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地铁站里的时空旅行:从柏拉图立体到引力波涟漪

在斯德哥尔摩的皇家理工学院地铁站里,流转着人类千年智识的熠熠光辉。
 
撰文 | 范明
 
建于1950-1980年代的斯德哥尔摩地铁线路全长108公里,被称为世界上最长的艺术长廊,由150位艺术家打造而成。很多地铁站都与地面景物呼应,设计了不同的艺术主题。铁轨上奔驰而过的列车,好似带领人们从古希腊的柏拉图到近代的爱因斯坦,进行一场穿越2000多年物理时空的旅行。
 
其中的KTH皇家理工学院站于1973年9月30日落成剪彩,由瑞典著名设计师和艺术家Lennart Mörk主持设计。地铁站以“元素与自然法则”为主题,是一个数学物理发展历史的迷你博物馆。这个地铁站与邻近的Stadion斯德哥尔摩体育场站分享了1973年瑞典建筑协会的Salin年度大奖,该奖由瑞典建筑师Kasper Salin捐赠,从1962年起颁发,1973年是迄今唯一一次奖励给地铁站台设计。
图1. 自左至右,自上至下分别为:1.1柏拉图,1.2达芬奇,1.3哥白尼,1.4开普勒,1.5笛卡尔,1.6牛顿,1.7普尔海姆,1.8麦克斯韦,1.9爱因斯坦
 
古希腊人最先把对宇宙的认识与宗教观念分割开来,并力图建立一个统一的宇宙模型去解释天体的复杂运动,“希腊三贤”之一柏拉图 (Plato,前429-前347年,图1.1) 的正多面体宇宙结构模型就是其中的一种。正多面体是由正多边形构成、各顶角相等、各棱边相等的凸多面体,具有高度对称性和秩序感。因柏拉图及其追随者的研究,正多面体得到了“柏拉图立体”的别称。
 
在晚期著作《蒂迈欧篇》中,柏拉图描写了通过这些正多面体的几何和谐组成的宇宙图景。他将公元前七世纪爱奥尼亚学派的原子论与公元前六世纪毕达哥拉斯学派“万物皆数”的数学自然观相结合,将四个正多面体对应于古典四元素:正四面体代表穿透力最强的火元素;正六面体代表最稳固的土元素;正八面体代表顺滑的气元素;正二十面体代表柔和的水元素。并将不同的物理属性赋予这些正多面体,以此解说火土气水诸元素乃至世间万物的生成与变化。
 
柏拉图在《蒂迈欧篇》中还提到神秘的第五个正立方体,作为他心目中的宇宙模型。柏拉图写道:“对于剩下的第五种复合图形,上帝用它来代表全部,并给它绣上精美的图案。”后来他的学生亚里士多德添加了神性元素“以太” (aether),这一概念在之后2000多年的物理观念演化过程中起到了至关重要的作用。
 
正多面体的作法收录在公元前300年左右欧几里得撰写的《几何原本》第13卷中,他在书中证明了一共只有五个正多面体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。虽然柏拉图和亚里士多德都没有明确提到正十二面体,但后人很自然地将其与宇宙模型和以太联系到一起。正十二面体的每个面均为正五边形,处处都有黄金分割率的影子。KTH地铁站台中心就悬挂着一个正十二面体,站台四角则是另外四个正多面体。
图2. KTH地铁站台的正多面体
 
在走过中世纪的千年黑暗之后,14-17世纪的欧洲发生了一场伟大的思想文化运动,即文艺复兴。科学与艺术融合在一起,形成了人文主义的世界观和思想体系,其完美代表是文艺复兴三杰之一、意大利百科全书式的人物列奥纳多·达·芬奇 (Leonardo da Vinci,1452-1519;图1.2,自画像)。达·芬奇最令人瞩目的是绘画上的成就,以《蒙娜丽莎》和《最后的晚餐》闻名于世,同时他在机械、军事、建筑、数学、物理、医学等诸多领域都取得了创造性成果。在其私人笔记和手绘稿中,达·芬奇提出了光的折射概念及重力学原理,预见了后来哥白尼创立的日心说,还从水流入碗的过程研究涡旋的形成。达·芬奇写道:太阳造成元素的运动、产生宇宙的热,太阳的隐没造成黑暗和寒冷;月亮受到太阳照亮,本身不发光,我们看到的只是月亮对着我们的被太阳照亮的一面;地球很像月亮,是一颗星。
 
达·芬奇十分痴迷于飞行现象,深信人类能够模仿鸟类在天空翱翔。他对鸟类飞行进行了详细研究,系统探索人类飞行的可能性,还设计了一些飞行器。KTH地铁站台上悬挂和绘制了巨大的鸟类翅膀模型以及他的设计草图。达·芬奇阐明空气动力学知识可以通过水动力学研究间接获得,比其他人探索类似问题领先几百年。他在手稿本中这样写道:“物体对空气的阻力与空气对物体的阻力一样大。你会看到一只巨鹰的翅膀置身于最高和最稀有的气体中,非常接近元素之火。你会看到空气在海面上移动,充满了风帆并推动着沉重的船。根据这些例子及有说服力的理由,如果一个人有足够大的机翼并学会克服空气阻力,他就可以征服阻力并升起。”
图3. KTH地铁站台展示的达芬奇设计的鸟类翅膀模型和设计草图
 
文艺复兴见证了“日心说”从开创走向兴盛的过程。波兰数学家和天文学家尼古拉·哥白尼 (Nicolaus Copernicus,1473-1543,图1.3) 深受古希腊先哲的影响,相信宇宙结构取决于单纯和谐的数学关系。他去世前在著作《天体运行论》中指出,地球是和五大行星一样围绕太阳这个不变的中心作匀速圆周运动的普通行星,其自身又绕地轴自转。
 
日心说引起了人类宇宙观的重大变革,将自然科学从神学中解放出来,标志着第一次科学革命的开始。德国天文学家约翰内斯·开普勒 (Johannes Kepler,1571-1630,图1.4) 是哥白尼学说的忠实信徒,在柏拉图宇宙模型启发下,他在1596年的著作《宇宙的奧秘》中,从最简单的正六面体开始,按照正四面体、正十二面体、正二十面体、正八面体的从内向外的顺序,利用每个正多面体的外接和内切球面,依次定义了土星、木星、火星、地球、金星的轨道球面。
 
在1609年的著作《新天文学》及1618年出版的《世界的和谐》中,开普勒整理分析了丹麦天文学家第谷长达20年的天文观测数据,发现了与哥白尼体系的偏差,从而提出了“开普勒三定律”,即,行星沿着以太阳为一个焦点的椭圆轨道运动,行星与太阳的连线在相同的时间内扫过同样的面积,行星公转周期的平方与其轨道半长轴的三次方成正比。
 
1632年,意大利物理学家、数学家、天文学家及哲学家伽利略·伽利莱的《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》一书问世,被认为是这次科学革命的转折点,由希腊与罗马时代旧有科学知识的复兴转为现代科学的兴起。图4上是站台西端的日心说模型,铭牌上是哥白尼在《天体运行论》中的七条假说及开普勒的行星运动三定律,右下图是开普勒的行星运动模型。
图4. (上)KTH地铁站台上的日心说模型;(右下)行星运动模型
 
站台主体建筑的背景是近代第一个物理天文学体系,即17世纪法国哲学家、数学家和物理学家勒内·笛卡尔 (René Descartes,1596-1650;图1.5,弗兰斯·哈尔斯作) 的涡旋宇宙论模型。笛卡尔是二元论唯心主义与欧陆理性主义的代表、西方现代哲学的奠基人,他认为人类应该可以使用理性的数学方法来进行哲学思考,其名言是:“我思,故我在。”笛卡尔曾将人类的全部知识比作一棵大树,树根是形而上学、树干是物理学、树枝是其他科学,他的主要哲学著作包括《方法论》、《几何学》、《形而上学的沉思》 和《哲学原理》等。笛卡尔对数学最重要的贡献是成功地将代数与几何学整合,创立了以自己名字命名的平面直角坐标系,因而被认为是解析几何之父,为牛顿和莱布尼兹在微积分学的工作提供了坚实的基础。
 
笛卡尔根据亚里士多德的以太学说在《哲学原理》中提出了涡旋宇宙论,最早赋予以太一种力学性质。他认为宇宙是均质无中心无边界的,所有物体都由同等的微粒构成,原初物质在混沌状态下由匀速直线运动过渡为涡旋运动,在这种旋风式的运动中分化结合而生产万事万物,笛卡尔把行星的圆周运动、重物的下落都归之于旋涡吸引的结果。站台的一个铭牌上借用了英国大文豪威廉·莎士比亚在1602年创作的悲喜剧《特洛勒斯与克瑞西达》中的一段台词,用来形容笛卡尔的涡旋理论,其大意是:当行星开始在船队周围徘徊时,看看会发生什么吧!瘟疫爆发,飓风咆哮,一切统统粉粹,海水将地球一口吞噬。图5中的左上图是1973年Salin年度大奖的标牌,右上图和下图是涡旋宇宙论模型。
图5. (左上)KTH地铁站台上Salin1973年度大奖标牌;(右上、下)涡旋宇宙论模型
 
笛卡尔与斯德哥尔摩有着不解之缘,1649年秋天,他接受瑞典克里斯蒂娜女王之邀,前来担任女王的私人教师。克里斯蒂娜 (Kristina Alexandra,1626-1689) 是1632-1654年间的瑞典女王,她的曾祖父Gustav Vasa是16世纪瑞典王国瓦萨王朝的开国君主,并确立基督教新教路德宗为国教;她的父亲Gustav II Adolf是瑞典史上唯一被国会尊为“大帝”的君主,于欧洲三十年战争的吕岑会战中阵亡。克里斯蒂娜女王被认为是17世纪最博学多闻的女性,有“北方智慧女神”之誉。她对宗教、哲学、数学与炼金术均十分感兴趣,吸引了许多想使斯德哥尔摩成为“北方雅典”的科学家,其中包括笛卡尔。克里斯蒂娜年轻时秘密改信罗马天主教,是反对宗教改革的重要人物,她于1654年6月5日退位,后来正式皈依天主教并移居罗马。
 
多年来,坊间盛传笛卡尔与女王之间的一段"浪漫"故事,并称笛大叔在给女王的一封“情书”中,写下了表示心形曲线的极坐标方程式 r=a(1-sinθ)。其实这是和“诺贝尔绯闻情敌”一样的大乌龙,女王对异性并不感兴趣,她在自传中写道自己“对婚姻感到无比厌恶”。更重要的是,虽然笛卡尔创立了直角坐标系,但瑞士数学家雅各布·贝努利于1691年发表了一篇基本上是关于极坐标的文章,因此通常被认为是极坐标系的发现者。史上最先使用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿,而三角函数的符号则是1707年出生的瑞士数学家欧拉引入的。图6为法国画家杜梅尼尔于1710年创作的《笛卡尔与瑞典克里斯蒂娜女王对话》 ,现藏巴黎凡尔赛宫。这是画家为凡尔赛宫竣工创作的致贺油画,堪称世间最“凡尔赛”的一张画。画面以王宫客厅为背景,右下方站立的笛卡尔手指桌面,为坐在桌旁的女王讲解直角坐标系,廷臣们或站或坐,悉心聆听。
图6. 凡尔赛宫的油画《笛卡尔与瑞典克里斯蒂娜女王对话》(来源:网络)
 
笛卡尔在斯德哥尔摩这片“熊、冰雪与岩石的土地”上住了不久,即于1650年2月去世,终年不满54岁。他的死因至今扑朔迷离,比较公认的说法是他不适应北欧的寒冷气候和女王的作息时间,因此得了肺炎。笛卡尔的宗教信仰在学术界一直存在争议,他声称自己是虔诚的罗马天主教徒,“沉思”的目的是为了维护基督教信仰。他一直试图在宗教与科学、理性和信仰的问题上寻找一种妥协方法,但是在那个时代,他被指控为宣扬秘密的自然神论和无神论信仰。笛卡尔是与女王保持联系的唯一的天主教徒,因此另一种说法是,一位瑞典当地的天主教神父生怕他的激进宗教观点对女王产生影响,所以将其毒死。理论上三维空间中的任意一点都可作为直角坐标系的原点,而笛卡尔生命的终点却是固定的,即图7(左)中位于斯德哥尔摩老城的这座房子。
图7. (左)斯德哥尔摩老城,笛卡尔病故之所;(右)笛卡尔纪念碑及雕塑
 
作为一名逝于新教国家的天主教徒,笛卡尔被临时安葬在一个主要用于埋葬受洗前夭折的婴儿墓地里,17年后他的遗体移葬巴黎。100多年之后,在笛卡尔最初的埋骨之地上建起了以时任瑞典国王Adolf Fredrik名字命名的教堂,教堂内悬挂着当时的瑞典王太子、后来的国王古斯塔夫三世(Gustav III)于1770年设立、由雕塑家Johan Tobias Sergel创作的笛卡尔纪念碑。纪念碑的下方雕塑是一位有翅膀的天才,左手持火炬,右手揭开地球上的覆盖物,表示将真理从谎言中解放出来 (图7右)。故事到这里还没有结束,1667年,笛卡尔的遗体运回巴黎时,由于灵柩狭小,头骨被留了下来,最后不知所终。直到19世纪初,瑞典著名化学家Jöns Jacob Berzelius在斯德哥尔摩的一家拍卖行将笛卡尔的头骨购回,现存巴黎夏乐宫人类学博物馆。
 
南站台顶部悬挂着一个巨大的苹果 (图8左),源自牛顿被自家庄园的苹果激发灵感,从而发现重力学说的故事。无论其真实性如何,英国物理学家、数学家、天文学家和自然哲学家艾萨克·牛顿 (Isaac Newton,1643-1727;图1.6,戈弗雷·内勒作) 在他最重要的著作《自然哲学之数学原理》 (简称《原理》) 中阐述并证明了三大运动定律及万有引力定律,展示了地面物体与天体运动都遵循的相同自然规律,消除了世间对“日心说”的最后一丝疑虑,点燃了人类认识宇宙科学的曙光。18世纪英国的伟大诗人亚历山大·蒲柏为牛顿撰写了墓志铭:“Nature and Nature's law lay hid in night; God said, 'Let Newton be', and all was light。”北京大学朱照宣先生在《牛顿原理三百年祭》一文中将这段话译为:“道法自然,久藏玄冥;天生牛顿,万物生明。”
图8. (左)KTH地铁站台上悬挂的巨大苹果;(右)《自然哲学之数学原理》拉丁文首版扉页
 
在近代科学诞生的过程中,笛卡尔和牛顿各自发展出了不同的宇宙图景。笛卡尔的涡旋宇宙理论是牛顿力学体系形成之前欧洲天文学的重要思想成果;牛顿在《原理》中证明了在均匀介质的涡旋中,物体的运动不可能遵守开普勒三定律,进而得出结论:行星不是由物质涡旋带动的。直到18世纪中叶,牛顿体系才在这场论战中获得完全优势,以至于今日已经很少有人知晓笛卡尔的涡旋宇宙理论了。
 
图8(右)是乌普萨拉大学(Uppsala University)Carolina Rediviva图书馆的镇馆之宝——1687年拉丁文首版《原理》,该书最早的主人是牛顿的同时代科学家、该校数学和天文学教授Petrus Elvius,扉页右下角是他的签名及年份,后由Carolina Rediviva图书馆收藏,直到1960年代失窃。这本书在欧美被多次转卖,2004年在纽约克里斯蒂拍卖行最后一次露面。2008年底,买主决定将原书捐赠给Carolina Rediviva图书馆,这本书终于在流浪了40多之年后完璧归赵。
 
瑞典科学家、发明家和实业家克里斯托弗·普尔海姆 (Christopher Polhem,1661-1751,图1.7) 被誉为“瑞典力学之父”,一生中有很多力学和机械发明。普尔海姆年轻时曾在乌普萨拉大学学习物理学、数学和力学,并于1697年创办了瑞典第一所工程师学校——力学实验室。他发明了一套机械字母表,最初由79个木制模型组成,展示了不同运动之间的转换规则,其中包括普尔海姆结 (即万向接头)、各种轴承、凸轮机构、货架的锁定机构等。站台东端展示着普尔海姆机械字母表以及麦克斯韦电磁场力线图 (图9上)。机械字母表自创建以来就是力学实验室基础机械教学使用的教具,直到后来皇家理工学院还在沿用。普尔海姆还撰写了第一本瑞典文的代数学著作,他的半身像被印在1989-2017年间使用的瑞典500克朗面值纸币上。
图9. (上)普尔海姆机械字母表以及麦克斯韦电磁场力线图 ;(右下)麦克斯韦方程组
 
牛顿理论虽然正确地给出了万有引力的定量表达式,却没有解释引力传递过程,而且这条定律与时间无关。19世纪上半叶,迈克尔·法拉第发现了电磁感应现象,进而推导出场的观念。苏格兰数学物理学家詹姆斯·麦克斯韦 (James Clerk Maxwell,1831-1879,图1.8) 用八个数学方程式归纳了电磁场的概念,建立了完整的电磁场理论体系,科学地预言了电磁波的存在,1887年赫兹用实验证实了这一预言。电磁场理论揭示了光、电、磁现象的内在联系及统一性,完成了物理学的又一次大综合,并为20世纪狭义相对论和量子力学的发展奠定了理论基础。1884年奧利弗·黑维塞将麦克斯韦方程组的原始形式修改成现在通用的四个对称方程的形式,在站台北侧可以发现这组优美的方程式 (图9右下)。
 
17世纪以来,牛顿力学推动的一系列技术革命引起了从手工劳动向动力机器生产转变的重大飞跃。1794年,欧洲第一所工科大学——巴黎高等理工学院成立,19世纪初各国纷纷效仿巴黎高工的模式办学。同时期瑞典进入工业化时代,普尔海姆创办的力学实验室经过逐年发展、几次易名,于1827年在其基础上成立了瑞典最早也是至今规模最大的工科大学——皇家理工学院KTH(Kungliga Tekniska högskolan),最早的两个专业是机械和化学。瑞典全国约三分之一的工程师都出自这所学府,故KTH可算是瑞典工程师的摇篮。KTH现在的主校园建于1917年,是一片民族浪漫主义的红砖建筑,在图10(下)的高塔上可以俯瞰斯德哥尔摩全城。
图10. KTH校园
 
图10中左上图的半圆形拱门通往大学主建筑,门楣浮雕是瑞典著名雕塑家卡尔·米勒斯的作品,表现人类与火、土、气、水四种元素的抗争,这一浮雕与地铁站台的正多面体(图2下)上下呼应。右上图是校园里米勒斯的另一作品——青铜喷泉雕塑"工业纪念碑", 表达了对瑞典工业化的礼赞。其设计灵感源自古希腊的饮用器皿,这个大碗碗壁上的浮雕是古希腊神化故事中的阿玛宗女杰及逐猎半人马的野狗,基座上是木匠、铁匠、裁缝、鞋匠众雕像,凸显工匠精神。根据米勒斯的说法,大碗象征水利发电,有水从下方三个孔流出。而这一创意似乎不为众人理解,百余年来瓜众们给它起了不少外号,如"汤盆" "蘑菇碗" "米勒斯的痰盂"等,其实在汉语语境里,就是一个青铜大鼎。
 
20世纪初,阿尔伯特·爱因斯坦 (Albert Einstein,1879-1955,图1.9) 创立了相对论,他将引力场诠释成“时空弯曲”效应,推广了经典的牛顿万有引力定律,统一了时空和引力。他在《广义相对论》一书中预言了三个物理现象:星光弯曲、引力波、黑洞天体,后来都逐一得到验证。引力波是一种以光速传播的时空涟漪,存在于整个宇宙,爱因斯坦认为引力波可能难以被探测到。直到2015年9月14日,13亿光年之遥的双中子星合并产生的引力波跨越漫长时空到达地球,被位于美国的“激光干涉引力波天文台”LIGO探测器捕获。这是人类首次观测到宇宙中的引力波现象,获得了时空干扰的直接证据,填补了广义相对论实验验证中最后一块“拼图”,三名美国科学家——Rainer Weiss、Barry C. Barish和Kip S. Thorne因此分享了2017年诺贝尔物理学奖。
 
黑洞是宇宙中时空曲率强大到连光线都无法逃逸的物体,或者说是一个无底的重力坟墓。2019年4月10日,人类历史上首张黑洞照片公布。英国数学家Roger Penrose因证明黑洞是广义相对论的直接结果,德国物理学家Reinhard Genzel和美国物理学家Andrea Mia Ghez因在银河系中央发现超大质量天体,三人共享2020年诺贝尔物理学奖。1963年Penrose的原创论文只有三页,数学的存在性定理对于物理学的重要性因他获奖而首次得到承认。KTH地铁站台中心悬挂的正十二面体(图11左)表示17世纪的宇宙模型,图11(右)是这个十二面体的投影,其中的圆圈和线条表现了行星围绕黑洞的运动规律,中间不同直径的同心圆描绘了引力场的平方反比定律;平行直线及其颜色表示在距离黑洞很远处粒子发出的光及其在引力场的位置;螺旋线则表示时间的进程如何受到空间位置的影响。
图11. (左)KTH站台悬挂的正十二面体;(右)十二面体的投影
 
贯穿本文的五个正多面体是“简单多面体”的特例,即与球面同胚的多面体。关于简单多面体最有趣的定理之一是欧拉公式“ V-E+F=2”,这里V、E、F分别表示多面体的顶点、棱边、面的数目。此公式最早是由笛卡尔在1635年左右发现的,并写下了一篇关于多面体理论的文章。1675年莱布尼茨在巴黎看到这份手稿,用拉丁文抄录了其中的重要部分,此后笛卡尔的手稿遗失。莱昂哈德·欧拉在1750年独立发现、并于1752年宣布了这个公式,1809年奧古斯丁·柯西给出了第一个严格证明。而笛卡尔的研究直到1860年才被发现,此后这个方程也称为笛卡尔-欧拉公式,被后人誉为拓扑学中最美公式。根据这一公式,可以推出只存在五个正多面体的结论。笛卡尔-欧拉公式定义了现代数学的一个重要分支拓扑学中的一个基本概念——欧拉示性数,它是许多几何课题中整体不变量的源泉。
 
受爱因斯坦关于引力波的猜想以及LIGO观测结果的启发,2017年丹麦80后女性艺术家Lea Porsager创作了大型地球艺术作品“引力涟漪”(图12),以纪念2004年底在东南亚印度洋海啸中的遇难者,其中有543位瑞典游客。这件作品由斯德哥尔摩狩猎南岛上许多覆盖着花朵和草皮的长短不一的弧形堤坝组成,形状来自Fibonacci黄金双螺旋,截面是波动函数。作品中心的两个青铜雕塑表示量子缠绕,大的一个雕塑上面镌刻着遇难者的名字。其整体像一个迷宫,将引发海啸的地震波与宇宙中的引力波结合在一起,体现了人类的脆弱以及对于我们生存的宇宙的好奇心。
图12. 地球艺术作品“引力涟漪”
 
1921年,爱因斯坦获诺贝尔物理学奖,迄今整整100年。谨以他在诺贝尔奖演说《我的信仰》中的一段话结束本文:
 
“我们认识到某种为我们所不能洞察的东西存在,感觉到那种只能以其最原始的形式为我们所感受到的最深奥的理性和最灿烂的美 —— 正是这种认识和这种情感构成了真正的宗教感情;在这个意义上,而且也只是在这个意义上,我才是一个具有深挚宗教感情的人。…… 我自己只求满足于生命永恒的奥秘,满足于觉察现存世界的神奇结构,窥见它的一鳞半爪,并且以诚挚的努力去领悟在自然界中显示出来的那个理性的一部分,即使只是其极小的一部分,我也就心满意足了。”
 
注:除图1及特别指明外,文中图片均为笔者所摄。



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