网络上流传很多关于0.999…=1的证明，但有些其实并不是真正的“证明”，比如利用基本的代数法则将有限小数的加法和乘法扩展到无限小数。本文给出一个非常简单、较为严格的证明——仅使用数列和极限中最基本的概念。文章的前半部分都是基础知识的介绍，这样即使是从未接触过数列和极限的朋友，也能轻松看懂证明。

撰文 | StephenwithaPhD 编译 | 小白

校对 | 公理

在这篇文章中，我分享一种关于循环小数0.999...=1的证明。在证明过程中会避免使用一些过于复杂的符号表达，尽量提炼出核心思想，并使用这些想法推导出最终结论。

为实现这一目的，我们使用的技巧和想法只来自实分析的基础数学知识。特别地，我们第一步需要讨论数列和极限的概念。

何为数列

简单来说，数列(Sequence)就是一列按照一定的规则排列的数。一般我们使用大括号  来表示数列。虽然数列  和  包含相同的元素，但我们仍然将它们视为不同的数列。以下是两种不同的数列：

有限(Finite)数列，即数列中是有限多个元素，例如数列  和 。

无穷数列(Infinite)，即数列中拥有无限多个元素，例如自然数列。

很明显，我们无法写下无穷数列的所有组成元素。那么该如何向他人描述呢？让我们来看看解决办法。当我们举自然数列作无穷数列的例子时，这里只需给出数列中的一部分，，他人自然也能清楚这个数列到底是什么样了。这个方法可以帮助别人建立自然数数列的概念。不幸的是，我们不总是能用如此简练的语言表示出相关的概念。这就是为什么我们有一个更正式、更简洁的方法来描述一个数列。首先，我们称数列的第一个元素为这个数列的首项，称第二个元素为数列的第二项，之后以此类推，用  表示数列中第  个项。

笔者：也常有用  表示首项，这样第  项就是以  表示。

如果拿自然数集来说，就是下面这样：这个数列大概是你掌握的最简单的数列了，特别是可以用  这样计算方式来描述任何数列。

笔者：实际上，并非所有数列都可以写出如  这样的通项公式的，有的数列是写不出来解析式的，例如质数数列。

考虑一下如何表述偶自然数的数列。怎样清楚地向别人解释如何构建这个数列？如果你不确定，你可以写下这个数列的其中几项找找规律。例如：a1=2，a2=4，a3=6，…，a4=8，…a5=10
你找到规律了吗？特别简单， 。类似这样，可以试着从下面几个数列中找出第  项：

上面所讲述的这些足以让我们了解到数列的基本概念并知道了如何表示。做完这些，让我们一起来讨论一下什么是极限，更确切地说，应该是讨论什么是数列的极限。

什么是数列极限

通俗点讲，数列极限就是指数列越靠后所越接近的那个数。换句话说，它很像是数列末尾最终抵达的值。

笔者：收敛是数列很重要的一条性质。如果一个数列收敛，它收敛到的东西便是它的极限值。一个数列收敛，那它便是收敛数列(convergent)，否则为发散数列(divergent)。

这对于有穷数列是很容易看出的，但对于无穷数列的极限往往没有那么容易得出。不过不必担心，在这篇文章中只会关注一些证明时比较简单易懂的数列。让我们来看看下面这个通项公式生成的数列：这个数列看上去怎么样？让我们写几项出来：

我们可以观察到什么规律呢？很明显，这个数列在逐渐增大。例如：按照之前所讲的，当我们遍历整个数列时，随着  变得越来越大， 变得越来越小。所以我们的数列在任一部分都在逐渐变小，我们把这样的数列称为递减数列。

笔者：若对所有 ，则称数列  为“递增数列”。把  换成 > ，则称为“严格递增数列”。

数列正在递增，那么它最终指向何值呢？如果我们继续让  递大，并且让它遍历整个数列，看上去  这部分似乎会完全消失，要比  还小。事实上这的确在这段数列中发生着：那么小于  呢？同样的，这个过程实际上也发生着。

事实上，对于  这部分，无论你去想多么小的值，总会有项比你想的值更小。这意味着什么呢？数列  会越来越接近 ，因为随着  逐渐增大， 的值会越来越接近 。我们可以把上面这些简洁地描述为以下这种形式：我们把这种形式读作“当  趋近于无穷时，数列  的极限等于 ”，它的意思是，数列越来越多地向后延伸时（也就是  越来越接近无穷大的时候），数列  越来越接近  这个数。好吧，我坦白，我们在这里跳过了很多严格的工作，只保留了所观察到的规律。我其实希望大家多去了解一些概念背后蕴含的想法和那些简明的表述背后的理由，这才是真正有趣的东西，大家可以自主查阅。回到正题，你能像我们之前所做的那样，用同样的逻辑来证明如果 ₙ，则有下面的结论吗？现在我们的工具箱里已经有两种工具了，在开始证明之前还有最后一个问题要解决：如何判断两个数是不同的呢？这个问题看上去似乎很简单，但给出一个确切的证明过程而不是用显然正确来解释并不容易。不过也确实有不少方法证明它们不同。举个例子，肉眼观察就可以得到  是偶数而  是奇数这个结论； 和  都是偶数，但一个是正数另一个是负数。还有许多诸如此类的“小技巧”来证明两个数是不同的。但是上面所列举的两种办法并非在每种条件下都能生效。有一种方法肯定永远成立，那就是下面这个几乎显而易见的事实。如果两个数  和  相等，那么 。我们现在将利用这一点，以及数列极限的概念来证明 。

证明0.999…=1

让我们从定义如下数列开始吧：

可以得个之后我们就能很清楚地知道如下结论：现在让我们想办法再来解决为了解决这一问题，我们得明确当  趋于无穷大时， 和  有什么区别。

发现规律了吗？我们可以得到以下结论：所以，就像我们前面所讨论的数列 ，我们可以把数列向后延伸（就是令  趋向于无穷大）， 和数列的差值越来越小，完全逼近到 。我们可以表述为：

因此我们就得到了如下结论：我们证明了所以我们对  进行了一种较为严格化的证明。同样的讨论可以被用于小数点后面跟着一串无限循环的  的数。例如：， 以及 。对于那些想要完整严格证明的，或是想对证明过程进一步完善的人，我建议用“极限的  证明”这个工具吧。
 

参考来源

[1] https://stephenwithaphd.medium.com/1-0-999-a-formal-proof-kind-of-f8a0f11fd9dc[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence

本文经授权转载自微信公众号“科学演绎法”。