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用概率战胜你的亲朋好友吧。

撰文 比邻星

春节要玩好,独乐乐不如众乐乐。

如果要选择一种声音代表新春佳节的团聚,除了噼里啪啦的鞭炮、杯盏相碰的清脆,一句“三缺一”和麻将桌上哗啦啦的搓麻声必定占有一席之地。

 

麻将在不同段位的玩家眼中代表着不同维度的世界。入门级小白只专注于面前的牌,久经沙场的老手更有大局观,心中装着整个牌桌的乾坤。而在一名理科生眼中,麻将是一场概率游戏和策略博弈

19世纪的麻将牌长这样丨图源:Wiki

 

还真有数学家发表了关于“麻将数学”的研究论文,不仅编写程序计算胡牌的概率,更是致力于开发AI打麻将的技能。当然,机器人怎么打麻将倒是后话了,对于各位玩家而言,这些研究最大的价值在于能给麻将桌上的牌局以“专业”的理论指导。

 

故事还要从清一色讲起。

 

先补充点背景知识。标准麻将牌包含“筒”、“条”、“万”、“风”和“箭”五套花色,每种牌有4张是相同的。4名玩家初始摸得13张牌,之后按照逆时针摸一张牌再打出一张牌,直到他摸到最后一张牌,14张牌可以凑成23333的排列组合,即为胡牌。

从上到下分别为“筒”、“条”、“万”丨图源:Wiki

 

用公式表示就是

m*AAA+n*ABC+DD    m,n可以为0

 

如果最终胡牌的牌面为同一花色,就叫清一色。

 

一个叫李志光的数学家发现了一种有趣的牌形。

好牌丨图源:Mathematical aspects of the combinatorial game “Mahjong”

 

仔细看,你会发现下一张只要摸到的也是筒,不管是一筒到九筒中的哪一张,都可以胡牌。这牌,只要一推倒,众人定有不明觉厉之感。

 

这样的牌形叫“九门”(Nine Gate),李志光随后联想到,类似的“八门”、“七门”、“六门”……都有什么样的牌形,哪种出现的概率更高?

 

至此开始,一个娱乐问题成功上升为科研课题,行话叫“k门问题”。

 

用数学符号代表刚才的牌形,那就是

 

X1X1X1X2X3X4X5X6X7X8X9X9

 

计算概率,大体的思路就是尝试所有Xi的组合,然后检验每种组合是否符合k门的要求。这样的重复性运算,交给Python程序就够了。

一段源代码截图  网址链接:

https://cklixx.people.wm.edu/mathlib/Mahjong.py


结果是这样的。“九门”的组合有且仅有一种,它出现的概率为0.000113;八门有16种;一门的组合则有14067种,出现的概率是0.148。

 

k门问题只是个开始,发现能用数学方法研究麻将,另一个团队也跃跃欲试。他们关注到的问题是——如何判断距离胡牌还差几张牌?研究结果整理为论文《来玩麻将啊!》Let’s play Mahjong!

都是科研论文,这篇的画风就很可爱

 

这个问题很实用了,理解了其中奥义,你也能拥有牌局的大局观。来看看他们是怎么算的。

 

首先需要用数学语言定义每一种牌形。他们选择了一对数字(c, n),c表示花色,0为条、1为万,2为筒;n表示具体的数字。比如(0, 3)就是三条,(1, 5)就是五万。

(2,7)和(2,5) 图源:flicker

 

接下来设置一段数列V,即14个(c,n)的集合,用来表示完整的牌面。这时你就可以用逻辑语言定义出胡牌(complete)的条件。

 

最后一步是设计一个变量,定量地表示牌面的好坏。研究者引入了“缺牌数”的定义,也就是距离运算到胡牌状态,还差几张牌。


接下来的运算结果请收好,这是一份科学的打牌秘籍。

 

  • 基础版——清一色

 

  1. 如果你已经凑出了两个“3连”(包括刻子和顺子),且它们不连续,那么缺牌数小于等于2;
  2. 如果你的牌面是以下两种情况之一,那么缺牌数为3

        5个对子+一个杠;

        5个对子+1个刻子+1张单牌


  • 进阶版——多花色

 

  1. 对于任意组合的一副牌,最大缺牌数为6。要置换6张牌才能胡的牌面就是最烂的牌;

     2. 如果你的牌面是以下3种情况之一,那么缺牌数小于等于5

         两个不连续的“3连”(包括刻子和顺子);

         一个“3连”和一个“准3连”(只需要碰一下或者吃一个就能凑出刻子或顺子);

        4个“准3连”

 

面对具体的牌面时,置换麻将牌的方案不止一种,此时需综合考虑缺牌数和胡牌成本,以及方案的可行性。

 

举个栗子,如果你的牌面是这样的,那么你可以考虑3种搭配方案

 

先把牌码上,看起来顺眼一些。

 

第一种方案里,“准3连”B1B3还差一张B2(二条),但是整副牌中已经没有多余的二条,因此这种方案无效。方案二和方案三都是可行的,但是方案三的缺牌数更小,所以更优。

 

作为中国的经典传统游戏,麻将的玩家覆盖率在整个游戏江湖遥遥领先。不同地区有不同的打法。几分技巧、几分运气,还有好几分的乐趣。这种独特的牌类游戏也慢慢漂洋过海,传入了包括欧美国家在内的世界许多地方。还有研究证实,麻将的益智作用有益于阿尔茨海默病患者。

 

当然,专业的科学家费劲编写程序来还原麻将的游戏规则,初衷倒不是为各位玩家搞一套打牌指南,而是为了开发人工智能。毕竟围棋高手阿尔法狗和阿尔法零相继横空出世,麻将高手机器人也指日可待。

 

各位麻将高手,你期待和机器人PK的那天吗?

 

写完此文,考虑到实践是检验真理的唯一标准,小编邻座的小哥默默把家里的麻将牌拿到了公司。

 

参考资料

1.Yuan Cheng, Chi-Kwong Li, and Sharon H. Li. Mathematical aspect of the combinatorial game “Mahjong”. ArXiv:1707.07345, 2017.

2.Sanjiang Li , Xueqing Yan.  Let’s Play Mahjong! arXiv:1903.03294v1

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返朴

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溯源守拙·问学求新。返朴,致力好科普。

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