899 年,潘勒韦在新的军事法庭上作证,持续为德雷福斯争取正义,直到 1906 年他被无罪释放,正式成为国家英雄。与潘勒韦亦师亦友的庞加莱和阿达马均为德雷福斯平反奔走呼号。

 

1901 年,潘勒韦与J. Petit de Villeneuve结婚,他们的儿子让(Jean Painlevé)于次年出生。不幸的是,潘勒韦的妻子在生产六周后死于产褥热。让由其父孀居的姐姐抚养成人,后来成为著名纪录片导演和制片人,执导了 200 多部科学和自然电影。潘勒韦是一位理想主义、人道主义及和平主义者,他于1910年停止了所有教学和研究工作,成为一名全职政治家。作为中左翼的共和-社会党人,潘勒韦一直担任法国众议院议员。第一次世界大战开始后,他主持了多个军事方面的委员会。潘勒韦于 1915 年加入内阁,历任法国公共教育部长、国防发明部长、战争部长、航空部长、财政部长等职。

 

潘勒韦自幼就对探索科学的奥秘感兴趣,对前卫技术充满好奇和激情,他在 1903 年利用流体力学理论证明了飞行的可能性。1908年 ,美国航空先驱莱特兄弟(Wright brothers)在几乎没有政府支持的情况下降落法国,展示他们的飞机并与法国方面谈判专利。10 月 10 日,潘勒韦登上威尔伯·莱特(Wilbur Wright)的飞机,成为第一位飞上天空的法国人。这架飞机携带了45 升汽油,在十米高的空中飞行了55公里,历时1小时9分钟后成功着陆。这位狂热的航空科学家亲身体验了自己的计算结果,顺利完成征服天空的壮举。

 

潘勒韦非常清楚飞机的重要性,他认为这是一种具有广阔前景的新型交通工具,他游说法国众议院,建议成立一个涉及航空的军事部门并获得成功,为法国航空业奠定了政治基础。1909年潘勒韦成为法国第一位航空动力学教授,致力于航空科学的理论研究,担任多个空中航行委员会的主席,并率先在大学开设空气动力学课程。1910年,潘勒韦与他的好友——法国著名数学家博雷尔(É. Borel)合作撰写了《航空学》一书。博雷尔是20世纪初测度论的开拓者之一,拓扑学中的Borel集以他的名字命名。博雷尔也是一位政治家,于1925年担任海洋部长。

 

1917年,作为战争部长的潘勒韦在一次讲话中说:“科学为人类社会保证公平合理的法律和组织,它将通过增加工业力量和对自然的控制来解决社会问题,不断创造新的财富,但不会从任何人手中夺走它们。科学将通过博爱的训化和智慧的发展最终软化人类行为,其本质上的集体努力已经使我们从心底和思想深刻地感受到高度团结所赋予生命的教诲。” 1924-1925年间,潘勒韦当选为众议院议长,他还两次出任法国第三共和内阁总理,第一次是在一战关键时期的1917 年 9 月 12 日至 11 月 13 日,第二次是在 1925 年4 月 17 日至 11 月 22 日的金融危机期间,因其改革计划未得到众议院批准而辞职,博雷尔就是潘勒韦第二任总理期间的内阁成员。

1908年10月28日,潘勒韦(右)乘坐法国飞行员Henri Farman驾驶的Voisin 双翼飞机 | 图源:https://gallica.bnf.fr/

 

为中法文化科学交流搭桥

 

由于从事科学研究的关系,潘勒韦对于古老神秘的中华文明十分好奇。早在1914年,他就结识了因二次革命失败流亡巴黎的民国首任教育总长蔡元培。1919 年巴黎和会期间,北洋政府交通总长叶恭绰前往欧、美、日、朝鲜诸国考察。在叶恭绰、潘勒韦和韩汝甲等人的努力下,巴黎大学中国学院于1920年3月17日成立,潘勒韦为首任院长,后来赴巴黎大学勤工俭学的中国学生大多入读该学院。潘勒韦曾向叶恭绰提出,法国政府愿用退还的部分庚款印行四库全书,为此他于1919年9月专程到上海商议此事,但由于资金缺口及时局动荡未能成功。

 

1920年6月22日至9月11日,应北洋政府之邀,潘勒韦率领由法国文化界、知识界著名人士组成的代表团前往中国访问,他的随员中有法国文学家博纳尔、巴黎大学经济教授马丹、铁路工程师纳达尔以及数学家博雷尔。潘勒韦特别强调此行是一次文化之旅,代表团与中国学术文化界进行了广泛交流。7月1日,潘勒韦参观北京大学,并在北大理科大讲堂演讲,蔡元培校长致欢迎词。6月29日至7月1日,《北京大学日刊》连续三天进行宣传。7月4日的《申报》以《北大欢迎班乐卫》为题作了报道,并刊登了蔡元培的欢迎词和潘勒韦的演讲。潘勒韦说:“三四千年之前,欧洲文明各国尚未形成,而中国之天文学、数学,竟能预测日、月蚀,实足钦佩。”

 

鉴于潘勒韦对中法文化交流的热心,以及在数学领域的贡献,8月31日蔡元培在北京大学主持仪式,聘请潘勒韦担任北大名誉教授。北大教务会议还决定授予潘勒韦,美国外交家、远东事务权威苪恩施(P. S. Reinsch),法国教育家和外交家、里昂中法大学校长儒班(P. Joubin),美国著名哲学家、教育家、心理学家杜威(J. Dewey)“理学荣誉博士”称号,首开国内大学授予外国学者荣誉博士称号的先河。授予仪式那天只有潘勒韦一人在京,蔡元培在致辞中说:

 

“北京大学第一次授予学位,而受者为班乐卫先生,可为特别纪念者有两点:第一,大学宗旨,凡治哲学文学及应用科学者,都要从纯粹科学入手。治纯粹科学者,都要从数学入手。所以各系次序,列数学为第一系。班乐卫先生为世界数学大家,可以代表此义。第二,科学为公,各大学自然有共通研究之对象。但大学所在地,对于其地之社会、历史,不得不有特别注重之任务,就是分工之理。北京大学既设在中国于世界学者共通研究之对象外,对于中国特有之对象,尤负特别责任。班乐卫先生最提倡中国学问的研究,又可以代表此义。所以我以为本校第一次授予学位属于班乐卫先生,不但是北京大学至重要之纪念,实可为我国教育界之大纪念。”

1920年潘勒韦(左三)、博雷尔(左二)等在北大 | 图源:http://mjlsh.usc.cuhk.edu.hk/

 

1920年底蔡元培抵达法国考察,遍访当地名流。1921年1月和2月,蔡元培两次拜访老友潘勒韦,请他推荐几位法国学者访华。潘勒韦推荐的第一位科学家就是享誉世界的玛丽·居里,另外三位是物理学家佩林(J. B. Perrin)、朗之万(P. Langevin),及数学家阿达马。为此蔡元培专程前往玛丽·居里的实验室,邀请她到中国访问,遗憾的是一直未能成行。1931年,朗之万参加国联组织的中国教育与科学发展考察团来华访问,与中国物理学家进行了广泛接触和交流,做了多次学术演讲。1936年,阿达马前往上海交大、浙江大学演讲,后应清华大学之邀赴京讲学3个多月。四位大师分别培养了施士元、李书华、汪德昭、熊庆来、吴新谋等中国弟子,对中国近代数学和物理学的发展产生了重要影响。

 

政治生涯里的“广义相对论”插曲

 

1921-1922年间,潘勒韦的注意力转向广义相对论。1925年11月,爱因斯坦提出了广义相对论的核心——场方程,不久后德国物理学家K. Schwarzschild证明了被称为“史瓦西度规”的球对称真空解,其重要特征是史瓦西半径和奇点。潘勒韦和与古尔斯特兰德(A. Gullstrand)先后独立推导出在史瓦西半径处没有奇点的爱因斯坦方程解,这个解后来命名为 Gullstrand- Painlevé 坐标。古尔斯特兰德是瑞典乌普萨拉大学眼科与光学教授、1910年诺贝尔生理或医学奖得主、诺贝尔物理学奖评委,曾极力反对爱因斯坦因相对论获奖。1921 年 10 月和11月,潘勒韦在法国科学院发表了两篇笔记,其中考虑广义相对论的数学形式,直接从问题的对称性推导出上述爱因斯坦场方程解。

 

1921年底潘勒韦写信给爱因斯坦,介绍自己的解决方案,并邀请爱因斯坦前往巴黎探讨。1922 年3月底爱因斯坦接受法国物理学会之邀访问巴黎,成为一战后首位在法国公开露面的德国人,因此引起轰动。爱因斯坦在法兰西公学院作了公开演讲,并与潘勒韦、贝克勒尔(H. Becquerel)、布里渊(L. Brillouin)、嘉当(É. Cartan)、阿达马、朗之万等人进行了激烈辩论。爱因斯坦对于潘勒韦方案中线性元素的非二次交叉项感到困惑,因此否定了他的想法。在这场辩论后,潘勒韦发表了第三篇笔记,将他在牛顿理论中使用的几何形式扩展到广义相对论。

 

法国科学院是一个相当保守的学术机构,包括其中最活跃的一些成员,直到1921年都对广义相对论持敌对态度,认为它破坏了牛顿经典力学。在经过某些科学院成员对于广义相对论的一场恶毒攻击之后,潘勒韦的工作旨在“缓和”这场辩论,引导那些对爱因斯坦新理论感到困惑的同事们对两种理论进行比较性研究。根据潘勒韦的科学背景,当时很难做到完全客观,他还没有准备好放弃整个经典力学的大厦。然而他的尝试具有高度建设性,为随后在科学院进行的富有启发性的辩论做出了贡献,使得爱因斯坦的巴黎之行富有成效。

 

潘勒韦最早构造出在史瓦西半径处没有奇点的爱因斯坦方程解,虽然后来他对其有效性也表示怀疑,但是作为数学家,潘勒韦确信这一有争议的方案的形式推导是正确的。潘勒韦对于广义相对论的兴趣持续了六个月后即重返政坛,而他的一些超前思想却被遗忘了几十年。尽管当时包括爱因斯坦在内的许多著名物理学家都认为在史瓦西半径上的物理奇点是实际存在的,而1933年G. Lemaitre发现了潘勒韦的解实际上是史瓦西度规的一个坐标变换,人们才得知坐标系的变换揭示史瓦西半径仅仅是一个坐标奇点,更深远的意义是它代表了黑洞的事件视界。直到 1960年代,一些如微分几何等更高级的数学工具进入广义相对论的研究,物理学家们才普遍认可这一点。

爱因斯坦在法兰西公学院演讲,潘勒韦坐在黑板左前方 | 图源:astromontgeron.fr

前排左起朗之万、爱因斯坦、诺埃勒伯爵夫人、潘勒韦,后排右二博雷尔 | 图源:wellcomecollection.org/

 

富有理性和活力的一生

 

潘勒韦天生淳朴、精力充沛、充满活力,身上散发着一种即使在其对手中也很少有人能够抗拒的人格魅力。他一生在出世的数学家和入世的政治家的不同角色之间切换,撰写出版了144部/篇学术著作、教科书及论文,最后一部著作是1930年出版的《无粘性流体阻力教程》。1925年,潘勒韦辞去法国总理职位后,继续在政府中担任高官。1932 年,他被推举为法国总统候选人,却在大选前退出。潘勒韦毕生享受理性思维和科学精神带来的愉悦,成为“数学治国”的典范。潘勒韦是沿法国东部边界的军事防御工事——马其诺防线的主要设计者之一,他还提议制定一项禁止制造轰炸机的国际公约,并建立一支国际空军以维护全球和平,但由于1933年1月法国政府倒台而付之东流。

 

一些历史学家认为,尽管潘勒韦在他的政治生涯中取得了最高职位,但他作为数学家的贡献更为显著。潘勒韦在生命的黄昏又回到自己最喜爱的研究领域,他曾说:“如果我必须离去,我会尽量优雅地做到这一点!”1933 年 10月29日,潘勒韦因心力衰竭在巴黎家中去世,预言成为了现实。11月4日举行国葬,潘勒韦长眠于先贤祠,法国失去了她最优秀的一个儿子。巴黎拉丁区的一个广场及里尔大学的一个数学实验室以潘勒韦冠名,太阳系小行星953被命名为Painleva。有一艘法国航母也被命名为“潘勒韦号”,但仅存在于图纸上。就像他的许多愿景一样,未必都能付诸现实或者被人长时间遗忘,然而潘勒韦终生为之奋斗,乐此不疲。

法国四大日报之一《小日报》1925年的两期头版左图:潘勒维(右)与内阁成员;右图:潘勒维(飞机上站立者)访问摩洛哥图源:larousse.fr & mediastorehouse.com

 

参考文献

[1] A V. Borisov & N. A. Kudryashov, Paul Painlevé and His Contribution to Science, Regular and Chaotic Dynamics Vol. 19, 2014.

[2] J. Fric, Painlevé in 1921, a breaking-through solution, in general relativity, totally misunderstood at that time, Paris-Diderot University 2020.
 

[3] 蔡元培与现代中国,蔡元培研究会编,北京大学出版社 2010.

 



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