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攻克高维版本球堆积问题——乌克兰女数学家获得2022菲尔兹奖

2022年7月5日,国际数学联盟(IMU)公布了新一届素有“数学诺贝尔”之称的菲尔兹奖。颁奖仪式在位于赫尔辛基的阿尔托大学(Aalto University)线下举行。法国数学家雨果·迪米尼-科潘(Hugo Duminil-Copin,36岁)、美籍韩裔数学家许埈珥(June Huh,39岁)、英国数学家詹姆斯·梅纳德(James Maynard,35岁)和乌克兰数学家马林娜·维亚佐夫斯卡(Maryna Viazovska,37岁)获此殊荣。

 

其中,维亚佐夫斯卡是该奖历史上第二位女性得主,也是乌克兰首位获得该奖的数学家,获奖理由是“表彰其利用E8格证明了8维空间中的等体球体最密堆积问题,以及对相关极值问题和傅里叶分析中插值问题的进一步贡献。”本文讲述了其非凡惊人的工作。

 

7月3日,《返朴》曾刊发普林斯顿大学倪忆教授的文章《2022年菲尔兹奖,呼之欲出?》,该文预测到了新晋四位得主中的三人,对他们的成就都有简要介绍,也提到了有着传奇经历的许埈珥,他的故事可详见今日微信二条。

 

撰文 | 埃莉卡·克拉赖希(Erica Klarreich)

翻译 | 张旭成

马林娜·维亚佐夫斯卡(Maryna Viazovska),37岁。在2016年在线发布的两篇论文中,一位乌克兰数学家解决了有数百年历史的“球堆积”问题的两个高维版本。她证明,在8维和24维(后一情形与其他研究人员合作完成)的情形下,两种高度对称的排列能够以尽可能最密集的方式将球体堆积在一起。
数学家最晚从1611年就开始研究球堆积了。当时,约翰内斯·开普勒推测(Johannes Kepler),在空间中把相同大小的球体堆在一起的最密集的方式,就是杂货店里常见的用来摆放橙子的金字塔形。尽管这个问题看起来简单,但它直到1998年才得以解决——托马斯·黑尔斯(Thomas Hales)以250页的数学论证结合庞大的计算机计算,最终证明了开普勒的猜想。[1]
高维的球堆积很难想象,但非常实用:球体密堆积与手机、空间探测器和互联网通过噪声信道发送信号时使用的纠错码密切相关。高维球体很容易定义——它只是高维空间中与给定的中心点有固定距离的点的集合。在高维空间中寻找相同大小球体的最密堆积应该比黑尔斯解决的三维情形更复杂,因为每增加一个维度就意味着有更多可能的堆积方式要考虑。然而数学家们早就知道有两个维数是特殊的:8维和24维,这两个维数中分别存在着被称为E8 和利奇格(Leech lattice)的对称球堆积, 这两种令人眼花缭乱的球堆积要好于在其他维数上已知的最密球堆积的候选者。
“不知怎么的,一切都刚好完美地融合在了一起,这简直是个奇迹。”马萨诸塞州剑桥市微软新英格兰研究院的数学家亨利·科恩(Henry Cohn)说,“我想不出一个简单且直观的方法来解释它是什么。”
出于数学家们尚未完全理解的一些原因,E8 和利奇格与包括数论、组合和双曲几何在内的许多数学学科有关,甚至与弦论等物理领域也有关。科恩说,它们形成了“一种纽带,让许多不同的数学领域相交汇”。
“这其中发生了一些奇妙的事情,我想知道它是什么。”
数学家们已经积累了令人信服的数值证据,表明 E8 和利奇格分别是各自维度上的最密堆积。但这些证据还不足以形成严格的证明。早在十多年前,研究人员就知道证明中缺少的应该是一个“辅助”函数,它可以计算最大容许的球体密度,但他们尚未找到这个正确的函数。
2016年3月14日,马林娜·维亚佐夫斯卡(Maryna Viazovska)在线发布了一篇论文,给出了8维情形缺少的函数。[2]她的工作使用了模形式的理论,模形式是一种强大的数学函数,当它被应用于某个问题时, 似乎可以解锁大量的信息。在8维情形下,当时还是柏林数学学院和柏林洪堡大学博士后研究员的维亚佐夫斯卡找到正确的模形式,只用23页纸就证明了 E8 是最密的8维堆积。普林斯顿大学和高等研究院的彼得·萨尔纳克(Peter Sarnak)说:“就像所有伟大的事情一样,这个证明非常简单。刚开始读论文时,你就知道它是对的。”
一周之内,维亚佐夫斯卡、科恩和其他三位数学家成功地将她的方法推广到了利奇格。“我想我们中一些人已经对此期待了很长时间。”黑尔斯说。图片来源:Daniil Yevtushynsky

 

填充空隙

我们可以在每个维数构造一个类似于金字塔状的橙子堆,但随着维数增加,高维橙子之间的空隙也会增大。到8 维时,这些空隙已经大到足以容纳新的橙子,并且只有在8维情况下,新添加的橙子才被紧紧固定在空隙中。由此产生的8维球堆积就是E8,虽然它是通过两步构造出来的,但它的结构比预想的要均匀得多。“一部分神秘之处在于,这个对象比听上去要漂亮和对称得多。”科恩说,“它有很多额外的对称性。”
类似地,利奇格也是通过在密度较低的堆积中添加球体来构建的, 这一点几乎是在事后才被发现的。20世纪60年代,英国数学家约翰·利奇(John Leech)研究了一种24维堆积,它可以通过“戈莱码”(Golay code)构造。戈莱码是一种纠错码,后来被用于传输旅行者号探测器拍摄到的有历史意义的木星和土星照片。在利奇关于这种堆积的文章发表后不久,他注意到,这种堆积所产生的空隙有足够的空间,可以放入更多的球,并且这样做会使堆积的密度增加一倍。[3]
利奇格由此产生。在利奇格中,每个球体都被其他196 560个球体包围。普林斯顿大学数学家约翰·康威(John Conway)通过探测格的结构,在这种独特的排列中发现了三种全新的对称类型。[4]耶路撒冷希伯来大学的数学家吉尔·卡拉伊(Gil Kalai)说,利奇格是“少数几个最令人兴奋的数学对象之一”。
2003 年,科恩和哈佛大学的诺姆·埃尔基斯(Noam Elkies)发明了一种方法,来比较 E8 和利奇格在各自维数上与其他球堆积方式的表现。[5]科恩和埃尔基斯的工作表明,在每个维数中都存在一个无穷的“辅助” 函数序列,它可以用来计算该维数中容许的球体堆积密度的上限。
在大多数维数中,迄今为止发现的最密球堆积甚至无法接近这种方法产生的密度极限。但科恩和埃尔基斯发现,在8维和24维中,最密堆积—— E8 和利奇格——好像几乎撞到了上限的天花板。科恩和石溪大学的阿比纳夫·库马尔(Abhinav Kumar)对辅助函数序列进行大量的数值计算后发现,在8维和24维中,可能的最密堆积的密度比 E8 和利奇格高至多0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 1%。[6]
鉴于这种非常接近的估计,似乎很明显 E8 和利奇格一定是各自维数中的最密堆积。科恩和埃尔基斯猜测,对于这两个维数中的每一个,都应该有一些辅助函数来给出与 E8 和利奇格的密度相匹配的精确答案。埃尔基斯在一封邮件中写道:“我们做了很多次报告,甚至召开了一两次会议来宣传这个问题,希望这样一个(函数)是已知的,或者只要我们知道了它在哪个数学领域就能很容易找到它,但一无所获。”
黑尔斯说,多年来他一直认为正确的函数应该存在,但不知道如何找到它。“我觉得我们可能需要拉马努金转世才能找到它。”他说。拉马努金指的是20世纪初的数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金(Srinivasa Ramanujan),他以似乎能凭空找到深刻的数学思想而闻名。
后来,维亚佐夫斯卡使用了拉马努金也广泛研究过的一种数学对象:模形式(Modular forms),发现了 E8 和利奇格难以捉摸的辅助函数。黑尔斯说:“她拉来了一个拉马努金。”

 

开采黄金

模形式是具有特殊对称性的函数,就像埃舍尔的版画中天使和魔鬼的圆形镶嵌图案一样。这些函数具有启发不同数学领域的惊人能力——例如,它们在1994年费马大定理的证明中就发挥了重要作用。尽管模形式已经被研究了几个世纪,但数学家们仍在揭开隐藏在其系数中的深层秘密。萨尔纳克称模形式为金矿。“我等着某天有人写一篇题为‘模形式不合理的有效性’的文章。”他说。

托马斯·黑尔斯(Thomas Hales)于1998年用计算机证明了一个著名的猜想,即如何用最密集的方式堆叠球体。丨图片来源:Michigan Photography

然而不幸的是,模形式的数量十分有限,并且它们是高度受约束的对象。“你不能只写下一个模形式,就让它做你需要的任何事。”科恩说,“所以问题在于,是否真的存在一个模形式能做你需要它做的事。”
维亚佐夫斯卡2013年的博士论文是关于模形式的,而且她在离散优化方面也有专长。离散优化是球堆积问题的核心领域之一。因此,5年前,当维亚佐夫斯卡的朋友、挪威科技大学的安德里·邦达连科(Andrii Bondarenko)建议他们一起研究8维球堆积问题时,维亚佐夫斯卡同意了。
他们与德国马克斯·普朗克数学所的达尼洛·拉琴科(Danylo Radchenko)一起断断续续地研究这个问题。最终,邦达连科和拉琴科转向了其他问题,但维亚佐夫斯卡仍继续独自持灯前行。她说:“我觉得这是属于我的问题。”
经过两年的努力,维亚佐夫斯卡成功为 E8 找到了正确的辅助函数, 并证明它是正确的。维亚佐夫斯卡表示,她很难解释自己是如何知道该使用哪种模形式的,她目前正在写一篇文章,试图描述引领自己找到模形式的“哲学原因”。她说:“这背后有一个全新的数学故事。”2016 年3 月14 日,维亚佐夫斯卡发表了她的论文。之后,她被这篇论文在球堆积研究人员中引发的兴奋情绪所震惊。“我认为人们会对这个结果感兴趣,但我不知道会有这么多关注。”维亚佐夫斯卡说。
那天晚上,科恩发邮件向她表示祝贺,在两人邮件交流时,他问维亚佐夫斯卡是否有可能将自己的方法推广到利奇格。“我当时觉得,‘我已经累了,应该休息一下。’”维亚佐夫斯卡说,“但我还是想试着发挥作用。”
他们两人开始与库马尔、拉琴科以及罗格斯大学的斯蒂芬·米勒(Stephen Miller)合作。得益于维亚佐夫斯卡早期的研究成果,他们很快为利奇格找到了一种构造正确辅助函数的方法。在维亚佐夫斯卡发布她第一篇论文后仅一周,该团队就在网上发布了一篇12页的论文。[7]
这些结果对纠错码没有任何实际意义,因为已知 E8 和利奇格接近完美就足以满足所有现实世界的应用。但这两个证明却给数学家们提供了一种完结感和一个强大的新工具。科恩说,接下来一个自然的问题是, 这些方法是否可以用来证明 E8 和利奇格具有“泛最优性”。这意味着它们不仅提供了最密堆积,而且如果将这些球体的中心视为互斥的电子的话,它还提供了能量最低的堆积。
斯坦福大学的阿克沙伊·文卡特什(Akshay Venkatesh)表示,由于 E8 和利奇格与数学和物理学的许多领域有关,维亚佐夫斯卡的方法最终很可能带来更多的发现。“在我看来,这个函数很可能也是某个更丰富的故事的一部分。”

 

参考文献

[1] https://doi.org/10.4007/annals.2005.162.1065

[2] https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.7[3] https://doi.org/10.4153/CJM-1964-065-1[4] https://doi.org/10.1112/blms/1.1.79[5] https://doi.org/10.4007/annals.2003.157.689[6] https://doi.org/10.4007/annals.2009.170.1003[7] https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.8本文经授权摘自《素数的阴谋》(中信出版社·鹦鹉螺,2020.2),原标题为《数学家攻克高维版本的球堆积问题》。
 



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