格拉斯曼是十九世纪德国的一位中学教师、语言学家，一个只手创立了外代数的人。受经典几何(莱布尼兹的普适代数的思想)以及其父关于空间的学问的影响，格拉斯曼创立了线之代数 (algebra of line segment)，引入了内积、外积、代数的交换律-结合律-分配律等概念，发明了线性方程组求解方法以及矩阵本征值问题的解法。他的geometric calculus 能处理任意维空间里的几何问题。Die lineale Algebra, linear algebra, 成了全世界理工科学生必修的数学课程，在汉语中被误译为线性代数。在格拉斯曼工作的基础上，克利福德创立了几何代数，这是描述物理学之几何的恰当代数。格莱斯曼数还是描述费米子体系和超空间的基础。格拉斯曼的《扩展的学问》1844和《扩展的学问》1862是数学史上的划时代经典。此外，格拉斯曼还为我们提供了三色定律，他摈弃牛顿第三定律以发展电动力学绝对是革命性的创举。

 

撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所）

 

We need an analysis which is distinctly geometrical or linear, and which will express situation directly as algebra expresses magnitude directly. （1）

 

——Gottfried Wilhelm Leibniz

 

Thus pure mathematics is the theory of forms. （2）

 

——Hermann Günther Graβmann

 

1 疑 惑

 

 

2 奇异数学两例

 

欧几里得的几何有两个元素，点和线 (段)。那么三角形是啥？三角形由三个线段构成的闭合线所围成的一块面积，它可以看作是由两个共点的 (有取向的) 线段所决定的 (有取向的线段如今称为simplices)。因此，这个三角形，有取向的，是由两条有取向的线段通过某种积所决定的。三角形是linear product (线之积)的结果。AB=A'B' ，两线段长度相等，取向相同；ABC=A'B'C' ，三角形形状全同，取向相同。

图1. 共享一个顶点且底边共线的若干三角形

 

 

有些的读者可能注意到了，把乘法形式的 AB 和减法形式的 A-B 都当作矢量没有矛盾，它们都满足反交换的性质。还记得整数依据惯常的加法构成加法群吗？那个加法对于整数就有群论意义下的乘法的功能。这只是记号问题。

 

再看如何解线性方程组。1853年，法国数学家柯西发表了一篇论代数钥匙的论文 (Augustin Cauchy, sur les clefs algébriques, Comptes Rendus, 1853)。为简单起见，以二元线性方程组为例，求解

 

3 格拉斯曼小传

 

格拉斯曼 (Hermann Günther Grassmann，1809-1877) 是个德国多面型学者，著名的数学家、语言学家，对物理有深刻影响 (电动力学)，职业上他是一位出版人 (图2)。格拉斯曼1809年出生于离柏林不远的Stettin小镇 (今属波兰)，几乎毕生生活在那里，其父为中学的数学、物理老师，但他显然是具有开创能力的学问家。格拉斯曼小时候跟妈妈学音乐，弹钢琴，但记忆力差也不专心。他爸认为这个十二个孩子中的老三没啥天分。格拉斯曼自1827年起在柏林大学学习古典语言、哲学与文学三年。受历史学家August Neander和Friedrich Schleiermacher的影响，大学期间格拉斯曼对数学发生了兴趣，但没有迹象表明他曾选修过数学或者物理的课程, 倒是读过一些包括他父亲撰写的数学书和物理书。格拉斯曼1830年毕业后才算认真开始学习数学，同时攻读数学、物理、博物学、神学和语言学，以便取得这方面的中学教师资格。1834年格拉斯曼曾接受柏林技校由数学家Jaco Steine留下的位置，因为后者到柏林大学任职去了。一说1834年开始格拉斯曼在柏林的奥托中学教数学，1847年获得高级教师 (Oberlehrer) 的称号，1852年在43岁上才在Stettin中学接替了其父的位置，获得了Professor 称号 (Professor来自动词profess, 在法语、德语里professor也用于中学老师。确切译法是讲述者、授课者)。格拉斯曼没有在大学获得教职的经历，1847年他曾写信给普鲁士教育部想弄个大学教职，但没成功。然而，格拉斯曼只手创立了一个新的数学体系 (外代数)，其意义可和创造非欧几何与布尔代数相比拟。他的经典著作，《扩展的学问》1844版和《扩展的学问》1862版，一直未为同时代的数学家所认可，但今天却是诸多数学分支和数学物理的基础。初读格拉斯曼，你会怀疑你曾学过欧几里得几何和线性代数。问题的真相是，我学过甚至教过，但是确实跟没学过一样！此外，他还是个成功的语言学家，比较语言学学者，东方学学者，格拉斯曼翻译的《梨俱吠陀》(Rig Veda) 及长篇评论，据大英百科全书，至今仍被研究使用。

图2. 德国数学中学老师格拉斯曼

 

4 格拉斯曼学问的缘起

 

从毕达哥拉斯到十九世纪中叶，几何学的基本问题都是如何将数赋予几何，这对域论和线性代数的创立至关重要。实数的概念由荷兰人史蒂文 (Simon Stevin, 1548-1620) 于1600年完成，实数纳入几何则始于笛卡尔和费马于1630年代的工作。给几何对象赋予数值非常笨拙，为此选择的原点与坐标轴不是问题本身必须的。1679年，莱布尼兹提及了建立普适代数 (universal algebra) 的可能性，可以directly and simply 处理几何对象。莱布尼兹设想的普适代数，是想发现用计算研究图形性质的方法 (系统) ，希望能用于处理力学。

 

 

据格拉斯曼自己的信件，他在1832年即考虑两条或者多条线的几何和 (差) 与几何积的问题。格拉斯曼让他的一开始没有内容的形式取各种值：数，点，矢量，有取向的面、体，等等。他甚至提出了16种不同的乘法 (连接)。格拉斯曼发现他的学问缘起于几何，但是几何只是特殊应用。他的学问是以纯粹抽象的方式得到了和几何相似的规律。打破了三维空间的限制是其优点之一。1839年格拉斯曼把这个学问弄成了可以应用到所有力学问题的程度。为了证实自己的实力，格拉斯曼于当年撰写了Theorie der Ebbe und Flut (潮汐的理论) 一书。此书格拉斯曼虽然多次提到，但是迟至1911年才得以出版。1840年，格拉斯曼写过一篇论述如何用他自1832年就开始琢磨的矢量方法来表述拉普拉斯的天体力学和拉格朗日的分析力学这两部经典。因为发现了新的应用与扩展，加上同时忙于许多事务，格拉斯曼于1842年才开始撰写著作阐述自己的扩展的学问，1844年出版。莱布尼兹当初期望的纳入实数的几何，由格拉斯曼几乎凭一己之力创造出来了。1861年格拉斯曼重新从公理化的角度定义了加法与乘法，以及这些运算的结合律、交换律、分配律，这比Giuseppe Peano (1858-1932) 和 Georg Cantor (1845-1918) 早了二十多年。有一种说法Möbius, Bellavitis, Hamilton, Grassmann, Saint-Venant和Cauchy 等人都几乎独立地考虑过相似的思想。研究动机来自几何，但亮点主要是代数的。格拉斯曼关于点的学问、点的分析也被莫比乌斯 (August Ferdinand Möbius, 1790-1868) 独立发现，并被用不同的方式所发展和表达过。

 

也许引用格拉斯曼自己的表述是恰当的。“第一个冲动来自对几何中的负数(量)的考虑。我已习惯了把距离AB和BA看作是相反的量。AB+BC=AC ，当A，B，C不在一条线也依然成立。当我探讨几何积的这个概念的时候，这个概念已经由家父建立 (见于Raumlehre, part I, p.174 (一说是part II, p.194)， Trigonometrie, p.10)，结论是不仅是正方形，而是平行四边形，也可以看作相邻两边的积；假设边可看作是有方向的量。转动的概念导致几何指数量 (geometrical exponential magnitudes)， 以及导致三角函数的分析。”

 

 

5 扩展的学问

 

5.1 线之积

 

 

5.2 外积与内积

 

格拉斯曼引入了外积的概念。先是点的外积。AB=A-B 是从点B到点A的一个矢量 (not a vector from A to B, but as a vector limited to positions in the line through A and B, that’s line-bound vector! 矢量, vector, 是哈密顿为了他的四元数在同时期引进的一个词儿)，但是因为有AA=0 ，AB=-BA ，显然这个 AB=A-B 就是外积。接着是矢量的外积。对于任意多个矢量，外积为0意味着它们必是相关的。格拉斯曼指出，外积的特征是有如下性质：两个相关的量，其外积为0。当然了这个性质不是积的必然性质，还可以定义别的积。

 

 

格拉斯曼是第一个发表了点乘 (标量积) 的人。他将之称为内积，因为只有当两个方向互相接近时，这个积才不为0。我猜，格拉斯曼是注意到，当一个线段从另一个共点的线段上出发，扫过一个角度去张开一个平行四边形时，它在另一个线段上的投影也一直在变——从出发处的整个长度变相互垂直时的为0。这个投影与投影在其上的线段之积是一种新的积，因为它交换角色后符号不变。

 

可以从共点的两线段从重合时将其一逐渐打开张成一个平行四边形的过程来看外积和内积。外积对应所张的有取向的平行四边形的面积，为交换反对称的，过程开始时对应的外积为0。然而面积并不能完全确定这个平行四边形。内积为两线段之一与另一者在其上投影的乘积，过程开始时应取极大值，为交换对称的。内积为0是两线段 (矢量) 垂直的判据；外积为0是两线段 (矢量) 平行的判据。

 

5.3 关于矩阵本征值问题

 

 

6 著作的命运

 

格拉斯曼构造的是一个全新的数学体系。他发现那不是几何，而是一门新的科学，几何只是一个应用领域而已。格拉斯曼尝试过多种不同的表现形式，最终于1844年出版了《扩展的学问》 (图3)。无疑地这是一本经典(请记住作者是语言学家)，但是格拉斯曼要做的是发展一个宽大的新体系，而且思想还不好提取出来 (新思想的表达需要新概念、新语言体系以及新的表达方式)，为此该书开始还有哲学的铺垫，故而这本书虽然思想内容丰富，但可读性值得商榷。这本书当时印了多少册已无可考，但显然鲜有人问津。1844版的出版人在1876年给格拉斯曼的信写道：“您的著作Ausdehnungslehre无存货已有一段时间了。因为您的大作几乎无人问津，大约有600本在1864年被当成废纸用了，剩下的那么几本最近卖出去了，我们的书库里还有一本。”

 

格拉斯曼本人一直在尝试为自己的学问找到恰当的表述方式，其《扩展的学问》1862不是1844年版的重印，而是重写。令人惋惜的是删掉了此前的哲学阐述。所谓的《扩展的学问》1862，应该在1861年就有了，在那年10月格拉斯曼就送了一本给莫比乌斯，不过有300本上印着的日期是1862. 《扩展的学问》1862全名为Ausdehnungslehre：vollständig und in strenger Form bearbeitet (扩展的学问—以完备、严谨的形式呈现的)，不过迎来的还是失望，甚至比第一本书更少受到关注。《扩展的学问》1844的第二版于1878年刊出，那时格拉斯曼已经去世了。《扩展的学问》1844和《扩展的学问》1862可作为两本书看待。

图3. Die Lineale Ausdehnungslehre: Ein neuer Zweig der Mathematik (1844)

 

7 格拉斯曼理论的接受问题

 

用后世的眼光来看，格拉斯曼是几何计算、外代数、矢量空间理论的奠基人。作为一个知道自己做出了伟大成就的中学老师，他想获得当世数学家认可的心情估计是强烈的。然而，如同阿贝尔，伽罗华，康托一样，格拉斯曼是那种十九世纪不幸的伟大数学家，直到其辞世的1877年，格拉斯曼的数学所获得的认可几乎是聊胜于无。有一种说法是，格拉斯曼遭遇的是非同寻常的忽视 (colossal neglect)。

 

格拉斯曼的《扩展的学问》1844几乎没受到什么关注。他肯定是送了一本给高斯的，高斯在1844年12月14日答复道：“我曾在半个世纪前考虑过相关问题，并于1831年就发表过一些结果。”高斯指的可能是他在复数的几何表示方面的工作。大数学家莫比乌斯应该是对格拉斯曼很早就有所耳闻，1839年，他评价格拉斯曼的晶体学工作很有意思。当然，晶体学首先就是关于空间堆垛的问题，而空间学是格拉斯曼父子考虑的主题。格拉斯曼1644年送了莫比乌斯他的《扩展的学问》，莫比乌斯也是作了评论的：“对于格拉斯曼著作中作为数学元素基础的哲学元素我无意用正确的方式予以赞赏，甚至不能正确理解。”莫比乌斯认为格拉斯曼的著作缺少直观性 (intuition, Anschaulichkeit) 这个数学思想的基本特征, 他不得不跳过那些格拉斯曼称为extension或者generality的东西。其实，愚以为，extension and generality (扩展与一般性)，这后来都成了数学的传统了, 什么东西都有个generalized 版本，连相对论都未能逃脱这个命运。这恰是格拉斯曼伟大的地方啊。有能力处理一般性和抽象，才是大科学家！

 

1846年，莫比乌斯邀请格拉斯曼参加一场数学竞赛，解决一个由莱布尼兹提出的问题：发明一种不用坐标和度规性质的几何算符 (莱布尼兹称为analysis situs, 即是后来的拓扑学) 。这个思想，不正是后来广义相对论要呈现的思想嘛！格拉斯曼以一篇Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik (同莱布尼兹所发明的几何特征相联系的几何分析)胜出，但被莫比乌斯批评其使用了抽象符号而未对读者交代为什么这些符号是有价值的。格拉斯曼虽然凭这篇胜出 (好像是为他量身定做的，只有他一份答案)，但没对他的命运带来改变。

 

就几何代数而言，有三个人是必须提到的，格拉斯曼、爱尔兰的哈密顿与英国的克利福德。哈密顿在1843年发明了四元数。格拉斯曼思考空间的学问，把几何当作代数；哈密顿考虑时间，把时间作为纯粹的代数 (pure algebra)，不知时空的概念是不是也能产生什么新颖的代数。哈密顿得到一本《扩展的学问》1844版，觉得不好懂，他曾写信给August de Morgan (1806-1871)，说为了能读格拉斯曼他可能不得不学抽烟。1852年哈密顿读格拉斯曼的书，一些评论发表在他的Lectures on quaternions (1853) 的序言中了。哈密顿认为这是可以和他的与四元数相关的工作相提并论的成就，现在是读起来with admiration and interest. 这应该算是对格拉斯曼学问的认可，可能是由于那个时代交流不便，这个1835年30岁上就封爵的爱尔兰数理大神的认可没能对格拉斯曼及其学问的命运产生及时的影响。

 

格拉斯曼的《扩展的学问》是他生命的倾情奉献。到了1861年，格拉斯曼对他的成就所遭到的冷遇是有点愤懑的。格拉斯曼在他的《扩展的学问》1862版序言中写道 (大意) ：“我坚信就算再过17年甚至更长的时间这本书无人问津，不能进入科学的正轨，有一天它也会从遗忘的尘埃中被发现，如今沉睡的思想终会开花结果。……因为真理是永恒的、神圣的(Denn die Wahrheit ist ewig, ist göttlich......)，真理的任何发育阶段都不会不留痕迹。”

 

在盛产数学家的德国及周边地区，格拉斯曼所创立的学问要说无人识货，这也不正常。其实，1860年意大利的Cremona, Bellavitis 和 Peano等人对格拉斯曼的著作就产生了兴趣。1866年德国青年汉克尔 (Hermann Hankel, 1839-1873) 来信赞扬格拉斯曼的阐述，并要求其能进一步整理，这算是对格拉斯曼的承认，但那时汉克尔不够分量。1869年，克莱因 (Felix Klein, 1849-1925) 注意到了汉克尔Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen (复数与复函数教程) 一书中提到了格拉斯曼的名字。克莱因向克莱布什 (Alfred Clebsch, 1833-1872) 推荐了格拉斯曼，还跟Sophus Lie提及格拉斯曼的工作。后来，克莱因坦诚深受格拉斯曼的影响，甚至影响了他1872年的埃尔朗恩纲领。1871年，经由克莱布什推荐，格拉斯曼入选了哥廷恩科学院的通讯成员。至此，格拉斯曼算是得到了认可，不过格拉斯曼在1877年就过世了。1878年克利福德出版了“格拉斯曼展开代数的应用” (une Application de l'algèbre de l'extension de Grassmann ？？)，美国留学生吉布斯和克莱因一起在1894-1911年间整理了格拉斯曼的著作。到了1870年代中期，在英国也有Hermann Noth (1840-1882)、William Kindgdon Clifford (1845-1879)、W. Preyer (1841-1897)等人对格拉斯曼的工作产生兴趣。注意这些数学家大多在50岁前就去世了。这些数学家，如同北极冰雪下的植物，在极短的生命里早早地开出极为灿烂的花朵，结出可以连接下一个春天的果实！

 

1878年，格拉斯曼的《扩展的学问》1844版的第二版出版。格拉斯曼在序言中提到黎曼的学生汉克尔在1867年论述复数体系的理论 (Theorie der complexen zahlensysteme) 时强调了其学说的重要意义，1/10的内容用于介绍格拉斯曼的工作。这说明，格拉斯曼临终岁月里是知道自己的著作已经被人接受了的，这些多少对格拉斯曼是个安慰。

 

格拉斯曼之成就与著作的未被认可，反映在其人的境遇上。虽然几经尝试，但终其一生，格拉斯曼都未能在大学谋到一个教数学的差事。发现格拉斯曼价值的汉克尔和克莱布什不久年纪轻轻就辞世了；德国的莫比乌斯、英国的哈密顿和意大利的Bellavitis 够分量，但在别处有要提倡和拥护的东西；而热心肠的Victor Schlegel (1843-1905) 人微言轻，热情超过能力。其实，这种革命性的发现被忽视，历史上早有先例，这也不是例外。然而，正如格拉斯曼所坚信的那样，真理是永恒的。今天的数学物理领域，格拉斯曼所创立的数学是其中灿烂的瑰宝，格拉斯曼的学问会为有心数学与物理的人们提供源源不尽的灵感。

 

8 多余的话

 

研究格拉斯曼让我对线性代数这个全世界理工科人都要学习的科目有了新的认识。2020年12月19日我认识到所谓的线性代数是对lineale Algebra (linear algebra) 的错误翻译，正确的翻译是“线之代数”，即人家本意的algebra about line segment，一时间怅然若失。这个学问来自数与点、数与线乘积的扩展。就着错误的概念学习，不明白一门学问的缘起，耽误了多少人的宝贵时光。想起了那句《西游记》的名言，“不闻至人传妙诀，空教口困舌头干！” 学问是讲究传承的，这一点不服不行。

 

我们小时候学过一点浅浅的几何与代数，浅得连基本的经典力学入门都不够用，殊不知几何、代数本是一体的。不能分析几何的代数不是真正的代数，and vice verse。格拉斯曼、哈密顿和克利福德奠立的几何代数，是能用于几何的代数学；与此相对，代数几何 (algebraic geometry) 则利用抽象代数技术研究多变量多项式的零点集合的几何问题。你眼里是看到代数还是几何，是几何代数还是代数几何，还是个浑然一体，全在于你自己。格拉斯曼的代数更适于物理，因为它区分矢量与赝矢量。对矢量和赝矢量不加区分，让电磁学理论始终是一团糊涂酱。用矢量导数及逆矢量导数表示的麦克斯韦方程组不妨了解一下。

 

 

我注意到一个事实，1834年在奥托中学时，格拉斯曼同时教数学、物理、神学、德语和拉丁语。写到这里，我特别想借此机会说出我的观点：“我们的社会该提高对教师的要求了。”多专多能的老师才是合格的。如果我们愿意贯彻这个理念，我们的国家将因此受益无穷，而首先受益的将会是我们的中小学老师们自己。

 

格拉斯曼博学、高产。除了重点介绍的《扩展的学问》和《梨俱吠陀》译本，1844-1861年间格拉斯曼发表了17篇包括物理学的科学文章，还有一些数学和语言的课本，包括1861年的Lehrbuch der Arithmetik (算术教程)。哦，为了评价格拉斯曼的高产，有必要顺带提一句：格拉斯曼于1849年结婚，除了产生了那么多的思想成就以外，还连生了11个孩子。这一点，他也是继承了其父的优点，他是12个孩子中的老三。格拉斯曼继承了父亲的数学思想，成为一个数学领域的开创者，但终生未能谋到一个大学教职；后来他的一个儿子 (Hermann Ernst Grassmann) 成了数学教授，算是圆了他的梦想。

 

注：本文改写自曹则贤著《磅礴为一》一书。

 

参考文献

 

[1] Michael J. Crowe, A history of vector analysis, Dover Publications, Inc. (1967).

 

[2] Vincent Pavan, Exterior Algebras: Elementary tribute to Grassmann’s ideas, ISTE (2017).

 

[3] Alfred North Whitehead, A treatise on universal algebra with applications, Cambridge (1898).

 

[4] Hermann Günther Grassmann, Gesammelte mathematische und physikalische Werke (数学物理全集), 3 Bde., Friedrich Engel (ed.), Teubner (1894–1911).

 

[5] Hermann Günther Grassmann, Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik, (1847).

 

[6] Hermann Günther Grassmann, Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, Wiegand (1844). English translation by Lloyd Kannenberg, The linear extension theory: A new branch of mathematics, Open Court (1995).

 

[7] Hermann Günther Grassmann, Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in strenger Form begründet, Enslin (1862). English translation by Lloyd Kannenberg, Extension Theory, American Mathematical Society (2000).

 

[8] Hans-Joachim Petsche, Gottfried Keßler, Lloyd Kannenberg, Jolanta Liskowacka (eds.), Hermann Graßmann Roots and Traces: Autographs and Unknown Documents, Birkhäuser (2009).

 

[9] August Ferdinand Möbius, Der barycentrische Calcul, Leipzig (1827).A. Fraenkel, Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen, J. Reine Angew. Math., 145, 139-176(1915).

 

[10] Henry George Forder, The calculus of extension, Cambridge (1941).

 

[11] Otto F. Fischer, Universal Mechanics and Hamilton's Quaternions, A Cavalcade (Stockholm, 1951).

 

[12] Otto F. Fischer, Five Mathematical Structural Models in Natural Philosophy with Technical Physical Quaternions (Stockholm, 1957).

 

注释

 

(1) 我们需要一门分明是几何的或者是关于线的分析，其如同代数直接表达量一样直接表达位—莱布尼兹。这句里的situation [situs]不好翻译，是关于位置、形有关的概念, 可在geometry of situation 的语境中加以理解。庞加莱1895年发表的Analysius situs成了后来的拓扑学(topology)。

 

(2) 纯数学是形式的理论——格拉斯曼

 

(3) AB=-BA, 走过路的都懂这个道理。距离也是有方向的量。不过，你敢认为AB是A和B的一种乘法吗？