用香瓜的玩具拼出来的图

任意形状的三角形都可以铺满平面

任意形状的四边形都可以铺满平面

甚至这种奇形怪状的也能

 

有了三角形和四边形，下一个形状就是五边形。然而，同样形状和大小的五边形不能拿来铺满平面。无论怎么铺，总会有缝隙。

下一个是正六边形，可以铺满平面。勤劳的小蜜蜂搭建的蜂巢就是这种形状。

前面几种铺满平面的方式都是周期性的，意思就是可以把所有地板砖朝某个方向平行移动一段距离，得到的铺法跟原来的还是分毫不差。比如方形的铺法，可以沿水平方向平移一个方格边长的距离，也可以沿竖直方向平移同样的距离，得到的铺法跟原来的一样。这些铺法实际上都是双周期性的，也就是说沿着两个无关的方向平移后还不改变。在讨论平面镶嵌时，“周期性”通常指的就是双周期性。

 

可以证明，如果只用一种全等的多边形铺满平面，得到的镶嵌必然是周期性的。著名华裔逻辑学家王浩在六十年代提出如下问题：能否只用有限种全等的多边形得到非周期性的平面镶嵌？他的学生Robert Berger在1964年构造出第一个非周期性的例子，需要20426种多边形。Donald Knuth和Raphael Robinson等人先后给出需要多边形种类更少的例子，所需的多边形种类被降到6种。

王浩最初研究使用这种着色的正方形(被称为王浩骨牌)铺满平面，使得相邻正方形沿着同样颜色拼起来。王浩镶嵌可以修改为不着色的多边形镶嵌。

 

彭罗斯镶嵌是第一个只需要两种多边形的例子。这里的地板砖是两种不同形状但具有同样边长的菱形。一个菱形的四个角的角度分别是36°,144°,36°,144°，另外一个菱形的四个角度分别是72°,108°,72°,108°。[3]

彭罗斯使用的几何形状

 

用这两种菱形可以造出无数个非周期性的铺法，比如下图。

 

令人惊异的是，尽管上图里的彭罗斯镶嵌不具有周期性，它仍然有五重对称性。也就是说，把这个图形绕某个中心点旋转72°（360°的五分之一），还是得到原来的图形。前面讲到的用三角形、四边形和正六边形铺满平面的方式都不具有五重对称性。

 

彭罗斯镶嵌的另外一种形式是使用以下两种“风筝”和“飞镖”形状的地板砖。[4]

彭罗斯镶嵌的拼图积木

 

彭罗斯镶嵌还有许多奇妙的性质，跟一些深刻的数学理论有关。数学科普作家马丁·加德纳 (Martin Gardner) 曾写过多篇文章介绍彭罗斯镶嵌。

加德纳著作封面

彭罗斯镶嵌出现在很多设计中，像下面这张照片里彭罗斯爷爷脚下的地板。

这张照片拍摄于2010年德州农机大学Mitchell基础物理与天文研究所。

彭罗斯工作的牛津大学数学研究所

牛津大学数学研究所出品的杯子

 

旧金山跨湾换乘枢纽的外墙

 

真的有这种洗手间瓷砖

还有这种

 

彭罗斯镶嵌不仅仅是数学家的玩具，它还跟化学里的一个重大发现有着密切联系。我们知道，很多物质都是由原子组成。有一类叫作“晶体”的固体，其中的原子(确切地说，还包括分子和离子。下同。)排列非常有规律，具有类似前面所说的周期性。

 

在冰的晶体结构里，我们可以看到六边形铺满平面的方式。每个六边形的顶点处是一个氧原子。

H-O-H键角不确定度为±1.5°

 

在食盐的晶体结构里，我们可以看到正方形铺满平面的方式，每个正方形的顶点处是一个氯原子或钠原子。

彭罗斯意识到，彭罗斯镶嵌可能也对应于某种物质的原子排列。他在1976年的一封给加德纳的信中写道：

 

“这些事很有可能在生物学上具有某种重要性。你会记得某些病毒呈正十二面体和正二十面体，它们如何做到这一点的，似乎总是令人迷惑不解。不过假如以安曼的非周期性六面体为基本单位，那么我们就会得到一些准周期性‘晶体’，其中就包含此类看似不可能存在的、沿着十二面体或者二十面体各平面的 (晶体学上的) 解理方向。病毒是否有可能会以某种类似这样的包含非周期性基本单位的方式生长——还是说这种想法太异想天开了？”[5]

腺病毒的结构是正二十面体，每个顶点处有五个小三角形。

 

上世纪八十年代初，以色列化学家丹·谢赫特曼 (Dan Shechtman) 发现了一种新的固体材料，它的电子衍射图样呈现十重对称性，意味着原子排列不可能具有周期性。[6]这跟彭罗斯镶嵌非常相似，然而谢赫特曼当时并不知道彭罗斯镶嵌，在别人的帮助下才弄清了其中的数学。这种物质被命名为“准晶” (quasicrystal) 。后来人们又发现了具有其它种类对称性的准晶，包括八重、十重、十二重等在晶体里不可能出现的对称性。（相关内容见《数理史上的绝妙证明：准晶是高维晶体的投影》）

铝钯锰合金准晶的原子模型。[7]

中国科学院郭可信团队是准晶的早期研究者，独立发现跟谢赫特曼的材料有类似对称性的材料，并率先发现八重对称性准晶。[8]

 

准晶的存在严重违反了当时已知的晶体学常识，尽管它在数学上是可能的。包括双料诺贝尔奖得主鲍林在内的许多化学家都不相信准晶理论，斥之为“准科学”。

谢赫特曼解释准晶的原子模型

 

然而随着越来越多准晶的发现，主流化学界逐渐接受了准晶。2011年，谢赫特曼一人独享当年的诺贝尔化学奖。

谢赫特曼终获认可

 

所以彭罗斯镶嵌是这样的数学：它由诺贝尔物理学奖得主发现，又跟诺贝尔化学奖工作密切相关。前述彭罗斯信件里提到了病毒结构，或许哪天我们还会在诺贝尔生理学或医学奖的颁奖词里看到彭罗斯镶嵌？

 

注释

 

[0] 一开始大家就知道黑洞的数学解中存在点状奇点， 但黑洞的奇点是包裹在事件视界之内的。很多物理学家认为这个奇点是无法被观测到的。换句话说，这个奇点可能并不存在于真实的黑洞中。这还是一个有争议的问题。——文小刚

 

[1] 见链接 https://en.m.wikipedia.org/wiki/Oscar_Reutersv%C3%A4rd ，http://www.anopticalillusion.com/2012/04/impossible-figures-oscar-reutersvard/

 

[2]路透斯沃德首先发现了不可能阶梯，彭罗斯父子和艺术家埃舍尔分别在1959年和1960年独立发现了这一阶梯。但彭罗斯直到1984年才注意到路透斯沃德的工作。

 

[3] 彭罗斯本人受到了开普勒工作的启发。业余数学家Robert Ammann在1976年独立于彭罗斯发现了彭罗斯镶嵌，John H. Conway和N. G. De Bruijn等人对彭罗斯镶嵌亦有很多贡献。中世纪伊斯兰建筑艺术里也有类似于彭罗斯镶嵌的图案，见文献Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture, Peter J. Lu, Paul J. Steinhardt, Science 23 Feb 2007: Vol. 315, Issue 5815, pp. 1106-1110.

 

严格意义下的彭罗斯镶嵌不光是使用这两种菱形，对于如何沿着边拼接也有要求。所以更确切的说法是使用如下两种图形：

 

[4] 类似上一条注释，严格意义下这种形式的彭罗斯镶嵌在沿着边拼接时要求同样颜色的弧对在一起。

 

[5] 译文节选自《分形、取子游戏及彭罗斯铺陈》，上海科技教育出版社，作者马丁·加德纳，译者涂泓。

 

[6] Shechtman, D.; Blech, I.; Gratias, D.; Cahn, J. (1984). "Metallic Phase with Long-Range Orientational Order and No Translational Symmetry". Physical Review Letters. 53 (20): 1951–1953.

 

[7] Ünal, B; V. Fournée; K.J. Schnitzenbaumer; C. Ghosh; C.J. Jenks; A.R. Ross; T.A. Lograsso; J.W. Evans; P.A. Thiel (2007). "Nucleation and growth of Ag islands on fivefold Al-Pd-Mn quasicrystal surfaces: Dependence of island density on temperature and flux". Physical Review B. 75 (6): 064205.

 

[8] Z. Zhang, H.Q. Ye and K.H. Kuo, A new icosahedral phase with the m35 symmetry, Philos. Mag. A, 52 (1985) L49-L52.

 

Wang, N.; Chen, H.; Kuo, K. (1987). "Two-dimensional quasicrystal with eightfold rotational symmetry". Physical Review Letters. 59 (9): 1010–1013.

 

作者简介

 

倪忆，又名香瓜爸，加州理工学院数学系教授。平时除了研究数学和教书带学生，喜欢追踪科研热点新闻，喜欢带娃锻炼身体，是加州理工学院少儿科普组织Caltech CPA STEM的一员。欢迎关注作者公众号“普林小虎队”。

图：香瓜和爸爸正在放生捕捉到的松鼠

 

本文经授权转载自微信公众号“普林小虎队”，文章经过作者重新修订。