这是一本视界垂直的书，讲述了从一元二次方程、三次方程、四次方程到代数不可解的五次方程，引出复数与超复数、线性代数以及群论，最终成就了量子力学、相对论和规范场论的伟大历程，再现人类在数学和物理领域里三千余年的智慧结晶。这是一条从ax2+bx+c=0到Fμν = [Dμ, Dν]铺满鲜花与荆棘的探索之路，每一个新时代的少年都不妨借此愉快地来一场挑战个人耐力与智力的朝圣之旅。

 

本文选自《云端脚下》作者序。

 

 

撰文 | 曹则贤

 

We are all in the gutter, but some of us are looking at the stars1).

 

~Oscar Wilde

 

作者序

 

我想写一本垂直的书。具体地，我想写一本描绘从一元二次方程到规范场论的数学和物理演化路径的书。用数学和物理惯常使用的符号语言来说，本书要描绘的是一条从一元二次方程ax2+bx+c=0到标准模型SU(3)×SU(2)×U(1)理论的概念演化路径，补上发现历程之历史的和心理的缺口，途中要经过复数、超复数、群论等数学型的和电磁学、量子力学、相对论、量子场论、规范场论等物理型的著名景点，还会碰到Cardano, Tartarglia, Euler, Lagrange, Abel, Ruffini, Galois, Cauchy, Riemann, Cayley, Klein, Hamilton, Graves, Maxwell, Grassmann, Weyl, Schrödinger, London, Wigner, 内山菱友、杨振宁等一干为我们构筑了神奇数理风景的人物。记住这些伟大的名字，记住那些同这些伟大的名字相联系的概念、思想和方程。天才是上天派到人间的使者，他们用独特的语言为我们讲述自然的奥秘。从ax2+bx+c=0到再到SU(3)×SU(2)×U(1)，这中间有许多天才的思想，也有一些看似平凡的步骤，可惜在教科书中大多都被遗漏了。对于我这个笨人来说，这些恰是困扰我的地方。这些年来，我时常会在从事糊口型劳作之余试图建立起那些丢失了的细节，一旦弄懂了一点儿我就喜不自胜。这种经历伴我度过了很多年的孤独岁月。每当我打通一个小关节，我都会诧异于人家是怎么轻松想到了的。某一天，我发现了一个惊天的秘密，就是那些伟大的人物之所以那么轻松地就成就了他们的伟大，不只是因为聪明，最重要的是人家很早的时候就念过正经的、有学问的书。他们生来注定要伟大，他们所受的教育指向伟大，在成长的岁月里他们一直有伟大的自觉。

 

记得是1978年夏季某日，12岁的乡间少年我在自家房后的河岸上捡到了半张揉皱了的《参考消息》，在那上边看到了胶子、夸克、非阿贝尔群等奇怪的字眼，天书一般。那年秋，我开始接触到一元二次方程，令我感到新奇因而印象深刻的是那个b2-4ac 。1994年闲来无事时，我在德国Kaiserslautern大学物理系的图书馆里思考高阶代数方程的解法（那时候要靠翻图书馆找资料）。面对一元五次方程没有有限根式解的说法，我自己推导出了拉格朗日对称多项式，然后试图用方程xn=1的根张开的空间构造解的一般形式，然后，然后就一筹莫展了。后来我知道，法国小青年伽罗华在1830年前后就解决了这个问题，并深刻地影响了数学的发展。让我大受刺激的是，伽罗华辞世时也才不足21周岁，也就是说，人家是在20岁以前就学会了解决这些问题的系统知识的。我呢，我20岁以前学过什么代数方程的知识？ b2-4ac？

 

这件事一直压在我心头。虽然这些年来我拉拉杂杂地学过晶体群，读过群论在量子力学中的应用，抽象代数，但也一直没有把五次方程没有有限根式解相关的学问弄通过。2017年，我不想再这样糊弄自己了。哪怕因为不务正业砸了饭碗，我也要把这个问题理理清楚。不把这个问题弄清楚，心里不敞亮。这本小书，可以说就是记录了我为了弄懂一元二次方程一路学到规范场论的笔记，当然还有一些个人思考。有些思考是我个人得来的收获，我也不揣鄙陋写进了书里。我这么说是因为我真不知道此前有相关文献。若有人发现在此前的某个文献里有相关论述，盼不吝指教以正视听。

 

这本书的内容涵盖我误以为小时候就学会了的一元二次方程直到我现在清楚地知道我也不甚了了的规范场论，这中间经过一元三次、四次方程的解法，一元五次方程的没有代数解的证明，抽象代数特别是群论的发展，复数 (复分析) 及其在物理学中的应用，四元数与八元数这些超复数，群的表示与应用，电磁学理论、广义相对论与量子力学，等等。本书，以及其他的拙著，唯一的限制来自作者本人的水平、眼界与品位。在我写作的时候，我从来都是预设读者们都是好学之士 (mathematician的本义) 的。面对这些内容，少年 (无关岁数) 朋友们完全不必心生怯意，这本书是为你们写的，我会努力让你们看懂的。本书的内容对你们有益，最重要的是，我认为这是每个人在20岁前就该学会的——至少你要学过。我再强调一遍，本书的关键内容之一，代数方程理论，是差不多200年前一个法国中学生为我们于仓促间创造的。面对本书的内容，教授朋友们也完全不必心生鄙夷。我个人的经历是，哪怕是我第一天上算术课就开始学的加法，也是deceitfully simple (具有欺骗性地看似简单)，有很多我没认识到、即便认识到也可能理解不了的内容。学问的深浅，取决于学习者自身境界的深浅，这真是一件有趣好玩的事儿。

 

从一元二次方程到规范场论，对于作者本人来说，就是脚下与云端了。我生长于泥泞之中，不止是雨天上学的路上满是泥泞，我读到初三时课桌还是泥垒的呢。脚下有泥，天上有云，我不想让我的双脚总停留在泥泞中。所谓 “人在泥里，气在云端”，这真是一句鼓舞人心的话。就学数学而言，ax2+bx+c=0就是脚下泥泞的开始了，可是它里面隐藏着通向云端的学问。云泥作对照，古已有之。拿我1978年学过的一元二次方程课本，对比拉格朗日1770年的关于方程代数解的思考 (Réflexions sur la Résolution Algébrique des Équations)，所谓云泥之别、高下立判就是这个景象吧。而在我试着阅读拉格朗日这本经典的时候，果然有“乘云行泥……何尝不叹” (语出范晔《后汉书》) 的感觉。所谓受过教育的人啊，总要多多地去读一些深刻的书才好。

 

这本书如我从前的著作，依然会关注所讲述对象的历史。一门学问发生的历史，必然暗含它的内在逻辑，虽然成熟学问的逻辑关系未必是其历史的再现。学问要严谨，历史则是学问的联络。本书试图体现的是学问自身发展的逻辑，而对人的提及则着眼于未来科学家的培养，那些学问家与其所创造的具体学问之间的关联、相遇绝不是偶然的，那中间的联系至少是放言有能力培养科学家的人该关注的地方。我总认为，给初学者的数学和物理的好教科书应当是七分学问、三分历史。这是我的观点，我的著作受我的观点支配。本书每一章前除了摘要和关键词，还会列出相关的关键人物，这也算是鲁莽的创举。一本好书首先必须是一件艺术品。其次，一本学术书必须有学术的品味。这本书，一如我从前的和未来的书，严格按照学术著作的格式撰写。我们的少年，尤其是立志成为科学家的少年，要从小习惯于科学范式，早早受到严格的学术训练。读书，要读真是书的书。

 

借助这本书，我还想传达一个被蔑视了的，也许只是被忽视了的观念，即数理一家。从前的数学家、物理学家是一个人的角色，那些有能力认识自然从而为我们创造物理知识的人，大多是数学达人甚至本身也是数学的缔造者，having a visionary with the deepest sense of mathematics. 实际上，如果我们检视一下科学发展的历史，就会发现从前的数学和物理很多是共生的、相纠缠的。笔者多年修习物理最惨痛的教训是，没有基本的数学功底那物理就是一团迷雾，这种感觉在初学量子力学和相对论时特别强烈。我希望我们的物理课程还能多少沾上一点从前的古典传统，把数学、物理、哲学放在一起参详。譬如煮粥，大米小米玉米碴儿，红豆绿豆蚕豆瓣儿，放一起，熬成一锅的紧致绵密、浑然一体，求的是能融会贯通、涵气养神。2019年，承朋友襄助，笔者在一所高校开启了“学不分科”讲座，就是为了传达这种理念。后来这个名称被散播了开来，看来不乏心有戚戚之人。啥叫专业？广袤背景上的过人之处，那才叫专业。

 

我一如既往地拒绝认为本书内容太难的评论。这本书确实很难，首先对作者来说就很难，否则作者也不会花了数年的时间才将它写成。可是，畏难不是必然会造成我们的浅薄吗？恰恰是因为作者在从前求学和做学问的过程中学的东西太浅，浅薄得愧对祖宗，才有了如今深深的愧意以及愧意催生的这本书。其实，以我的能力，我能介绍的这些远远谈不上高深。这本书里的内容，可多是100年前甚至200年人家少年的创造物啊。我们得有怎样的勇气，才好意思嫌它难呢？心灵, 应该朝高远处悠荡。

 

不要强求读懂一本书所有的内容。内容能完全读懂的书是不值得读的，或者说对做学问是没有帮助的。一本书应该含有一些一时读不懂的内容，一时不易弄懂但又有必要弄懂的内容才是一本书的价值所在。理解当前内容的钥匙在下一个高度上。学习如登山，总要登到力所不逮处才肯停歇。即便这停歇时，也请不要放弃向更高处的张望。知识的疆域不是平的。居高临下是观风景的正确打开方式之一：会当凌绝顶，一揽众山清楚。

 

可能是因为作者表述不到位，也可能是因为自己理解不到位，遇到一下子读不懂的书那是学者的日常。在不能一遍就懂的时候你一定要坚持读下去。读完一本完全不懂的书是一个读书人的基本素养，而坚持读完一本打开了的书也是读书人对自己的礼赞。多年前，我一个希腊语的字儿都不认识，但我数着字母读完了柏拉图的《蒂迈欧篇》(Τίμαιος)。读完了再看那希腊语文本，字儿固然还是不认识，但感觉亲切多了。

 

绝大部分人类已有的数学、物理知识，就物理而言也许超过80%, 还未进入中文世界，还未为我们所认识，遑论应用之、发展之。数学相较而言可能更严重、也更不严重。数学是显性的，它的成果可以都体现在纸面上，而物理学却具有更多水面以下的东西。物理学是水中的冰山，露出头的只是一角。对一门学问最好的敬重，是学会它、应用它、延伸它、深化它直至最后使它成为历史的遗迹。不要用静止的、单纯的眼光看待一门学问，要学会看到每一门学问后面的艰辛 (它教你如何做学问) 和前方的无限风景 (它教你往哪里做学问)。

 

多少基础知识，俺只学了个皮毛，更多的是闻所未闻。幸亏，俺没无知到以为天下知识只有俺知道的那么一点儿那么愚蠢的地步。多少未曾认真学过一天数学的人在真诚地叫嚣数学很难学。只有深入地学习过数学的人，才能真正理解数学的艰难所在，而这时的他对数学已爱得不能自拔。数学的魅力，是任何有思想的人都无法抗拒的。

 

总有人指望学习低配版，总有人试图教给别人简化版，愚以为这可不是什么好习惯。学问就该以学问本来的面目呈现到我们面前。删减了的学问，不是简化不简化的问题，而是不完备的问题。没有完备，就没有正确理解。太多的问题，不理解还因为我们未曾深入过。每一个水滴都联系着大海，蕴藏着整个大海的信息。本书里遇到的每一个主题，都有大海一样的宽广与深邃。把你扔到深水里挣扎，让你学会在风浪里搏击，那才是教育的艺术。

 

知识的贫穷限制了我们的想象力，但是受过一定程度教育的人应该告诉后来者在远处、高处有更多、更美的风景，甚至有那些我们只是道听途说但未曾亲临也无力想象的风景。多少人不过学了几年加减乘除外加数理方程微分几何就以为自己懂得了加减乘除。每当我看到b2-4ac，我就会想起童年的我自己。因式分解是我小时候做过最认真的事情，没有之一，那就是解代数方程的基本功啊。那些无人教诲的岁月，那些无处安放的好奇心，都在贫瘠的土地上随风扬长而去。

 

亲爱的朋友，不要害怕读不懂。当你捧起这本书的时候，你已经不是原来的你了。如果你发现你还是你，那请你耐心地把这本书读完再说。作为这本书的作者，本书所涉及的许多内容我也不懂，可我依然决定写这样一本书，我想用这样的一本书来安慰那些个从前不同时刻的我。那个可怜的小男孩，曾经的我，那时候没有书，没有老师，只有无知的眼里浓得化不开的懵懵懂懂。

 

这是一本导引性的小书，an introductory booklet. Introduce, intro (往里)+ducere (导引)，就是领入门。其实正确的说法是我恍惚置身一个看似是门的地方，向你指点许多个可能是门的地方。从这本书你会看到一条断断续续的从脚下到云端的小路，云端之上有更广阔的天地。从泥泞的脚下到旷远的云端是一条真实的路，因为抽象而比真实更加真实。我非常笨，任何跳跃我都跟不上，都需要补足。也为此，我写书总喜欢把历史的、逻辑的步骤给补齐了，免得跟我一样笨的读者看不懂。我不可能在这样的一本书里深入讲述我提及的所有主题。但是，你请注意，我提及了(yet I mentioned it!)。那意味着我知道了点儿什么。那意味着，这个世界存在那样的学问，(对我而言) 很深的学问。那是人类中的精英带给人类的宝贵财富。学会她，赞美她！赞美自然，赞美知识的创造者，赞美热爱知识的我们自己。依科学史而观之，每一个时代，都有零星的不那么猥琐。

 

写书的人，大概只能欺负或者怜悯青少年朋友知识之暂时不足。所以，一本书欲图见功，还得指望读者的合作意愿 (sympathetic willingness to cooperate is expected from the reader) 。一本书，当然是写给那些愿意读它想从中学到点什么的人的。博学如大神海尔曼·外尔也明言其经典著作The classical groups (经典群) 不是写给对相关内容烂熟于胸的傲骄又博学的人的 (rather than for the proud and learned who are already familiar with the subject)。关于这本书的缺点，我自己都忍不住要批评。但是，我还是觉得，无所助益的批评是无意义的。这本书的所有缺点，无它，都来自作者的力有不逮, 这在最后两章尤为明显。

 

本书撰写过程中，笔者有幸阅读了部分真大学者之原始文献，时常得享抓耳挠腮的喜悦。其间的感慨之一，便是这些大学问者之文采斐然，所谓“不求其成文，而文生焉者，文之至也。” 故而阅读真学问家之文章，不独可以窥见其学识之渊博，亦可浸染其文意之隽秀。我希望，此书面世之后, 吾中华少年在解一元二次方程的时候，手边的参考书能是拉格朗日的《关于代数方程解的思考》和克莱因的《二十面体与五次方程解教程》之类的典籍。

 

庄子《外篇·刻意》云：“刻意尚行，离世异俗，高论怨诽，为亢而已矣；此山谷之士，非世之人，枯槁赴渊者之好也。” 好吧，我就是枯槁赴渊者，我不跟命运别扭。关于书的命运，我觉得书的命运就是作者的命运，虽然法国人说过一本杰作 (本书不是) 出版以后就有了自己的命运，与作者无关了。作者应该在工作的乐趣和去除了思想负担的释然中找到回报而不问其它，管它是赞扬还是非难，失败还是成功。某智者云，我写这些书除了自娱自乐以外若还有任何想法我都是三倍的傻蛋——这个态度我很赞赏。本书的学术价值，我个人认为在于补 (通) 足 (告) 从一元二次方程到规范场论之间的知识断层，其社会意义在于给中国未来的学子介绍那些把学问从脚下做到了云端的榜样。

 

这本书的风格，如果谈得上有什么风格的话，就是聊家常话。聊作者的困惑、思考、惊喜与感慨，捎带着分享找到的原始文献。有作者认为一本好书应该让读者读完后有成就感和美的感觉。成就感好说。一个人若能坚持读完这本书，知道Gal(K/F)和SU(3)×SU(2)×U(1)的字面意思，就足以有点儿成就感了。至于美的感觉，这个却让人为难了。成就一篇美文，哪怕是对数学、物理著作而言，也是著述第一义，却也是极难达到的境界。著述者有此意识，也十分地努力过了，结果未能差强人意，那也是没法子的事儿。范晔所谓“此书行，故应有赏音者”, 这得算是许多作呕心沥血状的作者的愿望吧。

 

我的书，期待“风神颖悟，力学不倦”的少年。

 

2017.05.14 动笔

 

2020.09.13 完稿

 

注释

 

1）我们都置身阴沟里，但有人仰望星空~王尔德

 

目 录

 

作者序

 

第一章 导言

 

第二章 一元二次方程

 

§2.1 代数方程概念简介

 

§2.2 一元多项式方程

 

§2.3 一元二次方程的一般代数解

 

§2.4 几何法解一元二次方程

 

§2.5 一元二次方程与分割数

 

§2.6 解一元二次方程的深意

 

第三章 一元三次方程

 

§3.1 一元三次方程的缘起

 

§3.2 解一元三次方程

 

§3.3 一元三次方程解的危机与虚数的引入

 

§3.4 关于一元三次方程解的深度思考

 

第四章 一元四次方程

 

§4.1 问题的导出

 

§4.2 一元四次方程的几种解法

 

第五章 一元五次方程代数不可解

 

§5.1 解一元五次方程

 

§5.2 拉格朗日的总结

 

§5.3 不可解证明

 

§5.4 Abel-Ruffini 定理

 

§5.5 伽罗华理论

 

§5.6 伽罗华其人其事

 

§5.7 阿诺德的拓扑证明

 

§5.8 多余的话

 

第六章 五次及更高阶方程解

 

§6.1 一元五次方程解

 

§6.2 一元六次方程解

 

§6.3 代数基本定理

 

§6.4 无穷阶代数方程解探索

 

第七章 复数

 

§7.1 虚数的引入

 

§7.2 复数的意义与表示

 

§7.3 复数的数学应用

 

§7.3a 复数与平面几何

 

§7.3b 复变函数

 

§7.3c 复几何

 

§7.4 复数之于物理学

 

§7.4a 振荡与转动

 

§7.4b 物理量复数化

 

§7.4c 傅里叶变换

 

§7.4d 复数之于量子力学

 

§7.4e 复数之于相对论

 

§7.5 多余的话

 

第八章 超复数及其应用

 

§8.1 复数作为二元数

 

§8.2 四元数的引入

 

§8.3 四元数的算法与其它表示

 

§8.4 四元数的威力与意义

 

§8.4a 表示矢量空间

 

§8.4b 表示转动

 

§8.5 四元数的延伸

 

§8.5a 数系的推广

 

§8.5b 代数的推广

 

§8.5c 另一种意义上的代数推广

 

§8.6 八元数

 

§8.7 Hurwitz 定理

 

§8.8 多余的话

 

第九章 群论

 

§9.1 群的定义与性质初步

 

§9.1a 群的定义

 

§9.1b 群的性质初步

 

§9.2 群概念起源

 

§9.2a 群的代数起源

 

§9.2b 群的数论起源

 

§9.2c 群的几何起源

 

§9.2d 群的分析起源

 

§9.3 群的性质进阶

 

§9.4 群表示初步

 

§9.4a 有限群表示

 

§9.4b 连续群表示

 

§9.5 群论的眼光回头看代数方程

 

§9.6 几个重要酉群

 

§9.7 时空里的转动

 

§9.7a 角动量

 

§9.7b 洛伦兹群

 

§9.8 旋量

 

§9.9 物理学中的群论举例

 

§9.9a 空间群

 

§9.9b 群与量子力学

 

§9.9c 群与相对论

 

§9.10 多余的话

 

第十章 规范场论

 

§10.1 物理学是怎么拼凑出来的？

 

§10.2 电磁理论与规范

 

§10.3 引力场论与微分几何

 

§10.4 外尔的引力与电理论

 

§10.4a 引力规范

 

§10.4b 对外尔理论的批判与诠释

 

§10.5 外尔的电子与引力理论

 

§10.6 规范场论

 

§10.6a 杨-米尔斯的尝试

 

§10.6b 广义同位旋变换下的不变性

 

§10.6c 内山的一般形式推导

 

§10.7 标准模型的数学表示

 

§10.7a 标准模型简介

 

§10.7b 电弱作用与SU(2)规范场

 

§10.7c 强相互作用与SU(3)规范场

 

§10.8 多余的话

 

跋