撰文 | 陈跃（上海师范大学数学系副教授）

 

编辑 | 朱善军（同济大学硕士研究生在读）

 

本文所讲的现代数学史是指20世纪数学史。20世纪是数学飞速发展的时代，据估计，全部数学的90%是在20世纪中创造的。如今的数学真正成为了人类知识领域中最博大精深的一个，其抽象与艰深的程度登峰造极，数学知识出现了前所未有的大爆炸，这对编写现代数学史的人们来说造成了空前巨大的困难。

 

现代数学史研究的范围主要是在20世纪中形成的基础数学的发展历史，它自然包括了现代微分几何、抽象代数、偏微分方程与泛函分析、代数拓扑、多复变函数论、代数数论和代数几何等主要分支学科的历史。虽然目前国外已经有了一些关于现代数学发展历史的书和文章，但是国内在研究现代数学史方面还处于刚刚起步的阶段。研究现代数学史和普及现代数学史知识，并且将它们与现代数学的教学有机结合起来，这对于国内数学专业的研究生学习和掌握现代数学、以及促进现代数学的研究和发展具有十分重要的意义。

 

数学大师陈省身先生在谈到现代数学的发展时，曾经感叹“一部二十四史从何说起”。尽管如此，在最近三十年来，还是出现了一些按分支学科编写的数学各主要分支学科在20世纪的发展史著作。依照J. Dieudonné在其英文著作《纯数学概观》一书中的划分方法，20世纪现代基础数学的A级主流学科有代数拓扑与微分拓扑、微分几何、偏微分方程、复解析几何（即多复变函数论）、代数几何、数论、非交换调和分析、自守形式与模形式、常微分方程、遍历理论等10门学科，在它们下面有次一级的7门B级学科：同调代数、李群、群论、交换调和分析、Von Neumann代数、概率论、数理逻辑，再下面是范畴与层、交换代数、算子的谱理论等3门C级学科。在最近出版的《普林斯顿数学指南》中，强调了代数数论、解析数论、代数几何、算术几何、代数拓扑、微分拓扑、参模空间、表示论、偏微分方程、算子代数等10门主流分支学科。令人高兴的是，对于不少现代数学分支学科，已经有了专门的著作开始初步论述它们各自的发展历史：

 

代数拓扑与微分拓扑方面有J. Dieudonné 的英文著作《代数拓扑与微分拓扑史1900-1960》和干丹岩的中文著作《代数拓扑与微分拓扑简史》。

 

微分几何方面有M. Berger 的英文著作《20世纪后半叶的黎曼几何》。

 

代数几何方面有J. Dieudonné 的英文著作《代数几何史》。

 

数论方面有冯克勤的中文著作《代数数论简史》。

 

 

图1：干丹岩写的《代数拓扑与微分拓扑简史》

图2：冯克勤写的《代数数论简史》

 

李群与代数群方面有A. Borel的英文著作《李群与代数群历史论集》和T. Hawkins的英文著作《李群理论的形成：数学史上的一章1869-1926》 。

 

范畴与函子方面有L.Corry 的英文著作《抽象代数与数学结构的兴起》。交换代数方面有J. J. Gray和K. H. Parshall 主编的英文文集《抽象代数史片断1800-1950》。

 

泛函分析方面有J. Dieudonné 的英文著作《泛函分析史》（有高等教育出版社的中译本）。

 

图3：J. Dieudonné 的《泛函分析史》的中译本

 

表示论方面有C. W. Curtis的英文著作《表示论的先驱：Frobenius,Burnside,Schur和Brauer》。

 

调和分析方面有G. W. Mackey 的英文著作《交换与非交换调和分析的范围与历史》。

 

对于偏微分方程、复解析几何、同调代数等学科的发展历史，在 J-P. Pier 主编的两本英文文集《数学的发展1900-1950》、《数学的发展1950-2000》和I. M. James 主编的英文文集《拓扑史》中各有较长的研究文章专门加以论述。这三本研究文集内容丰富，包含了现代数学许多分支学科发展史的研究文章。在《数学的发展1900-1950》的开头，还有一份长达34页的20世纪上半叶数学研究成果的大事年表，其中详细记录了每一年所取得的重大进步。

 

此外还有由D. E. Rowe 和J. McCleary 主编的3卷英文文集《现代数学史》。

 

值得注意的是，由J-P. Pier写的英文著作《20世纪数学分析》，在简略地分学科叙述了传统上属于分析的点集拓扑、实变函数、泛函分析、调和分析、复分析与复解析几何、常微分与偏微分方程、概率论等学科发展历史的同时，还简要地叙述了李群、代数拓扑、微分拓扑、代数几何与整体微分几何等与分析密切相关的学科的发展历史。这充分表现了现代数学各分支学科之间交叉融合、趋于统一的本质特征。

 

在讨论现代数学史著作的出版现状时，不能不说到《20世纪数学思想》这部介于数学通史与普及综览之间的中文著作。这部试图仿效M . Kline的《古今数学思想》的大作强调了布尔巴基的结构主义，并且以群论和拓扑学为中心，对现代数学的主要分支学科的发展作出了简略的叙述，《20世纪数学思想》的写作可以看作是迈向编写20世纪数学中文通史著作的第一步。

 

 

图4：胡作玄、邓明立写的《20世纪数学思想》

 

笔者认为，如果说在未来的现代数学通史中有一个中心分支学科的话，那么这个中心学科应该是代数几何。在20世纪数学各主要分支学科的发展过程中，代数几何所起的推动作用最大，它甚至可以看成是一个综合了数论、代数、几何、拓扑和分析的一个庞大的领域，是20世纪数学统一化的主要源动力。在几乎所有20世纪基础数学重大进步的背后，总能看到代数几何的影子，因此代数几何在现代数学通史中的地位不会低于群论和拓扑学。在编写现代数学通史时，还有一个重要的问题是怎样写作和表达的问题，像《古今数学思想》那样分学科叙述的方式，很容易写出各部分互不关联或者很少关联的拼盘式的现代数学通史，从而很难准确反映不断进行交叉融合、趋于统一的现代数学发展过程，为此人们需要探索和研究新的写作表述方式。

 

到目前为止，在世界范围内似乎还没有一部真正意义上的20世纪数学通史（至少是前70年的数学史）问世。许多现代数学分支学科历史著作和文章的作者是各领域里的资深数学家。虽然他们所做的论述与研究十分珍贵，但这还是比较初步和单方面的，还有待于数学史家进行整理扩充和进一步的研究，特别是各分支学科相互作用的研究。对于重要数学问题的解决，最好能给出详细的历史发展过程和思想源流的介绍。陈省身先生曾经评论：“现在的数学史著作，好像是‘新闻汇集’”，“很少涉及数学发展的真正关键” 。

 

最大的困难还在于如何正确理解和全面地把握现代数学。“在数学中，要讲述真理是极其困难的，数学理论的形式化的陈述并没有讲清全部的真理。数学理论的真理更像是当我们在听一些专家所做的漫不经心的随口评述时，我们去捕捉专家评述的动因后才会感触到的体味，当我们最终搞清楚典型的例子时或是当我们发现了隐藏在表面化诸问题之后的实质问题时，我们才品尝到数学之真。哲学家和精神分析学要解释，为什么我们的数学家习惯于系统地擦去我们走过的足迹。科学家们总是不理解地看待数学家的这种怪异的习惯，而这种习惯自毕达哥拉斯以来直至今天几乎没有改变。”

 

由此看来，建设现代数学史这一数学史分支学科的任务，无疑是最为艰巨的。考虑到一直要等到20世纪下半叶的1972年，M . Kline才写出了主要讲述18与19世纪近代数学通史的《古今数学思想》，那么可以预料，我们可能还要等待相当长的时间才能见到20世纪数学通史巨著的问世。

 

参考文献

 

[1] J. Dieudonné, A Panorama of Pure Mathematics，Academic Press, 1982.

 

[2] T. Gowers (ed.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008（有科学出版社的中译本）.

 

[3] J. Dieudonné，A History of Algebraic and Differential Topology,1900-1960，Birkäuser，Boston，1989.

 

[4] 干丹岩，代数拓扑和微分拓扑简史，湖南教育出版社，2005.

 

[5] M. Berger，Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century ，American Mathematical Society，2000.

 

[6] J. Dieudonné , History of Algebraic Geometry ，Wadsworth，California，1985.

 

[7] 冯克勤，代数数论简史，湖南教育出版社，2002.

 

[8] A. Borel，Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups , American Mathematical Society, 2001.

 

[9] T. Hawkins，Emergence of the Theory of Lie Groups: an essay in the history of mathematics 1869-1926，Springer，2000.

 

[10] L. Corry，Modern Algebra and the Rise of the mathematical Structures，Birkhäuser Verlag ，2004.

 

[11] J.J.Gray, K. H. Parshall(ed.),Episodes in the History of Modern Algebra (1800-1950)，American Mathematical Society，2007.

 

[12] J. Dieudonné ，History of Functional Analysis，North-Holland，1981.

 

[13] C. W. Curtis , Pioneers of Representative Theory: Frobenius,Burnside,Schur,and Brauer , American Mathematical Society ,1999.

 

[14] G. W. Mackey , The Scope and History of Commutative and Noncommutative Harmonic Analysis , American Mathematical Society , 1992.

 

[15] J-P. Pier (ed . )，Development of Mathematics 1900-1950，Birkhäuser Verlag ，1994.

 

[16] J-P. Pier (ed . )，Development of Mathematics 1950-2000，Birkhäuser Verlag ，2000.

 

[17] I . M . James (ed .) ，History of Topology ，Elsevier Science B . V . ，1999.

 

[18] D . E . Rowe , J . McCleary (ed .) , The History of Modern Mathematics , Academic Press ,1989-1994.

 

[19] J-P . Pier ，Mathematical Analysis During the 20 th Century，Oxford University Press，2001.

 

[20] 胡作玄、邓明立，20世纪数学思想，山东教育出版社，1999.

 

[21] 张奠宙，20世纪数学经纬，华东师范大学出版社，2002.

 

[22] J. L. Casti，不变量理论的两个转折点，数学译林,2001，第4期.

 

本文经授权转载自微信公众号“小朱的读书笔记”，原文标题为《现代数学史著作介绍》。