在今年九月底的时候，突然收到哥伦比亚大学几位教授 Duong Hong Phong、刘秋菊、Panagiota Daskalopoulos 和 Simon Brendle 的先后来信，告诉我我的老朋友 Richard Hamilton 病危！原来一个多星期前 Richard 出了意外，摔了一跤，人事不醒，已经住在加护病房，昏迷多日了，在等他儿子从俄亥俄州（Ohio）过来做决定。最后他的儿子到纽约后，延续了几天，才决定停止支持生命的仪器。二十世纪最富创造力的一位数学家，我的挚友，从此与世长辞！

这些年来，自从他将夏威夷海边的住屋售卖以后，日常运动不多，他又患有严重的过敏症，经常要注射抗敏药，心情又不是特别好，身体大不如前！去年我们在雁栖湖应用数学研究院（BIMSA）和北京市开始举办国际基础科学大会（ICBS），颁发终身成就奖给当代最有创意的伟大理论科学家。在十多名世界一流的学者提名下，Richard 的名字被多个评委推崇，今年得奖。 

七月时来京，我一直担心他的身体，可否承担长途旅行。我的学生曹怀东从八零年代开始学习 Richard 的里奇流，和 Richard 也算师生之谊，一直照顾他来中国这一段旅行。我的另外一个学生孙理察（Richard Schoen），也在旁边帮忙照顾。孙理察也是一代大师，他和 Simon Brendle 利用 Richard 的里奇流，证明了几何上有六十年历史的 1/4 拼挤（quarter pinching）问题。这几位学者和从澳大利亚来的 Leon Simon 在我们雁栖湖应用数学研究院聚首一堂，都是近代几何分析的创始人，久别重逢，十分高兴，我们度过了几天极为愉快的生活。在接受终身成就奖和给他的演讲时，Richard 的身体健康已经出现困难。因此决定早几天回去纽约，我和 Richard 握手说再见时，心里十分难过，因为我估计不会再见到他了。从中国回美以后，他逐渐恢复日常生活，但是没有想到他会摔了一跤，竟然要了他的性命！ 

 
 我和 Richard 相识刚好五十年。1974 年春天，康奈尔大学的王宪钟教授邀请我去伊城访问，希望我接受他们长聘副教授的职位。王教授夫妇十分热情，宴请了不少宾客。Richard 和我一见如故，他和我讨论的学问包括几何学中各个分支。离开的时候，他送我他的博士论文的原本，订装精美，当时他有名的工作是研究带边流形的调和映射。我和孙理察也正在研究调和映射，在这个问题上我们多有交流。

五年后，我在普林斯顿高等研究院主持几何分析年，在十一月时再度访问康奈尔大学，上次接待我的王宪钟夫妻倶己仙逝！和我交流的主要是 Richard。 

这五年来，他对 Nash-Moser 隐函数定理很感兴趣，应用到复结构形变（deformation of complex structures）的理论上。但是对调和映射始终不能忘怀，尤其是 Eells 和 Sampson 用热流来证明存在性的工作。 

我们想像在所有黎曼度量的空间中，找个类似的热流，很自然的得到里奇流。我们都认为这个流很有意思，Richard 要用 Nash-Moser 隐函数定理来证明里奇流有局部解。但是我认为最有意思的长时间解会极为困难，当时我正和孙理察在解决正质量猜想，找不出时间来考虑里奇流这样复杂的几何流，我们当时比较熟悉的几何流是 Ells-Sampson 做调和映射时用到的热流，对于长时间的收敛，需要很强的几何条件，里奇流比调和映射流要复杂得多。但是令我极为惊讶的，在 1982 年秋天，我在普林斯顿高等研究院做教授，他打电话给我，说他在三维空间的里奇曲率为正时，他解决了三维空间理奇流长时间收敛的问题：在时间趋于无穷时，这个三维空间的曲率趋于常数。这是一个很漂亮的定理，它证明了正里奇曲率的三维空间满足庞加莱猜想。我和两位朋友（Leon Simon 及 William Meeks）刚刚用极小曲面（minimal surface）方法证明了类似的定理，但是我们需要假定这个三维空间是可约的（reducible）。我们很想拿去这个假设，但是我们的方法遇到很大的困难。所以听到 Richard 的工作，特别亲切和兴奋。 

我即刻邀请 Richard 到普林斯顿高等研究院访问一个星期。他带了他的女友 Debbie 来，我安排他们住宿在研究院的一个公寓。没有想到他们离开后，清洁人员和秘书们抱怨良久！我告诉他们这个礼拜是几何历史上一个重要的礼拜！花点时间做清洁工作还是值得的。 

事实上，我要求我所有博士生听 Richard 的演讲，听完后，我三位学生曹怀东、周培能（Ben Chow）及 Bando（板東重稔）的博士论文都以里奇流为主要方向。在这个礼拜，Richard 和我有多次长谈，要考虑里奇流的伟大远景在什么方向。 

当时我熟悉的几何方法, 除了 Kähler 流形中的 Kähler-Einstein 度量外，就是用极小曲面及共形形变（conformal deformation）的方法。在 1979 年时，孙理察和我对带正数量曲率的流形做 surgery （手术），十分成功。 

我觉得这些方法都和 Richard 的里奇流有密切。那一年，我的同学 William Thurston 因为他对三维空间的几何化纲领（geometrization program）而得到菲尔兹奖。我一直在注意 Thurston 这个工作，认为几何分析的方法可以应用，由于 Richard 这个工作，我建议 Richard 用里奇流来完成 Thurston 这个还未完成的纲领。由任意一个三维紧流形开始，通过里奇流，流形会不断分裂，而分裂出来的流形应当是几何化纲领要求的子流形。 

我告诉 Richard，这个过程和 Sacks-Uhlenbeck 在构造极小球面（minimal sphere）相像。我在证明 Frenkel 猜想时，就仔细分析过这个冒泡（bubbling）现象。可是二维分析比三维分析容易得多，最重要的就是处理好奇点。处理奇点，可以学习极小曲面的做法，这会是一个冗长而且困难的旅途。但收获将是划时代的。Richard 觉得很有意思，毫不犹豫的就动手了！青春年少，想当年，金戈铁马，气吞万里如虎！ 

他开始研究极小曲面的奇点，和里奇流比较，他须要考虑极小曲面流（minimal surface flow）。这倒是一个有人考虑过的问题。他先考虑一维情形。他和 Grayson 写了一篇文章，叫做曲线流（curve shortening flow），证明这时奇点不会出现。跟着考虑二维的情形。 

我在 1984 年秋天，辞去普林斯顿高等研究院的职位，去了加州大学圣地亚哥分校任教。校长希望我将该校数学系建立成为世界一流。我第一个要做的就是邀请 Richard 来，他欣然答应，即刻参加我要建立的数学大营。他喜欢海洋运动，可以说一拍即合。 

Gerhard Huisken 是我的德国朋友 Klaus Gerhard 的博士生，博士论文做的是平均曲率流（mean curvature flow）。命题和证明都是以 Richard 的里奇流为榜样。Klaus Gerhard 说德国有经费，送他来跟我做博士后，我从前在斯坦福大学的学生孙理察也决定来参加。 

在期间有个趣事，我在普林斯顿和 Richard 交谈时，我说我们可以用几何流来解决共形几何中的 Yamabe 问题，希望得到一些经验来了解里奇流。一年后，我们以为将问题解决了。我向孙理察解释证明时，发觉证明并不完全。因此引起孙理察的兴趣，他用一个很漂亮的结合变分方法和广义相对论中的正质量猜想将 Yamabe 问题解决了。但是 Richard 不理，坚持要用几何流的方法来解决这个问题，孙理察觉得可笑，也可见 Richard 做数学的态度。 

在圣地亚哥，我带了十五个博士生，其中施皖雄对里奇流特别感兴趣，做了重要的工作。在 1989 年的《微分几何杂志》上，施皖雄对完备非紧流形构造了里奇流的短时间解，只要初始度量的黎曼曲率有界。这个结果把 Richard 关于紧致无边流形上里奇流的短时间存在性，非平凡地推广到了完备非紧情形。Richard 的办公室就安排在我办公室的对面，我们常有交谈，主要是如何对付奇点的问题。我告诉 Richard 我和李伟光（Peter Li）在热流方面的工作，就在几年前，我们对正里奇曲率的流形，做了一个很精确的不等式，因此对热核有一个很好的估值。这个估值很有用处，我认为在里奇流有类似的不等式，同时对控制里奇流的奇点会起着重要的位置。 

Richard 竟然深信不疑，努力推广我建议的 Li-Yau 不等式（李伟光-丘成桐不等式，Li-Yau inequality）。但是由于学校的人事太复杂，我决定离开南加州去哈佛大学任教。几年后，Richard 也受不了这些人事纠纷，离开圣地亚哥到哥伦比亚大学任教。我们开始多见面了。 

约在 1992 年，Richard 很兴奋的跑到哈佛大学来，告诉我他成功地推广 Li-Yau 不等式到里奇流。这个工作漂亮极了，使人叹为观止。这个工作成为分析里奇流极为重要的一部分。毕竟里奇流是一个非线性偏微分方程，要真正了解非线性方程，必须要有精确的估值。Richard 这个工作，成为里奇流的骨干。这是一个极为精准的张量不等式，也是几何分析中唯一的张量不等式。由于他们所受的训练不一样，拓扑学者很难欣赏它在里奇流的重要性！ 

在证明这个不等式时，Richard 需要假定流形的曲率是正的。幸好 Richard 和 Ivy 证明在三维空间，当里奇流产生奇点时，它的附近可以用正曲率空间来描述！ 

为了了解里奇流在三维空间的结构，Richard 先考虑四维空间，但是加上一个条件，叫做迷向正性（isotropic positivity）。在这个假设下，Richard 分析了四维空间的里奇流在奇点附近的变化。 

到了 1995 年，Richard 告诉我，在曲率可控的情形下，他可以将几何化纲领解决，他正忙于证明某种奇点在三维里奇流并不存在，他将这个奇点叫做雪茄（cigar）。他希望我帮忙。 

我认为里奇流在三维拓扑学上大放光芒的时候到了，于是我在哈佛大学数学系的会议中，我提出邀请 Richard 到哈佛大学访问一年，解决庞加莱猜想。大家都很兴奋，Richard 也接受了我们的邀请，给我们的研究生解里奇流。大家都很喜欢他，我希望他留下来。但是当时哈佛有个不成文的传统：长聘教授的年龄控制在四十岁下。我去找我在 MIT 的老朋友 Isadore Singer 教授，他很信任我的意见。就在三年多前，在完全不认识田刚的情形下，他接受我的意见，將田刚由纽约大学聘请到 MIT。 

使我十分惊讶的是：过了一个月后，他告诉我，田刚反对 MIT 聘请 Richard。田刚的理由是 Richard 只懂得一个方程（里奇流），田刚认为里奇流并不重要，所以 MIT 没有继续讨论聘请 Richard。 

同一个时间，我受路甬祥院长之托，在中国科学院成立晨兴数学中心。在成立晨兴数学中心的一开始，我告诉杨乐，中国需要全力以赴，集中一批年轻人，用里奇流去解决庞加莱猜想。得到年轻人热烈的支持。 

但是没有想到，做过我博士后的丁伟岳先生却不准这些年轻人继续关于里奇流的讨论班。他和田刚熟悉，观点一致，另外一个原因是里奇流需要大量的计算，丁伟岳自己没有能力做这些计算，他要赶着要发表文章。解散这个讨论班可以说是中国数学界四十年来最大的失策。 

Richard 来访问哈佛大学时，我替数学系主持一个数学大会。晚上宴会时，Richard 和 Jim Simons 夫妻都是贵宾。Simons 是一个杰出的几何学家，他在 Stony Brook 做数学系主任，我在 Stony Brook 待过一年，和他熟悉。他从前的宏愿就是证明庞加莱猜想，现在成为巨富，对于帮忙数学界，十分慷慨。我告诉他，庞加莱猜想的解决，旦夕之间，希望他捐赠一个讲座教授的职位给哈佛大学，聘请 Richard 为讲座教授。但是 Simons 不大相信我的说法，这也不难怪，宣布证明庞加莱猜想的人实在不少，方法也不少。著名的拓扑学者 Wolfgang Haken 写过长篇论文，宣称证明了庞加莱猜想，大家花了很多功夫，在最后两页找到了错误。 

在这个时候开始，我多次访问哥伦比亚大学，哥伦比亚大学对我很好，他们两次聘请我做 Eilenberg 讲座教授，还给我一个我几乎没有办法拒绝的 offer。我在香港长大，纽约和香港相似，我很喜欢纽约，但是我夫人不喜欢大城市，所以这个 offer 告吹了。 

这次访问哥伦比亚大学期间，我两位中国学生王慕道和刘秋菊都是教授，还有老朋友 Duong Hong Phong、Masatake Kuranishi、Goldfeld、Friedman 等人，生活相当愉快，但是最重要的还是和 Richard 讨论里奇流的估值问题。我们也十分享受纽约市丰富的文化生活。Richard 和他的女友多次邀请我去 Lincoln Center 聆听美妙的音乐会，享受不同文化背景的美食，他喜欢吃牛排，好的牛排确实不错。 

九零年代初，Richard 喜欢到夏威夷海边冲浪，在岸边购置了一个漂亮的小别墅，一有空，他就带着女友住在这个地方。他在税表上甚至宣布夏威夷是他的家，联邦政府不同意，而 Richard 的律师却是打了一场胜仗！有好几年工夫，我往返中国途中，总会花两个礼拜到一个月时间住在他家里。他和他的女友 Susan Harris 十分好客，对我总是特别招待。他们喜欢冲浪和骑马，我都没有能力奉陪，但是我们每天总会去游泳。有一次，他们高估我的游泳能力，在离开他们别墅不远的海上有个小岛，他们怂恿我一起游泳去岛上玩。我以为是一公里多，但事实比这个距离远得多。只得由他们两位护送回岸，有惊无险！在漂亮的后花园 barbecue 后，又开始研究里奇流的估值问题。他有一台他很喜欢的电脑，他叫这个电脑做 Muffin，我们很多计算都由 Muffin 帮忙。我们得到了不少有趣的结果，但总没有达到最后的一步。 

大概在 1998 年的时候，美国自然科学基金宣布要成立一个新的数学中心，我们决定以里奇流及三维拓扑为题在夏威夷申请，夏威夷的一位参议员表示支持。很多几何分析学者包括 Leon Simon、孙理察、Uhlenbeck、Robert Bartnik、Gerhard Huisken 等人，都答应来参加。第一轮筛选，剩下夏威夷和 Ohio 大学的生物数学项目。由于夏威夷大学不愿意提供场地，我们没有争取到经费。丧失了群策群力的机会，实在可惜！ 

Richard 往往在周末会从纽约开车子到剑桥来讨论，我们同时在 2002 年 11 月 12 日接到了在俄罗斯的 Perelman 的电邮，叫我们阅读他刚刚放在 arXiv 的文章！文章没有很明显的说明，他解决了庞加莱猜想，但是很明显的和它有密切关系，而且有着极为富有创作力的思想。 

Perelman 的名字对我来说，并不陌生。九零年初，他写了一篇文章，投稿到《微分几何杂志》（Journal of Differential Geometry），做了不少修改，他也十分合作。arXiv 上的这篇文章当然伟大得多，但是十分简短，需要解释的地方甚多。主要思路仍然是 Richard 一直要走的路，但是增加了不少新的思维和估值。前半部对 Richard 和我来说，都是比较熟悉的，因为这部分的构造和估值，基本思想和 Li-Yau 不等式及利用这个不等式给这样构造出来的几何量单调向上的性质。在黎曼度量也在变动的情形下，表示引力会出现，Li-Yau 不等式中的势能很自然的由数量曲率代替。Perelman 将因此得到和 Li-Yau 几何量类似的量叫做熵，并将这个名字放在文章的标题上，吸引读者的注意。因此大家都很兴奋，以为和物理学上的熵有关，但是二十多年后，还没有见到它的真正物理意义。 

Perelman 的文章只是出现在 arXiv，没有人审稿，做里奇流的专家都认为这里有美好的想法，但是不敢确定文章的绝对正确性（毕竟数学要求逻辑的严格性）。但是一些对里奇流从来没有兴趣的学者，见到有机可乘，纷纷表示意见，其中有田刚和 John Morgan。 

田刚还刚开始学习非线性几何流的方法，对其中估值茫然所知。John Morgan 对基本的三维拓扑学当然是学过的，但是对微分方程却是门外汉。但是一下子，他们都变成大专家，在媒体上发表意见，指点江山！Stony Brook 的 Michael Anderson 是 Lawson 的学生，但是他对几何分析的认识，主要是在孙理察和我的讨论班中得到。他曾经尝试用变分方法做庞加莱猜想，但是没有成功。所以他很自然的仰慕 Perelman。同时 Perelman 在 Stony Brook 和 Berkeley 都待过，和他熟悉。于是他邀请 Perelman 到 Stony Brook。田刚即刻提出 Perelman 先去 MIT 访问。由于波士顿是全世界数学重地，Perelman 要世人知道他的工作，先到波士顿访问是很自然的事。田刚却是找到了一个提升自己地位的机会。 

当时还有一个特别的问题。有一位对数学有特别兴趣的商人，叫做 Landon Thomas Clay，他和哈佛大学数学系特别友善，捐赠哈佛大学数学系不少资金。八零年代后期，预备做一个大捐赠，Arthur Jaffe 是哈佛大学数学系系主任。大概准备好他自己不做系主任后的后路，建议 Clay 成立一个 Clay 数学研究所，他自己做第一任所长。 

他要搞些花样，跑来咨询我的意见。我建议像当年费马和其他国家的数学家，问有趣的问题，互相挑战。Arthur 没有能力做这样的事，却做了一个最简单的事情，他搜集了几个历史上有名的问题，每个问题悬赏一百万美金。我本人并不赞成这样的做法。首先将别人提出的问题，是一些伟大数学家得到的成果，称它们为 Clay Problems 或者千禧年百万奖金问题，这样的行为并不诚实！同时这些清高伟大的数学问题，被无端冠以百万金钱，实在有失斯文。 

Clay 作为生意人，听说他为这些题目买了保险。本来 Clay 基金会说明解决这些问题要得到奖金，必须要在正式期刊上发表，经过正式审稿程序，但是 Perelman 拒绝投稿。作为《微分几何杂志》的主编，我三次邀请 Perelman 投稿，他都没有理会。于是 Clay 数学研究所悬赏找人阅读 Perelman 的文章，补足文章中的漏洞。田刚他们见到有机可乘，赶快申请而得到 Clay 丰厚的资金去读 Perelman 的文章。 

几年前，Arthur Jaffe 做了一些事情，使得 Clay 很不高兴，将他撤下所长的职位。这个事情引起 Clay 数学研究所帮忙的学者集体抗议，一起辞职。只剩下 Andrew Wiles，不过他不管行政管理事务。Philip Griffiths 见到有机可乘，赶快运用他的影响力，让他的学生 Jim Carlson 成为 Clay 数学研究所的所长，代替了 Jaffe。 

所谓 Clay 问题已经宣传了很久，他们叫这些问题为千禧年大题，现在却变成烫手山芋！他们自己立下的规则，Perelman 拒绝遵守。 

据说 Clay 的奖金是通过保险公司付款，他们要说服保险公司有一定的困难。于是 Carleson 就找了田刚他们，付款要他们读 Perelman 的文章，为 Perelman 站台。有趣的是：天下间最熟悉这些方法的是 Richard，毕竟大部分方法由他开始。但是由于 Griffiths 及一大批搞学术政治的学者不喜欢 Richard，计划将所有功劳送给 Perelman，所以找了田刚和 Morgan 两个不懂里奇流的人来做评审。最荒唐的是 Morgan 在哥伦比亚大学开一门课讲庞加莱猜想时，居然不提 Richard，使我惊异万分。 

Richard 的数学天下一流，对人也是彬彬有礼，我当时有点奇怪，问了 MIT 的 Daniel Strook。他回答说，Perelman 做这个题目花了很多工夫，生活又困苦；而 Richard 却天天享受，所以所有好处都应当归于 Perelman。这样的逻辑真使我啼笑皆非！一个做概率论的人竟然认为自己是几何分析大师，可以决定里奇流谁应该得到最大功劳？ 

一大群记者和一些不懂得几何分析的拓扑学家，再加上 Clay 数学研究所的人别有用心，大放厥辞，说 Richard 在 1983 年在里奇流理论中没有做过任何有意义的工作，直到 2002 年才石破天开，由 Perelman 用里奇流全部解决了庞加莱猜想。媒体当然还要更多渲染 Perelman 躲在俄罗斯，和外面完全没有接触，独自创造了所有解决问题的想法。这与事实不符，事实上，Perelman 有十年的工夫，通过互联网搜索里奇流的资料。 

我还记得，为了方便大众，我在九零年代后期将里奇流中重要的文章编成一本文集，在波士顿的 International Press 发表。而我好几个学生都和 Perelman 有电邮来往，只不过直到 2002 年，Perelman 没有告诉任何人他本人对里奇流的想法。 

在 2005 年 5 月，我在哈佛大学主持微分几何大会，邀请了朱熹平来讲几何流的工作，他表示他和曹怀东大致上了解 Perelman 的文章。于是我要求哈佛大学数学系邀请朱熹平在哈佛大学访问一年，讲授他和曹怀东的心得。他从 2005 年 9 月初讲述他和曹怀东的关于 Perelman 在里奇流工作的论文，每周两次，每次一个半小时，直到 2006 年四月才停止。听讲的学者，除了研究生以外，还有 MIT 的 Daniel Strook，只不过他中途而退，我则坚持到底。曹怀东和朱熹平基本补上 Perelman 文章很多没有解释的，甚至有错误的地方。我本人是《亚洲数学杂志》（Asian Journal of Mathematics）的主编，经过我自己一年的审稿，我告诉所有的编辑们，我是审稿人，我认为朱熹平和曹怀东的文章已经达到可以接受的标准。在编辑们没有异议的情况下，这篇文章很快就发表了。这是第一篇报告 Hamilton-Perelman 工作最完整的文章，比 Morgan-田刚的文章早了半年，于是引起田刚的不满！ 

无论如何，我们可以说，里奇流最重要而又最基础的工作由 Richard 经过二十年的努力完成，Perelman 在几个最重要的关口，引用崭新的思想，得到大突破。但是 Richard 始终没有明白 Perelman 证明的细节，尤其在里奇流手术后的种种操作。他私下告诉我，他希望他在有生之年看到他本人能够全部了解三维空间几何化猜想的证明。有不少人却认为三维空间理论中 Thurston 提出的几何化的伟大猜想已经全部被证明。媒体记者都认为这是无可置疑的事实，这个看法也包括我所知道的拓扑学家们。 

里奇流这个重要的工作是现代几何分析这门学科三十年发展累计得出来的伟大成果。里奇流的创作和应用是数学史上可以被称颂的皇冠上的明珠，无论在几何、在拓扑学和在数学物理都有不朽的贡献，永留青史。这二十年来，里奇流继续发挥了它的作用，孙理察和 Simon Brendle 利用它解决了有六十多年历史的 1/4 微分球面猜想。 

Richard 终于得到邵逸夫奖，但是有不少无知的媒体和学术政客，始终不愿意改变他们的态度，不愿意表扬 Richard 的贡献，将一切功劳归于 Perelman。Richard 因此心中郁郁不得志，身体大不如前。所幸在北京举办的国际基础科学大会的评审委员会一致承认 Richard 在里奇流伟大的贡献，在今年七月在北京颁发终生成就奖状给他。 

我和 Richard 五十年的友谊，不得不告一个段落，但是这是我一辈子不能忘怀这个最为可贵的友情。他对数学的热情，他对数学的贡献将成为后学者的典范。

 仅作祭文如后。 

本文经授权转载自微信公众号“数理人文”。