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爱因斯坦曾说,忘掉学校所学的一切,剩下的才是教育。这句话是在强调,教育的核心价值并不在于具体知识,而在于慎思明辨过程中沉淀下来的思维能力。学好数学概念,可以帮助我们锤炼逻辑、擦亮眼睛,于天下滔滔之际保持一份清醒和从容。

本文面向初学者,以浅显语言娓娓道来,讲解微积分重要概念“确界”的内涵与外延,厘清它和“最大数”之间的区别与联系,并触及极限理论的基石——实数的完备性。

撰文 | 丁玖(美国南密西西比大学数学系教授)

“靠不住”的最大数

读者朋友,给你一个区间 (0, 1),即所有比1小的正实数所组成的集合,我想问你一个问题:这个实数集有最大的数吗?如果这个问题一时难以回答,那我换个问题,将上面表示开区间的那对圆括号改成花括号,即我先问你:集合{0, 1}有最大数吗?

你肯定马上就能回答我:有,最大数为1。这一正确回答也说明你清楚地知道“最大数”的定义,或至少对于这个极其简单的例子,你了解什么是“最大数”。下面是它的严格定义:设A是一个实数集合,如果实数M满足两个条件:(i)M是A中的一个数;(ii)对于A中的任意一个数a,不等式a≤M都成立,那么M称为A中的最大数。如果你不喜欢用广义不等式符号“≤”,我们也可将定义中的条件(ii)改成与之等价的(ii)':对于A中的所有其他数a,严格不等式a<M都成立。类似方法可以定义数集中的最小数。但本文主要涉及最大数,有关它的一切结论都能导出关于最小数的对应结论,因为最大数和最小数有这样一个关系:数集A的最大数(假如它存在的话)是集合-A的最小数的相反数,这里集合-A={-a:a∈A}。

将上面的二数集合{0, 1}换成其他有限数集,比如给出像全中国人口一样多(当然这个数无法精确得知,但确实是个正整数)的实数所构成的集合,它们当中一定有一个最大数,即这个数不小于它们当中的任一个数。请注意“不小于”不同于“大于”:前者是“小于”数学符号“<”之否定,即“大于或等于”,符号为“≥”;后者的符号是“>”。推而广之,任何由有穷个实数所组成的一个集合一定有个最大数,这个数属于该集合,并且严格大于集合中的任何其他数。我相信每一个读这篇文章的人应该都知道这个直观而易懂的事实。但是,倘若一个实数的集合包含无穷多个数,这种所谓的“无穷数集”也一定会有最大数吗?

这就是我在文章一开始向大家提出的问题,即所有比1小的正数当中,有最大数吗?读者稍微想一下可能就会知道,从0到1的开区间 (0, 1)这个无穷集合,当然没有最大的数啦。按照最大数定义中的逻辑,该区间不存在最大数的意思是: (0, 1)中不存在一个数,它大于或者等于该区间当中所有的数;换言之,无论在这个开区间里取哪一个数,比方说,0.9999,我们总能在同一区间里找到另外一个更大的数,例如也在区间中的数0.99999就比所取的数0.9999大。注意,这里似乎1是最大数,然而它不属于 (0, 1),故不符合最大数的定义。

但是,这并非说由无穷多个实数组成的集合就一定没有最大的数。譬如,所有不大于1的正数当中一定有最大数——1,因为这些数的集合是左开右闭的区间 (0, 1],数1不仅属于这个区间,而且大于该数集中的任何其他数。由此可见,无穷多个实数组成的集合可以有最大数,也可以没有最大数。正因为最大数时有时无,这个概念留给我们一点遗憾。在数学中,实数之间的大小比较是个基本操作,然而在有的时候,“靠不住的”最大数实在帮不了我们多少忙。

上确界和实数完备性

怎么办呢?数学家是聪明无比的,他们总能想出点子,克服“最大数”这个初等数学中很实用的概念在高等数学中的不足之处。这个点子出在考虑大于或者等于给定实数集中的所有数的那些数构成的“上界之集”。

作为阐述这个好点子的佳例,我们再仔细瞧瞧没有最大数的开区间(0, 1)。这个集合是“上有界”的,即存在一个实数,比如2,它总是大于或者等于该集合里的每一个数。2被称为该数集的一个“上界”,英文是upper bound。一个显而易见的事实是,因为实数2是(0, 1)的一个上界,任何比2大的数也是同一数集的一个上界,因而区间(0, 1)具有无穷多个上界。问题是在所有这些上界中,有最小的数吗?即这个数不仅是给定数集的一个上界,而且更进一步,它总是小于或者等于同一数集的所有上界。如果它存在的话,那么这个最小的上界称为给定数集(0, 1)的上确界,这是英文数学术语least upper bound的中文翻译,不知出自哪位华人数学家之手。这个翻译的优点是精炼,只用了三个汉字就简洁译出了三个英文单词,数目对等,但是没有译出原词组的直接含义:least=最小,upper bound=上界。上确界更形象化、更容易看懂的中文翻译是“最小上界”。顾名思义,最小上界就是所给数集所有上界中最小的那个数。显而易见,如果数集的上确界存在,那么它是唯一的。如果实数s是数集A的上确界,则记为s=l.u.b. A或丢掉点号的lub A,也可写成s=sup A,其中 l.u.b. 或 lub 是least upper bound的三个首字母,sup 为 supremum(上确界)的前三个字母。

且慢,习惯思考并且敢于质疑的那些读者开始反问了:上述宣称隐含了一个武断的前提:所有上界中必定会有最小数。既然有无穷数集中不存在最大数的例子,难道就没有全体上界中不存在最小数的例子吗?而另外一些读者这时可能开始迷糊了。不要紧,当年读南京大学数学系,在第一学期的《数学分析》课上,听颜起居(1936-2011)老师讲解“上确界”时,我们也有一部分同学有点迷迷糊糊了。要想不被“迷糊”牵住鼻子走,最好的方法还是先让例子带路,引导我们登堂入室。

先来看一看区间(0, 1)的所有上界到底会组成一个什么样的集合。我们刚才举了一个上界2的例子,自然比2大的数统统也是上界。另一方面,显然1.5也是一个上界,另外,1.1、1.01等等都是。那么1是不是一个上界呢?仔细一想,也是呀。进一步地想,某个比1小的数,比如0.9999,也会是个上界吗?前面已经指出,区间(0, 1)中的数0.99999比它来得大,所以0.9999失去了成为上界的资格。如此分析的结果就是:有界数集(0, 1)的上界全体就是无穷区间[1, +∞),这个“左闭右开”的无穷区间当然有最小值1,换句话说,(0, 1)的所有上界组成的集合确实有最小数1,即1是区间(0, 1)的最小上界。

这样一看,一个数集的最小上界具有如下两个性质:1.它是该数集的一个上界;2.在该数集的所有上界当中,它是最小的一个。从前面的简单例子可以想象,如果一个实数集合是上有界的,即它存在一个上界,那么它一定有上确界,即所有上界中的最小数。这实际上是实数系统的最重要的性质,称为“实数的完备性”。尽管我们在中学就和实数打了不少交道,可是我们对此却一无所知,因为理解它比较困难,而且不学微积分无需用它。事实上大部分的高等微积分著作也不证明它,比如当年我们大一大二所用教材、吉林大学江泽坚(1921-2005)教授等编写的《数学分析》也不想对这个实数最重要的性质加以证明,干脆将它列为“完备性公理”,只用不证。当然,这条“公理”不像著名的欧几里得几何第五公设那样“不可证明”,而是可以证实的,但是论证它需要实数的构造理论,涉及到像“戴德金分割”或“有理数基本序列”等较为困难的概念。有的大部头高等微积分教科书或教学参考书,比如我们读大学时课外钻研的、苏联数学家菲赫金哥尔茨 (Grigorii Mikhailovich Fikhtengol'ts,1888-1959) 所著百科全书式的那套八册中译本《微积分学教程》,开头就是“实数理论”,其中证明了这条实数完备定理。

综上所述,我们知道,一个有上界的无穷数集不一定有最大数,但一定有最小上界。

至此,我们已经回答了本文的标题提问——最大数和最小上界这两个数学概念不是一回事。当然,如果集合仅仅包含有穷多个实数,该数集不仅存在最大数,而且最大数同时也是集合的最小上界。然而,如果集合包含了无穷多个数,则有可能它没有最大数;并且也可能没有上确界,除非它是上有界的。道理很简单,一个上界也没有的实数集合怎么可能有最小上界呢?所以在实数完备性的陈述“若非空实数集有上界,则它有上确界”中,不能忽略每一个字。

阿基米德性质

举两个简单例子以巩固我们的认识。一是集合{1, 2, 3,…, n,…}。因为该可列数集缺乏上界,故它没有上确界。二是集合。因为对所有的自然数n都有,所以该可列集以数1为一上界。由实数的完备性,数集存在上确界。我们来证明:上确界等于1。

 

数学是天下最严格的学问,其表达语言也应被严密地写就,这种训练会极大提升我们在日常生活和职业生涯中的思维素质。借助上确界前述的两个性质,我们来验证1是无穷集合的上确界。第一个关于上界的性质是显然的,因为上一段已经说明1是一个上界。第二个关于最小上界的性质可用反证法确认。假设1不是所论集合的上确界,即该集合具有一个上界u,它比1还小,即u<1。这个不等式就是中文句子“1不是最小的上界”或其等价说法“存在某个上界u比上界1还小”的数学翻译。然后就有1-u>0。自然数有个所谓的“阿基米德性质”:任给一实数x,总有自然数n大于x。这个冠以古希腊大数学家名字的性质大概连小学生都知道。这个性质推出对任意正数ε,存在自然数n使得,因为这个n取成大于正实数即可。现在让ε为上面的正数1-u,则有自然数n满足。此不等式可写成。这说明所给的数集中有一数大于该数集的上界u,于是我们走向了矛盾:u既是上界又不是上界。这个矛盾证明:1必定是集合的上确界。

 

上面用到的真理“总有比任给正实数更大的自然数”似乎是太显然了,比如说,如果将这个实数写成十进制形式,则只要将小数点后面的数字全部去掉,再在正整数部分加上1,就得到比原数大一点的自然数。这或许就是大部分人的处理方式。然而,这个真理的等价说法就是“每一个实数都不是自然数集的上界”或“所有自然数全体之集在实数中不是上有界的”。既然本文谈论的是“实数的完备性”,我们就用它来严格论证阿基米德性质:假如阿基米德性质不为真,那么自然数集合在实数集内是上有界的,故根据实数的完备性,的上确界存在,记为α。既然α是的最小上界,数α-1就不能是的上界,故存在自然数n使得α-1<n,这等价于不等式α<n+1。由此导致矛盾:所有自然数的上界α却又小于某个自然数n+1。于是,看似显然的阿基米德性质严格被证。

不完备的有理数集

我们继续探讨最大数与上确界之间的关系。尽管无穷数集既不一定有最大数,也不一定有上确界,但只要数集含有最大数,该集合也一定有上确界,并且两数相等。这是为什么呢?我们还是按照上确界的定义(即它前述的两个性质)来证明这个断言。首先所给数集的最大数自动成为该集合的一个上界;其次,任给集合的一个上界,则它大于或者等于集合中的任一个数,特别地,它大于或等于集合的最大数,这就证明集合的最大数是集合所有上界中的最小数,即数集的最大数等于数集的最小上界。由此可见,对于有上界的实数集,上确界的概念直接推广了最大数的概念。

然而,一旦我们偷懒,仅仅局限在有理数集合里玩弄微积分,“上确界”的概念马上黯然失色,微积分这个数学巨人也就萎靡不振了,基础松动,散了架子,大厦将倾,微积分中的几大定理,什么单调收敛定理、闭区间套定理等,正好可用成语“皮之不存,毛将焉附”来描绘其不复存在之惨状。

就代数结构和运算而言,有理数集合同实数集合同享荣耀,它们关于加法和乘法运算都是好数域,都具有大小关系。此外,相较于实数集,计算机科学家或电脑程序员可能对有理数更觉亲近,因为无理数无法在计算机内被精确表示,只能四舍五入,误差趁机入侵。这样,常用电脑程序计算的科学家和工程师,大概很想离无理数远远的。

然而,数学家就是另外一类人了。有理数失去的是“完备性”,更正式地说就是:在全体有理数的集合里,上有界的子集合不一定有上确界;或言之,不一定有最小的上界。我们拿最有名的无理数——圆周率π来构造一个没有上确界的有界集合例子。我的高中数学老师教会了我怎样背诵圆周率的前15个数字,故我能写出π= 3.14159265358979…。按如下的方式定义一个有理数数列

3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,3.14159,3.141592, 3.1415926,3.14159265,…。
 

该无穷数列中的所有数构成有理数集的一个子集,记为。有理数4是它的一个上界。问题是:中有最小上界吗?我们依旧用反证法证明最小上界不存在。


 

假设中有最小上界s,则s≠π,因为π不是中的数。剩下只有两种可能性:s<π或s>π。先假设前者为真,则π-s>0,因而阿基米德性质保证存在自然数n使得,或等价地。取自然数k满足10k≥n,则。显然原数列第k+1个位置后的任何数都大于,因而也大于s,这与s为的一个上界相矛盾。类似可证不等式s>π也不成立。所以s不存在,即中没有上确界。

再回到上确界的第二个性质,这次我们想给出与之等价但更有“数学味”的定义。上确界s的第二个性质说它是数集的所有上界中的最小数,这等于是说,比它更小的数就不是上界了。“比s更小”的数可以写成s-ε,其中ε为一正数。“不是上界”意指在给定的数集中存在某个数比这个非上界数还要大。这样我们就得到一个上确界的新定义:实数s称为实数集A的上确界,如果(i)它是A的一个上界;(ii)任给ε>0,存在A中的数a,满足s-ε<a。

√2存在吗?

我相信即使是以前没有接触过相关概念的读者,也已经足够了解上确界的基本思想以及实数的完备性了。现在,我们想借助这些知识,来证明2的算术平方根的存在性,即存在一个记为√2的实数,它的平方等于2。读过中学代数的一些人可能都要“抗议”了:这个事实还需要证明?诚然,他们的代数教科书里早就写满了√2,但就像中学代数里无理数指数幂的严格定义需要高等数学里的单调收敛定理做后盾,√2作为无理数存在的严格论证也离不开实数完备性的一臂之力。

因为毕达哥拉斯定理的发现,古希腊人觉得√2一定存在,因为单位正方形的对角线的长度就是它,难道这个长度不存在吗?然而,他们惊讶地发现测量这个长度遇到了“不可公度”的困难,这也成为数学史上第一次危机的源头。欧几里得(Euclid,约公元前330年-公元前275年)在他的辉煌著作《几何原本》中证明了√2不是有理数。这个论证过程是简洁的、漂亮的、标准的,被英国上世纪上半叶的纯粹数学家哈代(Godfrey Harold Hardy,1877-1947)放进了他著名的随笔小书 A Mathematician’s Apology(《一个数学家的辩白》),作为关于“美的数学证明”的一个范例。
 

证明用的是反证法:假设√2是一个有理数,那么存在两个正整数m和n,它们没有大于1的公约数,并且使得。将等式两边平方,得,即m2=2n2,也就是说m2是个偶数。因为任一奇数2j-1的平方(2j-1)2=4j2-4j+1=2(2j2-2j)+1总是奇数,可知m也是一个偶数。这样m可以写成2k的形式,其中k为一正整数。代入到上面的等式m2=2n2,就有4k2=2n2。这样我们得到n2=2k2,即n2是一个偶数,故n也是一个偶数。这样m和n有公约数2,与一开始关于m和n无大于1的公约数的假定矛盾。这就证明了√2不可能是一个有理数。

如上证明的是,如果√2是个实际存在的数,那么它不可能是个分数。但这个数的存在并非像公理那样不证自明。我们现在就给中学毕业生补上一节课:证明√2存在。
 

定义非空集合。显然A是上有界的,比如2是它的一个上界。根据实数的完备性,A有上确界s>0。我们证明正实数s的平方等于2。假如不然,则有两种可能:s2<2或s2>2。

先设第一种可能情形s2<2成立。我们想在A中找到一数大于s,陷入矛盾结局。为此目的,任取自然数n,我们有

 

另一方面,由于2-s2>0,按照阿基米德性质,存在自然数N,使得


 

由此推出
 

 

 

这说明。既然s是A的一个上界,应当成立,但这是矛盾不等式。


 

再设第二种可能情形s2>2成立。对所有自然数n,


 

 

由阿基米德性质,存在自然数N,使得


 


 

 

这时,数成了数集A的一个上界,因为否则的话,就有x∈A满足,进而导致自相矛盾的不等式。既然s是A的最小上界而是A的一个上界,就必须有,这又是一个矛盾不等式。

 

综上所述,s2=2,即2的平方根存在。这就严格证明了√2作为实数的真实性。

单调收敛定理

为了验证读者是否理解了上确界的概念,我给出一道测验题:请你求出下面一个数集的上确界。该集合由所有形如(-1)m-n/(m-n)的分数组成,其中m和n为任意两个不相等的自然数。这是我在大学讲授高等微积分课时,面向高年级本科生和低年级研究生,为某次期中考试出的第一题。

与最大数相对应的概念是最小数,同样,与上确界对应的概念是下确界,英文表述是greatest lower bound或infimum,故实数集A的下确界记为g.l.b. A, glb A或inf A。一个数集的下确界是这样的实数:它首先是给定数集的一个下界,即它小于或等于集合中的所有数;其次它是集合的所有下界中的最大数,即它大于或等于集合的任何下界。故下确界的更易懂的称呼是最大下界,正是英文对应短语一目了然的直译。实数的完备性关于下确界的断言是:如果给定数集是下有界的,则它有下确界。与上确界的情形类似,如果集合有最小数,那么它也有下确界,并且两数相等。

高斯曾经说过:“数学是科学的皇后,数论是数学的皇后。”套用他的句型,我们也可以说:极限理论是微积分大厦的基础,确界概念是极限理论的奠基石。实数的完备性——有界数集存在确界,可以推演出极限理论中的几大定理。在本文的最后,我们列出关于数列的单调收敛定理,再次领略确界的魅力。

单调收敛定理说:如果单调递增(减)数列是上(下)有界的,那么它收敛。在论证定理前,我们回忆数列极限的定义:称一个数列{an}收敛到极限L,如果对任给的正数ε,存在自然数N,使得对所有的自然数n≥N,不等式|an-L|<ε都成立。
 

我们对上有界的单调递增数列{an}证明单调收敛定理。令。则A是上有界的,记L为它的上确界。任给ε>0,上确界的第二个性质保证存在A中某个数,记为aN,满足aN>L-ε,即L-aN>ε。然后,对任何n≥N,由于数列的单调递增性以及A以L为一上界,aN≤an≤L,故有

 

这就证明了。运用下确界,同样可证下有界单调递减数列的收敛性并得极限。

“确界”是中国大学数学系新生最重要的课程《数学分析》和美国一般大学高年级和研究生《高等微积分》课程中第一要紧的基础概念,也是常常吓坏同学们的难懂概念之一。然而,如果真正学懂了它,不仅能顺利进入极限理论的学习,而且对任何人而言,就相当于从大脑“健美体操”一周训练班顺利结业。事实上,分析数学中各门课程的许多概念,都是用确界的语言写出的,如高等微积分中的黎曼上、下积分和实变函数论中的勒贝格外测度。所以,学懂它绝对好处多多。

学习精妙的数学概念,并非仅仅为了增加数学知识,更是为了强化人的思维能力。在当今世界,所闻信息五花八门,鱼龙混杂,令人不易分辨真假对错。提高自己的识别能力有一个好方法,就是强迫自己试图理解从未见过或以前老师没有教好的数学概念,分析一个数学名词定义内的逻辑关系及其延伸推论,以及与其他概念的联系。如果有条件获得这种提升自身逻辑判断能力的机会,过不了多久,你的脑袋瓜里就慢慢长出孙悟空的火眼金睛,得以看清周围众多说辞背后的真实逻辑。这也是我撰写本文,用尽量浅显的语言介绍“上确界”概念的一个初衷。

致谢:感谢《返朴》周编辑细心审读并改正一处误写。

写于2024年1月22日星期一

美国哈蒂斯堡夏日山庄

本文受科普中国·星空计划项目扶持 

出品:中国科协科普部 

监制:中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司 

 

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