撰文 | 张和持

 

 

关于算法的技术细节想必没多少人会关心。我只想通过这篇文章给各位读者一个初步的印象——数论不是复杂技巧，也不是冗长计算；我们在数论中寻找的是最深刻的数学关系。

 

亚历山大港的温暖夏夜

 

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从古希腊时代人们就开始研究方程。比如最为有名的直角三角形：

小学生也能找到几组整数解：(3, 4, 5), (5, 12, 13)。这样由整系数多项式组成的方程，从那时候起就是代数研究的中心。它们有的来源于几何，也有不少纯粹是出于人类的好奇心。其中做出奠基性贡献的，当属罗马时代生活在亚历山大港的希腊数学家，丢番图（Diophantus of Alexandria）。为了纪念他，我们称这些方程为丢番图方程。关于丢番图，或许读者们还记得他的墓志铭曾出现在小学数学题中：

 

坟中安葬着丢番图。

 

多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。

 

上帝给予的童年占六分之一，

 

又过十二分之一，两颊长胡，

 

再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。

 

五年之后天赐贵子，

 

可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。

 

悲伤只有用数论（即算数，这两者在古代是同一个词）的研究去弥补，

 

又过四年，他也走完了人生的旅途。

 

 

 

但同时，方程也像是永远无法穷竭的宝库摆在面前，令人神往。

 

还得靠业余数学家

 

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古希腊、古罗马的数学随着古老帝国的衰落而逐渐被人遗忘，丢番图的作品要沉寂到千年以后，才能等到被另一位对数论情有独钟的数学家发扬光大。16世纪开始，《算数》才被逐渐翻译为拉丁文。其中最有名的一个版本，是1621年由巴切特翻译出版的：这本书曾经被皮埃尔·费马摆在案头。

 

被称为“业余数学家之王”的费马可能比大多“专业数学家”都要强，其对概率论、微积分、解析几何等分支都做出过开拓性贡献。不过他心中的最爱还是被称为数学的王冠——数论。在费马生活的年代，数学并没有什么实际用途，而他纯粹把这当玩具：或许就如同今天我们玩数独一样。每当有所发现，他就会写在《算数》的页边上。费马的很多注释后来都演变成了重要的研究方向，其中最富盛名的当属所谓的费马大定理：

 

 

费马的工作正式宣布，近代意义上的数论研究开始了。不过这些与现实没有任何关系的数学并没有发展动力——数学最忌讳的就是孤立的问题。无穷小分析可以凭借直观的函数图像与物理直觉；代数的抽象结构来自于数与多项式的自然结构。可是早期的数论却不能找到更深刻的关系。难怪高斯会这样评论费马的问题：

 

我承认我对费马的定理没什么兴趣，这是个孤立的命题，像这样没人能证明也不能证伪的命题我随手就能写下一大串。

 

站在高斯的角度，他说的确实没什么毛病。费马大定理或者别的任何丢番图方程可解，或者不可解，对其他的数学分支貌似产生不了什么影响。不过从高斯至今，我们对于数论的认识已经发生了翻天覆地的变化。数论的影响已经超出了“算数游戏”的范畴哦，成为了现代数学赖以生存的源泉。

 

下金蛋的鸡

 

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据说曾有人问希尔伯特，为什么不去证明费马大定理。这位大数学家回答道：我可不想杀了这只生金蛋的母鸡。这句话足以证明费马的无用之学对于数学有多么巨大的影响。读者肯定会有疑问，明明这篇文章是想解释整数解的意义，为什么要谈那么多费马大定理？我们可以用希尔伯特的话来回答：

 

数学的艺术在于找到一个特例，其中隐含了所有推广的胚芽。

 

在挑战费马大定理（或者费马猜想）的过程中，人们发现了理想之于环论的中心地位，注意到亏格与有理点数量之间的神奇关系，还建立了模形式与椭圆曲线之间美妙联系。其任何一项成果，都比代数方程有没有解这个问题本身重要的多。算术几何整个学科都得感谢费马在几百年前兴趣使然开始的研究。这样我们就很难不去怀疑：这才仅仅是一个方程，如果我们能破解所有方程中隐藏的秘密，那岂不是能让整个代数的冰山浮出水面？（费马大定理只研究正解，所以严格来说不算丢番图方程；后来也发现其存在诸多特殊之处，而大量丢番图方程的重要性至今仍然未知）

 

梦 碎

 

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希尔伯特是一位伟大的梦想家，他乐观期待着数学的发展。在1900年的巴黎会议上，他提出了那著名的23个问题，其中第十个，便是关于丢番图方程的：

 

任给一个丢番图方程，是否存在一个通用的算法可以判断其是否有整数解？

 

希尔伯特内心深处一定坚信这样的算法是存在的。1930年，他作为当时最伟大的数学家，在故乡柯尼斯堡接受了采访。访谈的最后，他铿锵有力地道出了最理想主义的口号：

 

我们必须知道，我们必将知道。（Wir müssen wissen，wir werden wissen）

 

他不仅认为丢番图方程全都能解，他还进一步猜想任何数学命题都是能被人类证明的。如同他的传记中写的那样，希尔伯特就像是数学界的亚历山大大帝，满怀着梦想，要征服到世界的尽头。可才过了一年，这个预言就被天才数学家哥德尔（Kurt Gödel）证明是错的：公理体系的完备性是未知的，相容性也是未知的。不是数学方法不够巧妙 ，也不是数学家不够努力，而是数学本身的鸿沟隔绝了逻辑。人们逐渐开始怀疑，丢番图方程也没有万能的解法，从而开始寻找算法不存在的证据。

 

希尔伯特到了晚年，也不忍离开纳粹统治下的祖国。法西斯主义者清除了大学中的犹太人及其亲属。无数学者不堪忍受疯狂的民族主义而选择背井离乡，其中就包括了与希尔伯特亦师亦友的外尔、柯朗等人。哥廷根不再是那个全世界学者憧憬的圣地，“哥廷根之外无生活”的豪言也仿佛隔世。希尔伯特在孤独中离开了人世，在他去世后的几年里，数学家们开始转向研究丢番图方程的不可解性。不过这项工作极其复杂，直到几十年后的1970年，希尔伯特第十问才得以宣告不可解。此时希尔伯特的故乡柯尼斯堡已经从地图上消失，原本的城市成为了苏联领土加里宁格勒；与地图的变化同时到来的，还有新的时代，新的技术，以及新的数学。

 

新的时代

 

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如今正是数论及其相关学科发展迅猛的年代。数学家们对代数几何充满信心：近半个世纪的发现远超过以往任何时代之和，而且发展势头也不像是要停下来的样子。但即便如此，我们对于素数，丢番图方程以及它们背后蕴含的深刻数学的了解仍仅是冰山一角。

 

或许可以打一个不恰当的比方。在物理学中，带有“论”（Theory）的都是那些尚不完善的框架：广义相对论不能重整化；量子场论没有严格的数学基础；弦论得不到实证，甚至某些推论与实验还不相符；而”M理论”本身就是一个猜想。人类对宇宙的了解微乎其微，但正因如此，理论物理学家才会痴迷于其中的奥秘。对于整数论（Number Theory）而言也是相同的，它的未知等待着人们探索，它的美等待着人们发现。或许人类永远都无法对整数有足够多的了解，整数论也永远不可能改名叫整数力学（Number Mechanics），不过我相信任何有志于数学的人，都能像费马和丢番图一样，在数学中找到真正的快乐，以及自己人生的意义。

 

参考文献

 

[1] https://phys.org/news/2021-03-sum-cubes-puzzle-solution.html

 

[2] https://www.pnas.org/content/pnas/118/11/e2022377118.full.pdf

 

[3] https://www.famousscientists.org/diophantus/

 

[4] 康斯坦丝·瑞德, 希尔伯特数学世界的亚历山大.

 

[5] https://www.britannica.com/biography/Pierre-de-Fermat.

 

[6] Timothy Gowers, The Princeton companion to mathematics.