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在凝聚态物理中，绝大多数金属/绝缘体等凝聚态材料可以忽略电子之间的相互作用，在朗道-费米液体理论框架下得到很好的解释[1]。而相互作用的电子会形成十分丰富的对称破缺序，比如超导序、各种密度波序。在引入描写各种序的序参量之后，我们又可以忽略电子之间的相互作用，用朗道-费米液体理论来解释材料的各种性质。
数学上，假设系统的对称性有一个群G=U(1) 来描写，而系统状态是由一个复参量Φ来描写。系统的各个性质，比如能量V(Φ)，都是复参量Φ的函数。U(1)对称性意味着这个函数跟复参量的角度无关：
V(Φ)=V(eiθΦ )
如果有这种性质的能量函数，长得像一个墨西哥帽子（见下图），那么能量的最小的基态不得不选某一个不为0的复参量来描写。这个复参量在U(1)对称性变换下会变成另外一个复参量：Φ→ eiθ Φ， 无法保持不变。这样，虽然我们的系统有一个对称性，但是系统能量最低的基态并没有这个对称性。这一现象就是朗道自发性对称破缺现象。
如果系统不是完全均匀的，“序参量”Φ可以是在实空间中的局域连续函数 (从实空间到序参量空间的映射) 。对称破缺序的低能有效拉格朗日量可以根据对称性的要求表达成Φ的泛函，比如：L[Φ]=(∂Φ)2+Φ2+Φ4… 。通过对该量子场论做重整化、线性响应等标准微扰计算，我们可以系统地研究对称破缺相与相变。
由于在解释和预言实验方面的巨大成功，对称破缺机制几乎成了固态物理的“标准模型”。只要大家碰到一个新物态，就会问这个新物态是由哪种对称性来刻画的。只要碰到一个相变，就会问在这个相变中，哪些对称性发生了自发破缺。遇到什么现象，都用朗道自发对称性理论来套。
但是，上个世纪八十年代强关联凝聚态实验的重大发现——分数量子霍尔效应——让我们看到了超越此“标准模型”的可能性。如拓扑激发“任意子”的统计性质和基态简并度[2]，本质上与对称破缺毫无关联。我们甚至没法定义一个局域参数作为序参量来刻画与区分不同的分数量子霍尔态。同时，分数量子霍尔效应的低能有效理论是拓扑量子场论—Chern-Simons理论[3]。比如，对于Laughlin霍尔态，其低能有效理论是阿贝尔Chern-Simons理论。作用量可写为
，其中场量aµ是U(1)规范场。该规范理论在(2+1)维闭合流形上的大规范不变性要求系数 k 必须量子化为整数：k∈Z。S是一个拓扑量子规范理论，明显不同于L[Φ]。从传统的微扰重整化技术来看，我们很难想象一个只含有电子算符的量子多体系统会“流动到”一个含有演生规范场的拓扑量子场论。需要注意的是，这里的Chern-Simons理论是所谓的流体力学构造[3]，具有严格的系数 (即k) 量子化要求，不同于Zhang[4]的复合玻色子场论、Lopez和Fradkin[5]以及Jain[6-8]的复合费米子场论。
作为拓扑序理论的先驱，Wen[9, 10]指出分数量子霍尔效应不是简单的“填能级+微扰”能够解释的费米子系统[11]，而是一种完全超越传统固态物理框架的强关联物质形态。他把分数量子霍尔效应等一大类超越对称破缺机制的量子多体态所含有的“刚性”、“序”称为“拓扑序”[10] (注：为了与近年来出现的容易混淆的术语区分开，本文临时称之为“本征拓扑序” ，intrinsic topological order，iTO)。
iTO的提出使我们对超越对称破缺序的量子多体物理的理解有了飞跃式发展。同时，拓扑量子场论和共形场论的引进，极大地促进了凝聚态物理与数学物理等学科的交流。但是问题在于，iTO的确切的定义是什么?是不是有能隙的超越对称破缺机制的多体态都是iTO? 比如，郝尔丹 (Haldane) 相[12]是不是iTO呢?
当然现在我们已经知道，细究此类凝聚态物理问题需要借助量子信息科学中的一些非常深刻的概念和方法。Chen等[13]，Verstraete等[14]和Vidal[15]借助量子信息中的 “有限深度的量子电路”来重新认识有能隙的多体态。首先，自旋系统的每个格点上的自旋子空间提供了一个有限维度的“子空间”。比如，自旋-1/2的体系的每个格点上的子空间维度是2。我们从具有这种希尔伯特空间的局域可分解的性质的多体态出发，使用空间局域幺正算符(LU)将有能隙的多体态作绝热幺正变换。如果多体态可以通过有限次数的LU操作变换成平凡的直积态，那么该多体态就是短程纠缠态。否则，该多体态是长程纠缠态。在热力学极限下,我们需要非常小心定义“有限次数”：先取热力学极限，再取次数的极限。然后，如果任意次数LU都无法连接到直积态，那么该多体态是长程纠缠态。SPT和iTO分别是短程纠缠态和长程纠缠态。
在有限多次的LU操作下，郝尔丹相的基态波函数 (比如AKLT严格可解模型的基态波函数[16]) 可以变换成平凡的直积态，因而郝尔丹相是短程纠缠态。但是从对称保护的意义上来看，奇整数自旋的郝尔丹相仍然是“非平凡”的，而偶整数自旋的郝尔丹相是完全平凡的。这是因为连接奇整数自旋的郝尔丹相与平凡的直积态之间的所有绝热路径 (注：路径就是一连串LU操作) 都破坏特定的对称性，比如自旋旋转对称性或者时间反演对称性。像奇整数自旋郝尔丹相这种非平凡的短程纠缠态被称为“对称保护拓扑态” (SPT) [17-19]。(郝尔丹指出整数自旋链都是有能隙的。为了记念这一结果发现，大家把这些有能隙的相叫做郝尔丹相。而这里提到的关于奇整数自旋和偶整数自旋郝尔丹相的本质区别，则是后人的结果。)
“对称保护拓扑态” (SPT) 的边界有很多奇妙的性质，如边缘上会出现的半整数自旋。因为体内每个格点上的自旋都是整数，所以边缘上出现的半整数自旋是一个几乎不可思议的事情，其表明一维体内有非平凡的SPT序。但如果自旋对称性被破坏，分数化的边界自旋就不再存在。SPT的体态有能隙,体内的激发都是系统本身的玻色子 (及其组合) 激发或者自旋翻转等。这些激发被称为平凡激发。但是SPT边界上会有非平凡的量子态出现 (以量子反常体现) 。在不破坏对称性的条件下，SPT的边界态无法单独成为一个可以被格点正规化的量子理论。除奇整数郝尔丹自旋链[12]之外，与SPT序有关的具体模型已经有很多研究，比如掺杂的奇整数郝尔丹链[20]、二维CZX自旋模型[21]、二维玻色整数量子霍尔态[22-24]、二维Levin-Gu自旋模型[25]、二维自旋量子霍尔效应[26]、三维拓扑顺磁体[27]、三维玻色拓扑绝缘体(BTI)[28]等。
SPT研究领域的最重要的进展之一是文献[29,30]提出的统一的分类与表征方法。具体来讲，奇整数郝尔丹相只是SPT大家族的冰山一角。正如抽象数学“群论”被用于分析对称破缺序，代数拓扑里面的“ 群的上同调论” [29, 30]被发现可以用来构造SPT的严格可解模型的配分函数，并在给定空间维度D和对称群G的条件下给出SPT的不等价类 (亦即SPT的分类)。具体来讲，给定G之后，我们可以用G 的上同调群的群元来标记SPT的不等价类。在群上同调的框架下，我们可以用定义在离散时空格点上的非线性西格玛模型来研究SPT的体内的基态和边界的低能激发态。正如物理其他领域一样，用不同的角度不同的方法去理解SPT物理是非常有价值的。群上同调的构造办法非常系统化。另一方面，由于群上同调的格点模型代表SPT不动点的物理，不动点模型的自旋之间的相互作用十分复杂 (比如：可能是六个相邻自旋或者更多的相互作用)。群上同调理论关于连续自旋幺正对称群的计算非常复杂，对反幺正对称性的SPT的分类也不完全[28, 31]。然而这两种类型的对称性是实际量子自旋材料中常见的对称性。另外，给定一个“非不动点”的基态波函数,群上同调方法不方便直接用于判断出该基态是否是SPT、是哪一个SPT。
与SPT相反，iTO[10, 32-35]具有长程纠缠，不需要对称性的保护，支持非平凡的拓扑激发 (比如二维iTO中的任意子)。iTO的边界上会有“引力反常” (比如一维手征流)。iTO的典型例子是手征自旋液体[2]、toric code自旋模型[36]、Kitaev蜂窝格子自旋模型[36]、Levin-Wen弦网自旋模型[37, 38]、Dijkgraaf-Witten模型[39]等。iTO和SPT有重要的对偶关系[25, 40]；通过研究iTO序我们可以间接探索新的SPT序。当iTO具有某种对称性G，我们称这种iTO为SET (symmetry-enriched topological phases，对称富化拓扑态) [13]。从这个定义上来看，分数量子霍尔效应可以看成含有二维手征iTO和对称群的SET序。SET的研究也与寻找拓扑量子自旋液体[41, 42]紧密联系：通过研究任意子激发携带的分数化量子数，我们可以分类与刻画不同的自旋液体态。二维SET的张量范畴数学框架最近也有非常系统的研究[43-47]。三维iTO含有圈激发 (loop excitations)，因而有必要研究三维SET甚至无能隙的自旋液体态中对称性如何分数化[48-60]。
SPT，iTO和SET都是强关联拓扑物质态。我们不可能通过能带结构的分析来实现完整的分类和表征。寻找这些拓扑物质态的“拓扑不变量”需要新的思路。人们在研究铜氧高温超导的过程当中已经发展了许多非常有效的理论研究方法异[11, 61-63]。规范场论就是其中一种。作为粒子物理标准模型的理论基础，规范场论在高能物理中占据着至关重要的地位。在凝聚态物理特别是强关联物理中，规范结构通常以低能下的演生的动力学自由度出现。在长波低能下，我们可以构造出具有动力学的阿贝尔规范结构甚至非阿贝尔规范结构。
近年来凝聚态物理中的拓扑物质态为研究具有拓扑性质的规范场论提供了一个非常重要的平台。同时，数学物理、高能物理里有许多与实际(3 + 1)维时空的粒子物理并无直接关系、但仍具有十分重要的理论价值的研究成果。令人振奋的是，这些研究成果十分巧妙地应用到了凝聚态特别是强关联拓扑物质态中，比如在研究拓扑物质态的边界态的量子反常、体内的拓扑量子场论、编织统计、拓扑量子计算等方面的应用。文献[64]简要回顾了近年来SPT，iTO和SET这些拓扑物态的规范场论的研究进展，特别在“投影构造理论”、“低能有效理论”、“拓扑响应理论”这三大块。在“投影构造理论”中，将物理自由度分成多个“部分子”，这些部分子之间在紫外有强烈的规范涨落。在“低能有效理论”中，使用流体力学方式的办法来得到拓扑物质态的低能有效规范场论。在这些场论里的规范场是有动力学的。在“拓扑响应理论”中，通过施加外部规范场来探测拓扑物质态中的对称性的性质。这些拓扑响应理论里的规范场是静止的，没有动力学。
以上介绍的主要是玻色/自旋系统的拓扑物态；费米系统具有更加复杂的数学结构和丰富的物理现象，见最近的费米子SPT的分类进展[65]。另外，对于高对称性 (higher symmetry) /高形式对称性 (higher-form symmetry) 保护的SPT也是一个非常有趣的方向[66]。
参考文献
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