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对数:所有天文学家都应该感谢的数学发现

数世纪以来,不管对科学家还是对工程师,对数表都是非常实用的工具。现在,因与指数函数的密切联系,对数仍充满了极强的数学吸引力。

 

撰文 | 理查德·埃尔威斯(Richard Elwes)

翻译 | 齐瑞红、房超、于幻

 

在过去的很多年中,很多人习惯地把对数表放在手边用来帮助自己进行乘法和除法运算。在20世纪后半叶,便携计算器最终将对数表推入历史。但是,在级数和微积分的深层数学领域中,那引人入胜的发现确保了对数本身永不过时。

 

在16世纪后期,约翰·纳皮尔(John Napier)开始研究他最初称为“人造数”的数。他发现了一种方法,可以将复杂的乘法运算转化为相当简单的加法运算。为了求两个数的乘积,如4587和1962,他首先计算这两个数的人造数并求它们的和。然后将这两个人造数的和进行反人造数运算,即计算原数使得它的人造数就是这个和。虽然这个过程没有涉及乘法运算,但所得的结果确实是原来那两个数的乘积——8 999 694。

地震仪用来测量地震的强度。衡量地震强度的、国际上通用的里氏震级表正是对数运算:测定为3 级的地震强度是测定为2级的地震强度的10倍。

 

纳皮尔的对数

 

不久后,纳皮尔给他的人造数起了一个新的、更好的名字——对数。今天,我们明白对数只是幂运算的逆运算。幂运算指某数与它本身重复相乘,所以,“2的3次方”指3个2相乘,即2×2×2=8,也可写作23=8。相应地,我们说“以2为底,8的对数是3”,记作log28=3 。可以以任何数为底数来取对数,例如:以10为底,1000的对数是3(因为10×10×10=103)。对于纳皮尔的乘法,整个计算过程需要确定一个底数。所以,计算8乘以64的积,先以2为底取对数,分别得到3和6,对这两个对数求和:3+6=9。最后一步是对数的计算过程的逆运算,即计算29=512(可以核查8×64=512)。

 

布里格斯的对数表

 

在约翰·纳皮尔发明对数后不久,亨利·布里格斯(Henry Briggs)开始把它转变成一个有用的工具。因为我们应用十进制数制来表示数,布里格斯选择以10为底计算对数是比较方便的,并开始着手制作一个“对数表” ——从1到1000 的所有整数的对数。在几年时间里,布里格斯和其他数学家将这个表推广到一个更大的数集上。
 

当然,对于大部分整数来说,它们的对数都不是整数,所以研究者不得不给出他们求得的对数的精确程度。在18世纪后期,加斯帕德·德普罗尼(Gaspard de Prony)监督制作了一个特殊的数学用表,这个数学用表多达17大本双开卷,包括最大到200 000的正整数的对数,精确到小数点后第19位(对于较大的数,精确到第24位)。

取自约翰·纳皮尔 1614 年的专著《奇妙的对数表的描述》里用的一张最早的对数表。约翰·纳皮尔研究的是后来被称为“自然对数”的对数,而亨利·布里格斯研究的是以10为底的对数——后来被称为“常用对数” 。

 

自然对数

 

自从纳皮尔发现对数以来,对数学家来说对数非常有用。就像杰出的科学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)所说的:“对数的发现通过节省劳动使天文学家的寿命翻倍。”但是,对数的数学意义比它作为计算工具的意义更为重要和深远。在1650年,皮耶特罗·曼戈里(Pietro Mengoli)首次意识到这一点。他的有关级数的研究与他在对数方面的兴趣出乎意料地结合在一起。
 

调和级数的表达式是。曼戈里有些吃惊地注意到这个表达式不趋近任何一个有限数,而是没有上限地不断增大。可是,若对它稍做修改,得到的另一个表达式1-收敛于一个固定的有限数。

 

这个交错级数有一个确定的极限,约等于0.693147。曼戈里证明了这个极限数就是 2 的自然对数(通常记作In2,虽然读成log2)。自然对数像其他的任何对数一样,只是对底数有一个特殊选择,以e为底数,e约等于 2.71828。确实,正是通过自然对数和曼戈里的结论,数学中最重要的函数之一——指数函数,开始崭露头角。

 

的确,对更准确的对数表的寻找有力地推动了抽象级数理论的发展。在1668年,尼古拉斯·墨卡托(Nikolaus Mercator)出版了名为《对数技术》的著作, 在此著作中,他发现了自然对数的级数公式:

这个美丽的定理正是曼戈里结果的推广,曼戈里的结果对应于x=1的特殊情形。

 

微积分和对数

 

墨卡托的定理暗示了自然对数的“自然”,但是一个更完整的故事需要用牛顿和莱布尼茨的微积分理论来诉说。

方程描述了一个被称为“倒数”的重要概念。正是这个方程把2和½、4和¼ 、一百万和一百万分之一等联系起来。从几何图形上看,它是一条被称为“双曲线”的曲线。出乎意料的是,“自然对数作为这条曲线下方的面积”的说法出现了。这也是对数函数是指数函数的逆函数的这一事实的一个结论。由此可得自然对数y=Inx的导数只能是函数。虽然现在对数表已被计算机所取代,但是这一深刻的事实确保了对数仍在数学中扮演着一个重要角色。

 

本文经授权摘自《图解数学简史:数学世界中不可不知的100个重大突破》第26篇《对数》。

 



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