撰文 | 倪忆（加州理工学院数学系教授）

 

伏尔加河畔的光与影

 

上篇《受眉毛拖累被捕的小哥，在监狱里写了两篇论文》里出现了莱布尼茨的一篇论文。

细心的读者会发现，这篇论文是用法文写的，发表在法国科学院杂志上，然而莱布尼茨却是德国人。这并非偶然。在“太阳王”路易十四统治的年代，法国的中央集权达到顶峰，国力空前强大，巴黎成为欧洲的科学、文化与艺术中心。法国的数学研究格外活跃。不仅仅是新兴的微积分，射影几何在一批法国数学家的推动下也开始兴盛起来。

图形在点光源下的投影丨图源：Encyclopaedia Britannica

 

射影几何，简单而言，就是研究几何图形在点光源下的投影跟原来图形的关系。古希腊数学家帕普斯（Pappus of Alexandria）已经做了一些这方面的工作。文艺复兴时期的意大利艺术家们创立了透视法，为射影几何的研究带来了动力。17至18世纪建立起来的牛顿力学告诉我们，很多物体的运动轨迹都是椭圆、抛物线、双曲线等圆锥曲线，——而射影几何正是处理圆锥曲线的有力工具。各方面的需求使得射影几何得到了蓬勃发展。17世纪的德萨格（Gérard Desargues）、帕斯卡（Blaise Pascal）、拉伊尔（Philippe de La Hire），18世纪到19世纪的蒙日（Gaspard Monge）、卡诺（Lazare Carnot）、布利安香（Charles Brianchon）等人都为射影几何作出了杰出贡献。[1]

开普勒第一定律说，行星的轨道是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。丨图源：维基百科

不考虑空气阻力的情况下，炮弹轨迹是抛物线。计算炮弹轨迹是中学物理课的常见题型。丨图源：Chegg Study

 

1789年爆发的法国大革命，虽然清洗了一批社会精英，可也从思想上解除了许多桎梏。1794年，法国建立了多所新式大学，包括综合理工学院、共和历三年师范学校（后来巴黎高等师范学院的前身）、国立工艺学院和梅斯炮兵工程学校。1799年起掌权的拿破仑对数学教育非常重视。他善于使用炮兵，而炮兵是一个技术兵种，对数学要求很高。拿破仑本人的数学就非常好。他同许多数学家关系密切，蒙日、卡诺、拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）、拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）、傅里叶（Joseph Fourier）等数学家都曾在拿破仑政府里担任要职。

拿破仑时代海军和炮兵使用的数学教材，作者为著名数学家裴蜀（Étienne Bézout）。丨图源：知乎 拿破仑时代的炮兵究竟数学要多好？

 

轶事

 

拿破仑非常看重综合理工学院。他在1805年把综合理工学院变更为军校，赠予校旗和校训“为了祖国、科学和荣誉”。1814年，当第六次反法同盟军队进攻巴黎时，综合理工学院的学生参与了巴黎保卫战。但皇帝并不愿意让学生们参战，他说：“我不能杀死会下金蛋的母鸡。”[2]

 

1812年，拿破仑远征俄国，遭遇了灾难性的失败。这场战争中，一名年轻的法军中尉彭赛列（Jean-Victor Poncelet，1788-1867）被俘。作为战俘，他在俄罗斯的冰原上跋涉将近五个月，到达位于伏尔加河畔萨拉托夫的一所监狱，在那里一直被关押到1814年才获释。

 

彭赛列曾经就读于综合理工学院和梅斯炮兵工程学校，有着扎实的数学基础。在狱中，为了打发时间，他回忆起在大学里从蒙日和卡诺等人那里学到的射影几何学。他只记得一些基本原则，但忘记了很多细节。于是他自行从头推导其中的定理，并发现了更多新成果。回到法国后，彭赛列任教于梅斯炮兵工程学校。在狱中笔记的基础上，他于1822年出版了专著《论图形的射影性质》。彭赛列率先认识到射影几何学有着自己独特的研究方法和对象，他的这本书标志着现代射影几何学的诞生。[3]

彭赛列曾担任综合理工学院的校长丨图源：Encyclopaedia Britannica

 

彭赛列在萨拉托夫蹲监狱时，另外一位伟大的几何学家罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）正在几百公里以外的喀山开始自己的数学生涯。他们两人当时应该没有交集。几年前，一篇数学论文里虚构了一个故事，让彭赛列通过一名狱卒与罗巴切夫斯基发生了间接联系。[4] 这个故事过于生动，以至于连《数学评论》上这篇论文的评论员最初都信以为真。

 

发源于西伯利亚的数学之路

 

虽然彭赛列和罗巴切夫斯基的故事是虚构的，但一百年后，还真有另外两位重量级的数学家在俄罗斯战俘营里结识。这两人就是海莱（Eduard Helly，1884-1943，也译作赫利）和拉多（Tibor Radó，1895-1965）。

 

海莱是奥地利数学家，1907年在维也纳大学获得博士学位。第一次世界大战爆发后，海莱参加了奥匈帝国的军队，在1915年负伤并被俄国军队俘虏。他被关押在西伯利亚的一个战俘营里。战俘们组织起来学习各种课程，包括拉丁语、希腊语、希伯来语、物理、哲学和心理学。海莱也召集了一些人来学习数学，其中有一位年轻的匈牙利人拉多。拉多原本在布达佩斯一所大学里学习土木工程，学业尚未完成就奔赴战场。战俘营里能看到的书很少，拉多当时唯一能得到的是数学书，于是他就跟随海莱学习数学。[5]

 

海莱后来被转移到了另外一个战俘营，在那里，他完成了一项泛函分析领域里的工作，被认为是哈恩-巴拿赫定理最早的版本。（海莱在战前的1912年已经证明了哈恩-巴拿赫定理的一种特殊情况。）海莱直到1920年才被释放。由于俄国正在发生内战，海莱不得不取道日本和中东，绕过了半个地球，终于回到维也纳家中。他在战俘营里写的论文发表于1921年。几年后，哈恩（Hans Hahn）在海莱工作的基础上证明了更广泛的结论，巴拿赫（Stefan Banach）也用相似方法独立证明了类似结果。这就是我们今天所知的哈恩-巴拿赫定理，泛函分析里最重要的定理之一。

 

海莱本人最出名的工作是以他名字命名的一个关于凸集的定理，相信参加过中学数学竞赛的小伙伴们都曾经学到。由于犹太人的身份，海莱一直未能在奥地利的大学里找到工作。1938年，纳粹德国吞并奥地利后，海莱逃到美国，在爱因斯坦的推荐下才在新泽西州一所社区学院里获得教职。换了几份工作后，海莱终于得到了适合他的学术职位：伊利诺伊理工学院的数学教授。不幸的是，他尚未入职便因心脏病去世，而他的病根就来源于战争期间的枪伤。[6]

海莱丨图源：MacTutor History of Mathematics Archive

 

同海莱比起来，拉多的学术之路则顺利很多。拉多在俄国革命后的混乱中逃离战俘营，历经一年多的时间才于1920年回到布达佩斯。他回到大学，这次选择了数学专业。拉多一直留在学术界，并在1929年移居美国，长期任教于俄亥俄州立大学。[5]

 

拉多在分析、拓扑、几何、逻辑等许多领域都有着重要贡献。1925年，他证明了任何一个闭曲面都有三角剖分，从而最终完成了闭曲面的分类。1930年，他解决了有二百多年历史的关于极小曲面的普拉托问题。（道格拉斯（Jesse Douglas）独立于拉多证明了略强的结论，并因此获得1936年颁发的首次菲尔兹奖。）1962年，在他逝世前三年，他发表一篇理论计算机领域的文章，提出了“忙碌的海狸”游戏，由此定义了一个著名的不可计算函数。

拉多丨图源：MacTutor History of Mathematics Archive

 

在第一次世界大战中，欧洲整整一代年轻人被驱赶上了战场。海莱和拉多这样在战俘营里进行学术研究的绝非孤例，海莱的同胞维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein，1889-1951）就曾在战俘营里研究哲学。David Aubin和Catherine Goldstein在《Placing World War I in the History of Mathematics》一文中对数学家们在一战中的经历作了深入探讨。

 

在战俘营里革新拓扑学

 

第一次世界大战并没有给人类带来足够的教训，仅仅二十多年后，第二次世界大战就爆发了。在这场战争中，法国南锡大学数学教授勒雷（Jean Leray，1906-1998）入伍成为一名军官。他于1940年被德军俘虏，关押在位于奥地利的第十七号军官战俘营（Oflag XVII A），在那里一直呆到战争结束。

 

这个战俘营里总共有大约5000名战俘，他们组建了一所大学，勒雷被选为校长（recteur）。战俘营里人才济济，除勒雷外，还有一位数学家维尔（Jean Ville），概率论里“鞅”（martingale）这个术语就是他在1939年的博士论文中引进的。生物学家沃尔夫（Étienne Wolff）日后当选法国科学院院士，地质学家艾伦伯格（François Ellenberger）后来担任过法国地质学会会长。战俘们甚至用偷运进来的摄像机拍摄了一部30分钟的纪录片《Sous Le Manteau》。总计有将近500人在战俘营大学获得学位，而这些学位在战后得到了巴黎大学官方认可。[7]

战俘营大学同事们的合影，前排中间即勒雷。丨图源：Sous Le Manteau

 

勒雷在战前是一位分析学家，在流体力学的Navier-Stokes方程上做出过卓越的工作。然而，他担心一旦德国人知道他是流体力学专家，会强迫他进行军事相关的研究。于是他决定把自己伪装成一个拓扑学家，研究不能够被直接用于战争的纯理论。勒雷以前曾经跟波兰数学家绍德尔（Juliusz Schauder）合作研究过拓扑里的映射度理论和不动点定理，但那时他的目的是为了在微分方程里应用。所以对于他来说，转行拓扑算得上是得心应手。

 

勒雷在战俘营里开设了微积分和拓扑课程。在准备拓扑课时，他从头思考应该如何定义拓扑学里的同调群。他希望这种新的定义能够更加方便地应用在他和绍德尔研究过的那类问题里。基于这些想法，他引进了“层”和“谱序列”这两个概念。他把课程讲义的摘要写成四篇短文，寄给他的博士导师维拉（Henri Villat），于1942年发表在《法国科学院学报》上。详细的讲义则整理成了三篇长论文，在战争结束后才发表出来。这三篇论文的副标题是“在战俘营里教授的代数拓扑课程”（un cours de topologie algébrique professé en captivité）。

1942年，勒雷在战俘营里发表的第一篇论文，开头便提到他在第十七号军官战俘营大学里教授的拓扑课程。丨图源：C. R. Acad. Sci. Paris

 

在战俘营期间，勒雷于1942年被聘为巴黎大学教授，于1944年当选法国科学院通讯院士。1945年5月，勒雷终于迎来了解放。[7] 重获自由的勒雷不再从事拓扑学的研究，回到了自己的本行分析学。然而，他引进的“层”和“谱序列”被他的同胞昂立·嘉当（Henri Cartan）、柯歇尔（Jean-Louis Koszul）、塞尔（Jean-Pierre Serre）等人发扬光大，迅速成为现代数学里的基本工具。1954年，塞尔和小平邦彦获得菲尔兹奖，他们两人的获奖工作都建立在“层”或者“谱序列”的基础之上。在我们这个系列介绍的所有在监狱里完成的数学工作中，勒雷的“层”和“谱序列”或许是最重要的。

勒雷于1979年获得沃尔夫数学奖丨图源：Wolf Foundation

 

参考文献

 

[1] Moris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.

 

[2] The International Cyclopaedia: A Compendium of Human Knowledge.

 

[3] MacTutor History of Mathematics Archive

 

[4] Richard Schwartz, Sergei Tabachnikov, Centers of mass of Poncelet polygons, 200 years after. Math. Intelligencer 38 (2016), no. 2, 29–34.

 

[5] encyclopedia.com

 

[6] Harry Hochstadt, Eduard Helly, Father of the Hahn-Banach Theorem. Math. Intelligencer 2 (1979/80), no. 3, 123–125.

 

A.F. Monna, Letter: "Eduard Helly, father of the Hahn-Banach theorem'' by Hochstadt.Math. Intelligencer 2 (1979/80), no. 4, 158.

 

[7] Anna Maria Sigmund, Peter Michor,and Karl Sigmund， Leray in Edelbach

 

本文经授权转载自微信公众号“普林小虎队”。