牛顿看见哈雷，就上了山，既已坐下，哈雷到他跟前来。他就开口教训他，说： 

只要石子出手的速度足够快，就不会落到地面上，因为地球是圆的，石子在地球的吸引下不停地下落，而地面也在不停地向下弯曲。所以，石子永远不会落到地面上，这就是人造卫星。

牛顿的登山宝训

 地球对石子的引力符合平方反比定律，球体的引力就像所有质量集中在地心一样。只要石子的速度不是特别快，它就会回到我这里，因为石子的运行轨道是椭圆。

月亮绕着地球转，地球绕着太阳转，都是这个原因。世间的万物相互之间都有引力作用，都符合平方反比定律。由此可以揭示宇宙的奥秘。

牛顿讲完了这些话，哈雷很稀奇他的教训。因为他教训他，正像有权威的真科，不像伪科学的网红。

哈雷担心飞回来的石子会砸到牛顿，就请求牛顿赶快下山，下山以后一定把他的话写下来。牛顿耐不住他的热情，就一起下山去了。当然他们也知道，这个石子肯定不会砸到牛顿的：大气有阻力，地球不是完美的球体，质量的分布也不是那么均匀，地球外面还有月亮、太阳、几大行星乃至整个宇宙——这些因素都导致人造卫星的轨道不是闭合的椭圆。

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那天他们在山上待的时间太短，回家后牛顿忙着写《自然哲学的数学原理》，哈雷也惦记着计算彗星轨道的事情，所以他们并没有讨论这么一个看似显然的问题：

如果地球是完美的球体，周围没有大气的阻碍，只考虑月亮的影响，那么，牛顿在山顶高速扔出去的那个石子，真的会变成一颗人造卫星，永远地绕着地球转动吗？  

乍一看，答案似乎是肯定的。毕竟我们周围就有这样一个系统，太阳、地球和月亮。月亮绕着地球转，地球绕着太阳转，这样一个系统，已经存在了几十亿年，还将继续存在几十亿年，直到太阳等得不耐烦了自爆为止。说什么三体问题非常困难不可预测，都是网红们的瞎科普，只要他们走出信息茧房，抬头看看“双悬日月照乾坤”，就不会有什么疑问的了。 

真的是这样吗？当然不是的——看到这里，你当然知道情况肯定不是这样的，否则我不会闲着写这篇文章了。但是，为什么呢？可能就不是每一个读者都知道的了。实际上，这个问题以及它的答案，也只是在60多年前才提出来的——在苏联发射第一颗人造卫星“斯普特尼克”之后，在牛顿逃到乡下躲避疫情大约300年以后。 

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重复一遍问题：只考虑地球和月亮的吸引作用，不考虑其他因素（包括大气、太阳、行星和其他）的影响，牛顿扔出去的这个石子会绕着地球“永远地不停转”吗？ 

答案是：这依赖于牛顿选择朝哪个方向扔石子！朝着东西方向扔，就会一直转下去；如果朝着南北方向扔，那么，过不了几天，这个石子就会在西方科学主义和东方神秘主义的共同作用下，一头撞在大地母亲的怀抱里！ 

这个答案很出乎意料吧。我学物理有三十多年了，还教过三年的力学，可是直到去年偶然读了一本书，俄国著名数学家阿诺德的回忆录《昨日和往昔》（Vladimir I. Arnold, Yesterday and long ago, Translated by Leonora P. Kotova and Owen L. deLange, Springer, 2007），我才知道竟然还有这么一件事。

下面借用阿诺德的描述。苏联科学家利多夫（Michail L’vovich Lidov, 1926–1993）在1960年提出并回答了这样的问题：我们知道，太阳、地球和月亮基本上是在一个平面上，地球绕太阳公转的轨道平面（黄道面）和月亮绕地球公转的轨道平面（白道面）的夹角只有大约5度，这是一个相当稳定的三体系统。然而，如果我们把月亮竖起来，也就是说，让白道面和黄道面垂直，日地月这个三体系统还会这么稳定吗？这个三体系统会持续多长时间呢？它的结局又是什么呢？
 

利多夫的问题是：如果我们把月亮竖起来，也就是说，让桔色的这个小圆变得跟屏幕垂直（这就是下文所说的90度的情况）。日地月这个三体系统还会这么稳定吗？前文提到的牛顿扔石子的结果依赖于扔出去的方向，讲的就是，朝东西方向扔出去的石子，成为黄道面内的人造卫星，而南北方向扔出去的石子，运动的轨道将垂直于黄道面。  

当然，利多夫的问题比这个简单描述要普遍得多，这就是所谓的圆形限制性三体问题（Circular Restricted Three Body Problem, CR3BP），用到了很多数学技术（久期近似的双周期平均）以及当时刚出现不久的高速计算机，得到了相当普适的结果，这就是所谓的Kozai-Lidov 机制。Yoshihide Kozai是日本科学家古在由秀（1928–2018），他当时在美国史密斯天文台工作，知道Lidov的工作，随后也发表了自己的工作。

这个问题如果用解微分方程的办法来处理是很困难的，列出适当的微分方程就不容易，而且最终也要求助于数值解法。但幸运的是，托半导体科技按照“摩尔定律”发展的福，我们现在的计算能力空前强大，随便一个台式机都比当年的超级计算机强大得多，还有很多科学计算软件帮助我们做数值运算。下面我用一个简单的模型以及Scilab给出的计算结果，说明这个问题。 

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考虑日地月这个三体系统。因为太阳质量远大于地球远大于月亮，可以简单认为，太阳不受地球和月亮的影响，地球绕太阳的轨道不受月亮的影响。所以只需要考虑月亮绕地球的转动，在地月引力的作用下，以及日月引力（扣除月亮绕太阳公转所需的向心力部分以后）的残余影响。我们选择地球作为参考系，地球的公转决定了一个平面也就是黄道面，选择月球的初始速度（大小和方向），可以确定其初始的轨道面以及相对于黄道面的夹角。下面选择月亮的初始轨道略为偏离正圆形（一个不太扁的椭圆，偏心率百分之几吧，类似于真实世界里的月亮），只考虑这个夹角为0度和90度的情况。（见前面那张示意图和说明文字） 

0度的情况。这个轨道保持在黄道面内，是进动的椭圆，因为所有的力都在这个平面内，太阳的扰动引起了进动。左上图给出月地距离随着时间的变化关系（右上图是局部的放大图），不容易看出进动，但是月地距离变化不大是显然的，相邻两个近地点的时间就是一个月。200多个月的轨道叠在一起，看着就像一个圆（左下），在50-60个月之间选了几个月的轨道，叠在一起仍然像一个圆（右下）。
 

0度的情况：人生代代无穷已，江月年年只相似 

90度的情况。下面的左上图给出月地距离随着时间的变化关系（右上图是局部的放大图），很容易看出，月地距离变化得很快，在50多个月的时间里（具体时间依赖于初始参数，但是差别并不太大），就从正常距离（38万公里，记为1）变化到这个值的1-2%左右（小于地球的半径6400公里与月球半径1700公里之和）。在这种情况下，200多个月的轨道叠在一起，完全是乱七八糟的一团麻（左下），虽然每个月的轨道大致还接近于椭圆，但是偏心率、倾角和近地点高度都在变化，在50-60个月之间选了几个月的轨道，可以看出它们有显著的变化，而且近地点已经非常接近引力中心也就是地球了（右下）。注意：这些椭圆轨道不在同一个平面，只是为了看起来方便，我选择把它们画在同一个平面上，但不是投影（单独看每个月的轨道，大致还是在一个平面上的）。 

90度的情况：月亮撞地球，天地大劫难

在90度的情况（白道面垂直于黄道面），只用50多个月的时间里，地月距离就从正常值（38万公里，记为1）这个值的1-2%左右（小于地球的半径6400公里与月球半径1700公里之和），所以肯定会一头撞在地球上。也就是说，用不了5年，我们这些地球上的虫子们就可以看到世界的末日了。尽管从图上看，这个距离还会变回到正常值去，然后开始下一轮循环，但是这些都不重要了，因为这里采用的是质点模型，但是在真实的世界里，地球和月亮都不是质点。

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仅仅把月球公转轨道面与地球公转轨道面的夹角从0度变成90度，就导致了人类世界在5年内彻底毁灭。这是什么样的悲剧啊！痛定思痛，痛何如哉。可是，为什么呢？是的，上面演示了数值计算的结果，可是为什么会有这样的结果呢？这么可怕的结果，牛顿怎么没有预料到呢？ 

首先回答最后一个问题。牛顿没有预见到这个结果，仅仅是因为他没有计算机。这个问题里只涉及经典力学，如果我们通过时空门给牛顿传递一个华为平板、一台ENIAC、甚至几个手摇计算器（还有几个会用这种计算器的大姑娘小伙子），牛顿肯定可以得到这些结果的——现在的每个普通人都可以做到，更别说伟大的牛顿了。 

而且我相信，如果牛顿知道有这样的问题，以他执著的精神和强大的解题能力，他肯定也能得到正确的答案——这就体现了在科学中提出正确问题的重要性了。牛顿的时代不存在这样的自然现象，当时的天文观测只能看到很有限的星空。现在我们知道，这种圆形限制性三体问题（CR3BP）在宇宙中是非常普遍的，在许多场合都可以出现。但是我们不能苛求伟大的牛顿也能过超越时代的限制。利多夫提出这个问题，是因为苏联发射了人造卫星，精确确定卫星轨道随时间的变化是非常重要的科学问题，而且计算机的发展提供了解决这个问题的机会。 

当然，如果牛顿遇到并解决了这个问题，他也同样能够指出0度和90度两种情况差别显著的原因，可以用下面这个图来说明：

比例失真的示意图：日月地三体系统（给出了4个不同位置的地月构型） 

地球（黑点）绕着太阳（红点）的公转轨道是圆形的细黑线，月亮绕地球公转的轨道是夸张的椭圆（粗黑线），太阳对月亮的微扰力（扣除了万有引力中让月亮绕太阳公转的那部分贡献）的方向在地球公转轨道也就是细黑线以内是朝向太阳的，在地球公转轨道以外是远离太阳的，这个微扰让月球轨道（粗黑线）变形并发生进动。

在0度的情况，月亮轨道与地球轨道在同一个平面内，地球绕太阳的转动和月亮轨道的进动使得这个椭圆的变形不会累加起来，太阳微扰导致的变形是随时间变化地揉搓这个椭圆，整体的效果是让月亮轨道大致保持初始的形状。 

在90度的情况，月亮轨道垂直于地球轨道，地球绕太阳的转动只能改变太阳的微扰在月亮轨道上的投影大小，但是方向不变，变形的效果就可以逐渐累加起来，最后让这个轨道越来越扁，最终撞到地球上。至于说很扁的轨道又能恢复到正常值，这是因为变形依赖于初始条件，并不一定总是让胖子变瘦，也可以让瘦子变胖的。 

当然，这个解释还太粗糙，比如说，没有考虑我们刚才的计算模型里因为地球坐标系是非惯性系（因为它绕着太阳转动）。而且这个三体系统理还有很复杂的行为，但是这就远远超出本文的范围了。如果牛顿能来给我们讲讲，肯定会把我们讲糊涂的——就像他撰写《自然哲学的数学原理》时故意让普通人读不懂一样。 

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那么，这篇文章唠唠叨叨地讲了这许多又是为了什么呢？除了想告诉大家这么一个有趣的三体问题以外，我还想说，在我们所处的这个时代里，计算机对于我们发现和解决问题起到了越来越大的作用，我们现在拥有的能力甚至连伟大的牛顿也只能瞠乎其后，但是我们还远远没有能够自觉地使用这些能力，因为我们现在的教学远远跟不上时代的要求，我们花了太多的时间去琢磨那些无聊的技巧。 

我们必须改变现行的教学方式，因为我们每个人都知道，也都应该大声地说出来：大人，时代变了。