本文主要介绍由两位波兰裔美国籍数学家卡茨（M. Kac, 1914—1984）与乌拉姆（S. M. Ulam, 1909—1984）在 1968 年合作撰写的一本数学普及著作——《数学与逻辑》（Mathematics and Logic）。

波兰数学在 20 世纪 20 年代突然崛起，涌现了巴拿赫（S. Banach, 1892—1945）等一大批举世闻名的数学家，对现代数学的发展产生了不可估量的影响。波兰数学之所以能够独树一帜，与他们对数学的认识与看法不无关系。因此我们不禁好奇，以乌拉姆和卡茨为代表的波兰数学家如何看待和探讨数学的本质？

撰文 | 王涛（中国科学院自然科学史研究所）

波兰学派的兴起

要说近代史上哪个民族与国家多灾多难，那波兰绝对可以算一个。18 世纪中叶时， 波兰的领土面积还位居欧洲前列。然而从 1772 年俄、普、奥签订条约瓜分波兰开始，历经三次瓜分，波兰作为一个国家在 1795 年宣告灭亡。虽然俄、普都曾大力推行去波兰化，但波兰民族始终没有丢失自己的语言和文化。第一次世界大战行将结束之际，随着俄国革命与内战的爆发、德国的战败崩溃以及奥匈帝国的解体，波兰在消失 123 年后成功复国，堪称奇迹。

图1: 1930 年利沃夫学派的主要成员丨维基百科

随着波兰民族的独立与复兴，此前默默无闻的波兰数学也开始异军突起，进入到一个光辉发展的阶段。丁玖教授在《一个受尽欺凌的民族，如何孕育出闻名世界的数学学派》中，曾详细探讨过波兰学派的起源，我们在这里将不多作介绍。波兰学派主要由华沙学派与利沃夫学派组成，其中利沃夫学派的组织者是施泰因豪斯（H. Steinhaus, 1887-1972）与巴拿赫，他们对泛函分析的发展做出了决定性的贡献。特别是巴拿赫， 几乎一个人奠定了这门学科的基础，因此被誉为泛函分析的奠基人。在他们的带领下，利沃夫学派吸引与培养了很多年轻有为的数学家，其中即包括本书的两位作者——卡茨和乌拉姆。

乌拉姆与卡茨

乌拉姆与卡茨都是犹太人，前者 1909 年出生于利沃夫，后者于 1914 年出生于克雷梅内斯（Krzemieniec）。虽然乌拉姆与卡茨在幼年时均表现出了对数学、物理和天文学的浓厚兴趣，然而那时的数理科学作为一个职业能提供的岗位仍然极少。家人曾劝他们学习法律与工程，但在施泰因豪斯、巴拿赫与库拉托夫斯基（K. Kuratowski, 1896-1980）的影响下，他们最终都选择了数学。《数学与逻辑》中列举了很多波兰数学家的工作，由此可见波兰学派对卡茨和乌拉姆所产生的影响。也正因为如此，《数学与逻辑》才能体现出波兰学派对现代数学的看法。

图2: 今天的苏格兰咖啡馆与《苏格兰文集》中载有施泰因豪斯与巴拿赫笔记的一页 

利沃夫学派的工作方式十分特别——在咖啡馆讨论数学问题。据乌拉姆回忆，有一次巴拿赫主持的讨论长达 17 个小时，除了就餐之外没有间断过。这些问题被记录在苏格兰咖啡馆保管的笔记本上。这些本子不可思议地在接下来的战火中保存了下来， 并以《苏格兰咖啡馆数学问题集》（Scottish Book）出版。在这样的优良的数学环境中， 乌拉姆与卡茨很快便在数学领域崭露头角。

1933 年，乌拉姆在库拉托夫斯基与斯托热克（W. Stożek, 1883-1941）的指导下获得利沃夫理工大学的博士学位。4 年后，卡茨获得利沃夫大学的博士学位，导师为施泰因豪斯。这一时期他们二人的主要研究领域是集合论、测度论、遍历论与概率论，这些学科正是波兰学派有意挑选出来加以重点研究和发展的。如果将数学比作一棵大树的话，研究它的根干和枝叶显然是有天壤之别的。历史已证明，波兰学派选择的正是数学这门学科的根与干。

博士毕业之后乌拉姆在父亲的资助下到西欧游学访问，见到了欧陆与英伦的诸多名家。然而对乌拉姆影响最大的是冯·诺伊曼（von Neumann, 1903-1957），正是后者在 1935 年底邀请他到普林斯顿高等研究院访问数月，从而改变了他的一生。之后乌拉姆又经伯克霍夫（G. D. Birkhoff, 1884-1944）推荐到哈佛大学担任研究职位，任期三年。而卡茨在 1937 年博士毕业后一心要出国，终于在 1938 年再度申请时获得了约翰·霍普金斯大学的奖学金。这些事件使他们幸运地躲过了接下来的战争。

图3: 卡茨

图4: 乌拉姆
 

第二次世界大战爆发后，波兰损失了大批的精英数学家，辉煌不再。乌拉姆与卡茨则在 20 世纪 40 年代入籍美国，他们的友谊也真正开始。乌拉姆曾两次加入洛斯阿拉莫斯实验室，参与了曼哈顿计划中原子弹的研制。他与冯·诺伊曼发展了“蒙特卡罗方法”，和特勒（E. Teller, 1908-2003）共同设计了氢弹的模型，因此他理所应当也是“氢弹之父”。1967 年乌拉姆从洛斯阿拉莫斯实验室退休，到科罗拉多大学任教，晚年研究生物数学。

卡茨到美国后曾长期在康奈尔大学任教，直到 1961 年到洛克菲勒大学，晚年后又到南加州大学工作。卡茨开创了概率论的现代发展，特别是其在统计物理中的应用。不过卡茨最为人所知的是他的“听音知鼓形”问题，这使得他第二次获得美国数学协会颁发的数学写作奖——Chauvenet 奖，可见他的写作能力有多么出色。

乌拉姆与卡茨是生活在“物理学家中的数学家”，因而对数学与自然科学的关系领悟深刻。他们还继承了欧陆科学家的哲学传统，数学思想与科学哲学经常在一起交相辉映。巧的是，乌拉姆的自传《一个数学家的经历》（Adventures of a Mathematician） 的最后一章就是“关于数学和科学的随想”。

《数学与逻辑》简介

《数学与逻辑》以如下内容为开篇：

“数学是什么？它是如何被创造出来的？过去与现在，创造和实践它的人又是谁？人们能描绘出它的发展、它在科学思想史中所扮演的角色并预测它的未来吗？

实际上，这也是本书的主旨，作者将在书中对这些问题提供自己的解答。有了如此精彩的开篇，读者又怎能没有兴趣继续读下去？

《数学与逻辑》共分为 4 章，其中第一章为“例子”，由 19 个小节组成，占据了全书约 2/3 的篇幅。

在这些例子中，作者首先讨论了最初始的数学对象——整数。作者着重强调的是：推广是数学最重要的工作之一。正是由于推广，数学才能不断提出新的问题而青春常在。例如从欧几里得关于素数无穷多的证明出发，数学家们可以推广得到孪生素数猜想、素数定理、黎曼猜想与哥德巴赫等各种猜想。这些猜想看似没有超出既定的知识体系，实则极难解决，需要引入新的概念、方法与理论。

作者继而讨论了数与几何概念的抽象演化。例如随着数系的不断抽象，其与最初的计数功能几乎完全分道扬镳，例如复数已经完全看不到计数的影子。然而正如作者所表达的：抽象是数学中与推广同等重要的一项工作。正是由于抽象，数学才能具有如此不可思议的有效性。从特定的计数问题出发，经过推广与抽象可以得出如下一系列的数学工作：可以使用施佩纳引理来证明布劳威尔定理，整数分拆的问题可以由幂级数与复数域上的因式分解来解决，从测量面积、体积发展而来的测度论奠定了现代概率论的基础……

在推广与抽象数学的过程中，《数学与逻辑》对“不可能性”极为看重，列举了一系列不可能性的例子：倍立方体、斯坦纳定理、不可测集合……作者认为大量数学总是围绕特定构造的不可能性证明以及找出各理论与方法的极限。这导致现有数学概念的不断扩大、公理系统的持续扩张并不停地引入新的数学对象。

《数学与逻辑》解释了为什么有必要对集合论的基础进行检查，因为即使看起来非常平凡的选择公理也会导致悖论。作者反复强调了逻辑的重要性，指出很多直观或者直觉上显然的事实有时候并不成立，只是反例通常很难找到，因此必须进行严格的证明。与布尔巴基类似，波兰学派的数学也建立在集合论的基础上，因此对数学结构同样非常重视。作者进一步展示了数学家如何思考置换群乃至一般变换群，以及如何通过将这些对象的集合看作空间来尝试建立一般化的结构理论。

本书还强调了数学各个不同分支的渗透与应用——数学的统一性，这条思想几乎贯穿全书。作者以线性代数中的线性变换以及矩阵为例，探讨了代数与几何如何有机地结合，如何与群论一起为狭义相对论提供了一个数学框架，以及在马尔可夫链中获得应用。作者还展示了若干个数学统一性的例子，例如正态定律与遍历论如何出现在与其完全不相关的数论研究当中。

《数学与逻辑》的第二章为“主题、趋势与综合”。如果说第一章是在案例中体现数学思想，那么第二章则是数学思想的进一步浓缩与提升。作者高度认同现代数学建立在康托尔（G. Cantor, 1845-1918）的集合论与希尔伯特（D. Hilbert, 1862-1943） 的公理化方法之上，并指出在此基础上，现代数学产生了结构数学与元数学两个显赫的分支。作者以数学的代数化（抽象代数）与几何化（点集拓扑）两个主题为例充分展示了结构数学的威力。

作者在本章中再次强调了逻辑的重要性，特别是系统论述了数理逻辑在 20 世纪的发展，这也是本书为什么以“数学与逻辑”为名的原因。《数学与逻辑》介绍与论述了几何学基础、公理化集合论、哥德尔不完备定理、递归论与判定问题等数理逻辑的内容。20 世纪上半叶，数理逻辑曾有过一段激荡人心的岁月，很多数学家都加入到对它们的研究当中。例如正是在解决可计算性问题时，图灵（A. Turing, 1912-1954）引入了图灵机的概念，从而为后来的电子计算机奠定了理论基础。

电子计算机对现代数学产生的影响无论怎样高估都不为过。不过在本书问世的年代，很多数学家们对计算机还持有漠不关心或者敌对的态度。乌拉姆和卡茨是少数坚定认为计算机在数学未来的发展中有重要作用的数学家。他们不仅满足于计算机对数值计算的提升，更期待计算机能够在形式系统中工作。如今看来，他们的看法非常具有前瞻性。

《数学与逻辑》的第三章为“与其他学科的关系”，这里的其他学科主要是指经验科学，又称自然科学。众所周知，“数学与自然科学的关系”是科学史与科学哲学上的一个难题，对此问题一个广为人知的答案是：

“无疑，数学来源于经验世界。但是，数学很快就抛弃了其具体背景而上升到了抽象的高度。新的概念和理论正是产生于上述进化过程中产生的高度内省的活动，并进而频频对数学之外的科学发展产生决定性的影响。”

这个答案成功地解答了“数学在自然科学中不可思议有效性”的问题。作者对此认同并以排队论、博弈论与信息论等新兴学科为例进行了阐述。

然而上述回答也容易滋生出这样一种观点，即纯粹数学可以与自然科学隔离开并且自给自足地发展，布尔巴基对数学的看法即如是。卡茨和乌拉姆考察了历史上诸多数学概念和理论的产生，指出数学同样受到了自然科学的影响，有时候甚至是决定性的。因为外部的自然世界暗示了大量的数学工作，并且新概念与理论的推广并不全是任意的。

《数学与逻辑》的第 4 章为“总结与展望”。作者在这一章回顾了数学的发展以及在物理学中的应用，并就数学在生物学中的应用做了展望。与物理学相比，在生物学中应用数学来得相当晚。20 世纪 50 年代，生物学家沃森（J. Watson, 1928-）与克里克（F. Crick, 1916-2004）发现了 DNA 的双螺旋结构，并藉此拉开了数学与生物结缘的序幕。如今生物数学已呈现出十分繁荣的景象。

最后，让我们回归本书的书名《数学与逻辑》。数学与逻辑是一种什么关系？通过前面的介绍，我们已经知道了作者的主要观点：数学的直觉必须要经受逻辑的检验，因为逻辑起着卫士或者底线的作用；但试图将数学完全还原为逻辑又是不可行的。因为数学比逻辑要多，而又比直觉要少。

本文经授权转载自微信公众号“数学与人文”。