​​日有所思，夜有所梦。每天都在做数学，梦中就出现了数学问题。从中学题目到部分大学在研究生才学习的李群和李代数，有这么几道有意思的题，姑且记来。

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撰文｜咸道

《红楼梦》中有一个故事：香菱学作诗，用了很多苦功也没能作好，却在梦中作出一首好诗。当然这有点“怪力乱神”的味道。据说著名的小提琴曲《魔鬼的颤音》也是在梦中作出的。那么在现实中这样的事真的能发生吗？我所关心的是：在梦中能做数学吗？

也许某些天才可以，而吾等凡夫俗子是不行的。在我的梦中，场景变化很快，而且是跳跃式的，每个场景持续的时间很短，更谈不上逻辑性。而要证明一个定理，需要多步推理且还要反复检验，在梦中当然不可能做到。

但是，在梦中出现一个好的 idea 倒并非不可能。如作诗梦见一个妙词或妙句，我还是相信的。但另一个问题是，绝大多数梦境在醒来时都忘了，只有在梦见妙句时突然醒来，才有可能记下并传之于世。

对于数学，这样的好事最近我遇到多次，写出来与大家分享，就是数学的“痴人说梦”了。

一 日有所思

先得说明一下“日有所思”，才好解释什么是“夜有所梦”。

由于新冠肺炎流行，我和大家一样宅在家里。首先要做的是修订《李群与李代数基础》一书。这是2015年出版社就约稿的，去年8月我计划再讲一次定稿。尔后顺利讲完，但整理书稿的工作量仍很大。幸乎不幸乎，新冠肺炎让我有了时间，而且学校延期开学，开学后又是网上授课，这样我有了近两个月的连续工作时间，终于在上周完成了修订工作，向出版社交稿了。所以现在有时间聊些轻松愉快的话题。

开学后的教学工作，当然也是与数学有关的。一方面是研究生课程《交换代数与同调代数》，我觉得上网课肯定是不行的，遂采用了“网上讨论班”的授课方式。实行以来相当有效，因为同学们提出的问题往往是同学们先回答，而且到处查阅资料。大家在微信群中上传的文件也很多，有些贪婪的同学把整本的厚书上传，如EGA（格罗滕迪克的著作 Eléments de Géométrie Algébrique 的简写，即《代数几何原本》）和布尔巴基学派的书。除了研究生课程，我还有对本科生甚至中学生的教学任务，这些目前还没有值得一提的进展，但仍在努力。

应该说这些工作的难度都不大，否则我晚上只会做噩梦。但毕竟每天都在玩数学，梦中就会常出现数学问题，有几个醒来时还没忘，而且觉得有点意思，下面就一个个写出来。不是按照做梦的时间顺序，而是按照难度从低到高排列的。

二 夜之所梦

01 梦到数学题

02 梦到本科题

03 梦到李群与李代数问题之一

04 梦到李群与李代数问题之二

下面说的这个梦，尽管是转瞬即逝，要听痴人说梦却有点辛苦，需要跟着做好几个习题才行。

在梦中也是苦苦挣扎，这次是努力用直线的无穷小运动计算李代数。如我在前文所说，吾等凡夫俗子肯定是算不出的。挣扎着就醒了。

醒来后想想，在梦中算的是什么李群的李代数呢？一般的线性群的李代数在教科书中不是都有计算吗？

无穷小运动！明白了，在梦中算的是运动群。

这还真是个问题，一般的教科书中没有。为了详细解释，我把需要做的习题逐个列出，不想做的就别往下看了。

​由于ΓO(V,<,>)不是GL(V)的子群，关于线性群的李代数的结果不能直接套用。但可利用 

 的一个很好的线性表示来解决这个问题。

这样就在书中又增加了一道习题。

三 尾声

诸位在抗疫期间都好吗？问候大家了。

如果您成天看的都是疫情消息，这篇文章就算是给您打打岔了。

在这段时间能做几个好梦，也算是不幸之中的小幸了。

不知诸位是否也做过数学的好梦，若有请拿来分享。

谢谢大家。

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