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还有人分不清咖啡杯和甜甜圈?数学家说,还真有!

许多朋友听说过关于“咖啡杯和甜甜圈是同一回事”的论述,也有许多朋友对于拓扑的最初印象也来自于此。但是抛开这个模糊的表述,我们有没有办法严格地去定义这一点呢?这就要用到我们今天的话题“同调论”的观点了。
 
撰文 | Kelsey Houston-Edwards
 
翻译 | xux
 
审校 | C&C
 
 
起初,拓扑学似乎是数学中一个异常不精确的分支。这是一门研究黏糊糊橡皮泥的学科,它的研究对象能够无限地弯曲、拉伸和压缩。但是也有一些限制:不能在形状中创造或破坏洞。(一个古老的笑话:拓扑学家分不清咖啡杯和甜甜圈,因为它们都有一个洞。)虽然这似乎与代数的严谨相去甚远,但一个叫做同调的强大想法帮助数学家连接了这两个世界。
 
发明同调论起初是为了严格计算出“洞”的数量。同调论为数学思想提供了框架,让我们能够用一种新的方式来分析数据中的形状。
 
“洞”这个词在日常用语中有很多含义——泡泡、橡皮筋和碗的“洞”各不相同。数学家感兴趣的是一种特殊类型的洞,这种洞可以被描述为一个封闭且中空的空间。一维的孔看起来像橡皮筋。橡皮筋的曲线是封闭的(不像一根松散的绳子)和中空的(不像一元硬币的周界)。
洞、非封闭、非中空
 
将这个逻辑扩展下去,那么二维洞便是一个空心球。数学家们正在寻找的这种洞,是像篮球那样封闭且中空的,而不是像碗或保龄球上的洞。
 
但是数学是严谨的,虽然用这种方式思考,能够让我们直观地想到橡皮筋和篮球,但它还不够精确,不足以作为一个数学定义。例如,它不能清楚地描述更高维度的洞,你也不能编程让计算机区分封闭空间和中空空间。
 
密歇根州立大学的何塞·佩雷亚说:“对于洞,没有一个好的定义。
 
相反,同调从物体的边界推断出物体的洞,这是一个更为精确的数学概念。想要研究物体上的洞,数学家只需要知道物体边界的信息。
 
形状的边界是其外周上点的集合,边界总是比形状本身低一个维度。例如,一维线段的边界由两端的两点组成。(点是零维的。)实心三角形的边界是由一维边线组成的空心三角形。同样,实心棱锥的外边界是空心棱锥。
不同维度的形状的边界(boundary)
 
如果将两条线段粘在一起,它们相交的边界点将消失。边界点就像悬崖的边缘——它们几乎要从直线上掉下来。但是当你将这些线连在一起时,边界上的点就会安全地呆在中心。另外,这两条线总共有四个边界点,但当它们粘在一起时,生成的形状只有两个边界点。
 
如果再加一条边,让结构封闭起来,形成一个空心三角形,那么边界点就消失了。组成三角形的三条边的每个边界点与另一个边界点两两相消,空心三角形没有边界。因此,每当一组线形成一个圈时,边界就不复存在。
 
一个环(loop)绕回到它的起点会圈起来一片区域。但只有当环包围区域是空的时,才能称之为一个洞(hole),就像橡皮筋一样。画在纸上的圆形成一个环,但它不是一个洞,因为中心被填满了,这个圈是二维区域的边界。
 
因此,洞具有两个重要且严格的特征。首先,洞没有边界,因为它是封闭的。第二,洞不是其他东西的边界,因为洞本身必须是中空的。
 
这个定义可以扩展到更高的维度。二维实心三角形有三条边。如果将几个三角形连接在一起,一些边界边就会消失。当四个三角形排列成一个棱锥时,每一条边与另一条边相消。所以棱锥的面没有边界。如果棱锥是空心的,那么,它就不是一个三维实体块的边界,这时它就形成了一个二维洞。
 
为了在一个特定的拓扑图形中找到所有类型的洞,数学家们建立了一个叫做链复形的东西,它为同调论搭起了框架。
链复形
 
许多拓扑形状可以通过把不同尺寸的部分粘在一起形成。链复形是一个图表,它给出了一个几何图形的装配说明。图形的各个部分按维度分组,然后按层级排列:第一层包含所有点,下一层包含所有线,依此类推。(还有一个空的第零级,它只是作为基础。)每一层都通过箭头连接到下面的一层,这表明它们是如何粘合在一起的。例如,实心三角形连接到构成其边界的三条边。
 
数学家从链复形中提取图形的同调,链复形提供了有关形状组成部分及其边界的结构化数据,这正是描述每个维度上的洞所需要的。使用链复形时,查找10维洞和一维洞的过程几乎相同(只是其中一个比另一个更难可视化)。
 
同调的定义足够严格,计算机可以用它来寻找和计算洞的数量,这有助于建立数学中通常需要的严格性。它还允许研究人员将同调用于越来越流行的用途:分析数据。
 
这是因为数据能够可视化为浮在空间中的点。这些数据点可以表示物理对象(如传感器)的位置,也可以表示抽象空间中的位置(如食物偏好的描述),附近的点表示具有相似味觉的人。
 
为了从数据中产生图形,数学家在相邻的点之间画线。当三个点靠得很近时,它们被填充成一个实心三角形。当大量的点聚集在一起时,它们会形成更复杂、更高维的形状。填充数据点会给它们带来纹理和体积——从这些点创造出一个图像。
 
同调将这个模糊形状的世界转化为严格的代数世界,代数是研究特殊数值结构和对称性的数学分支。数学家在同调代数领域研究这些代数结构的性质。从代数中,他们间接地了解到有关数据的原始拓扑形状的信息。同调有很多种,它们都与代数有关。
 
“同调是一种常见的结构。麻省理工学院的玛吉·米勒说:“关于它,我们知道很多代数知识。”
 
同调提供的信息甚至可以解释数据的不精确性:如果数据只是稍微移动,洞的数量应该保持不变。当处理大量的数据时,这些洞可以显示出重要的特征。例如,时变数据中的循环可以表示周期性。其他维度中的洞可以显示数据中的簇(cluster)和空缺(void)。
 
宾夕法尼亚大学的罗伯特·格里斯特说:“真正的推动力是要有一种鲁棒性的方法,能够从数据中提取出定性特征。这就是同调带给我们的。”
 
本文经授权转载自微信公众号“中科院物理所”,原题目为《孩子分不清咖啡杯和甜甜圈,竟是因为......》。
 
原文链接:https://www.quantamagazine.org/how-mathematicians-use-homology-to-make-sense-of-topology-20210511/



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