所有自然数之和是-1/12？它在物理学中还有特别的应用？-返朴的财新博客-财新网

前段时间收到一位热心读者的邮件。信中提到，如果认定1-1+1-1……=1/2为事实，就会得出1+2+3+……=-1/12这样难以令人理解的结论。这位读者所提及的自然数求和问题，恰巧在量子理论和弦理论中都起到颇为重要的作用。从真空的能量，到时空的维度数量，都与自然数之和有着微妙的联系。在这个小小的数学魔术里面，甚至还隐含着时空不连续的秘密。

撰文 | 董唯元

数学老师曾告诉我们，只有收敛的级数才能求解无穷项之和，然而在一些科普书中，却会遇到一个神奇的求和：

所有自然数之和怎么会是负数，而且还是个分数？这到底是人性的扭曲，还是道德的沦丧？

把对称轴当作级数和

想要理解这个古怪的结论，我们先来看一个简单的例子：1, -1, 1, -1, ……这个序列可以求无穷项之和吗？意大利数学家格兰迪（Dom Guido Grandi，1671-1742）早在1703年就开始认真琢磨这个问题，可以说，这是所有发散级数求和研究的起点，这个序列后来就被命名为“格兰迪级数”。

意大利数学家格兰迪丨图源：维基百科

也许有小伙伴猜测，这个序列中1和-1的数量既然同样多，那么总和就应该等于0。可惜这样的猜测是错误的。无穷集就像个再生能力很强的变形虫，部分与整体同样多。我们从序列中拿走任意个1或者-1之后，剩下的1和-1数量仍然相同。如果所剩下的1和-1加和为零的话，那么岂不是总的求和仅由先取出的1或-1的数量决定——也就是任意整数。这显然太不靠谱了，看来压根不能依靠比较1和-1的数量来求和。

哈！根据这个等式，我们又一次得到了 A(∞)=½ 的结果。这回貌似没有明显违法的地方了，警察来了也不怕。可是，总还是感觉哪里不对。

A(1)=1

A(2)=1-1=0

A(3)=1-1+1=1

…

相关的定义不止一种。大体来说，主要有切萨罗求和与阿贝尔求和两类，另外拉马努金和黎曼等人也发展出许多更一般性的理论，中间还掺有源自欧拉的诸多贡献。那些数学语言虽严格，但催眠和劝退的副作用也不小，所以本文不打算纠结于那些从集合论谈起的基础定义，只使用非常“物理”的视角来定义： A(∞)表示所有 A(n)的平均值。

以“平均值”定义的求和方式，使许多发散级数都可以进行求和。例如

1-2+3-4…

B(0)=0

B(1)=1

B(2)=1-2=-1

B(3)=1-2+3=2

…

把这些B(n)所对应的点画在图上之后，完全不需要动笔计算，用眼睛就可以直接看出所有B(n)的平均值是1/4。

如果只看图还不放心，我们也可以借助前面 A(∞)=½ 的结论来推算 B(∞)：

把自然数之和变成-1/12的魔术

当然，画出点来再用眼睛直接瞪出结果的方法，有时候也需要一些技巧。就以全体自然数之和为例，我们同样地令C(n)代表前n项和

这样我们就把每个C(n)对应的点，都拆成上式中绿色项和紫色项所对应的两个“半点”分别画出来，居然又可以凑成两条对称的曲线。

当我们把无限个“半点”都辛苦画完之后。就可以指着两根曲线中间的对称轴宣布：

因为所有C(n)的平均值就等于所有“半点”的平均值，而两根曲线上的“半点”分布完全对称，只在绿色曲线的开头位置差了一个无关紧要的0。

除了看图猜值，我们也可以借助刚才的 B(∞)=¼ 那个结果，再来计算一遍 C(∞)。

这样就能看出，-1/12 这个数值，并不像1+1=2那样自然天成理所应当，而是需要事先假定“全体自然数之和是一个确定的数”，然后再精心挑选出一个逻辑自洽性最好的数值，指定其为全体自然数之和。只不过当逻辑自洽性和直觉发生明显冲突的时候，我们都会感觉惊诧，这在数学发展的道路上已经不是什么新鲜事了。

伸向无穷大的剪刀

前面的讨论中，我们直接无视了数学极限概念，粗暴地使用平均值当做发散级数的和。现在让我们重新捡起极限概念，从另一个角度看看-1/12是怎么跑出来的。

对 C(n) 这个发散级数，我们可以引入某个剪刀函数 f(x) 来压制那些趋向无穷大的项，从而使发散的趋势在某个特定的位置N附近停下来，并最终收敛到某个极限S(N)。这样我们就用标准的极限概念构造出一个S(N)，当N有限时，S(N)是个有限值，而当N趋于无穷大时，S(N)就对应着全体自然数之和。

真空的能量

站在实用的视角来说，我们有时候需要像使用收敛级数一样处理自然数之和，所以就不得不找到某个确定的“缰绳”来驾驭。比如在研究真空能量的时候，物理学家就遇到了全体自然数之和，而且非常希望这个和是个确定的数。

在量子场论的理论模型中，真空就像一张立体弹簧网，由无数小弹簧横纵交织而成。而所谓粒子，就是其中某些小弹簧的振动足够剧烈，以至于远远望去以为弹簧网中出现了什么异物似的，但只要凑到近处就会看出，那里除了振动本身别无他物。也就是说，粒子本质上就是真空的振动。因此，当能量变化时，粒子的数量不必受任何守恒律的约束，可以凭空增加或者减少。不过，粒子能否产生或消失却与小弹簧的振动频率有关。在振动频率为ω时，粒子数n与场的能量E之间存在这样的关系：

从关系式可以看出，真空每攒够一份ћω大小的能量，就会产生出一个粒子；反之每减少一份就会擦除一个粒子。或者干脆说，每个粒子其实就是个ћω大小的能量包。有趣的是n=0时，它对应着真空里没有粒子的情况，此时能量是½ћω。也就是说，当真空的能量低到不能再低的时候，能量仍然不是0，这就是真空零点能。下面我们来具体计算一个有限空间内的真空能量，看看它与全体自然数求和到底是什么关系。

我们知道，两端固定的弹簧上只能存在驻波，即波长的整数倍恰好等于两端距离的波，因为只有这种波在来回反射过程中可以维持能量，其他形式的波都会自我消减。导体对于电磁场也有一模一样的作用。在距离为L的两块金属板之间，只能存在波长恰好为 λn=L/n 的电磁波，其中n是正整数。每个这样的电磁波频率为

如下图这样放置三块相互平行的金属板，使甲乙之间距离为a，乙丙之间距离为b。

需要澄清的是，卡西米尔效应的实验证实，只能说明真空零点能的存在，但是并不能真的用来验证数学意义上的所有自然数之和。其实，现实中的金属板只能阻拦有限频率范围内的电磁波，当频率大过某个数值时，金属板就无法阻拦这种极高频率的波。所以从更精确的角度计算卡西米尔效应时，需要考虑这种高频截断。不过具体计算会用到欧拉-麦克劳林公式和伯努利数这些催眠的内容，本文就不再涉及了。

下面我们转到弦理论，看看所有自然数之和是如何与维度的数量产生关系的。

时空的纬度