二维共形场理论一直是重要的理论物理前沿研究工具之一，尤其是其中的刘维尔共形场理论，更是与量子引力存在着千丝万缕的直接联系。借助共形自举方法，刘维尔共形场已经可以非微扰的精确求解。然而，它的关键方程竟然是猜出来的，直至最近几年，数学家才给了出严格的证明。数学家与物理学家，对量子场论的深意又多了一点了解。

 

撰文 | 董唯元

 

量子引力理论是物理学界公认的圣杯，一直吸引着我们这颗星球上最顶级的一批智慧头脑为之不断探索。如今聪慧的科学家早已能够驾轻就熟地应用量子理论和广义相对论，乃至日常生活都能发现它们的身影，然而隐藏在这两个理论背后的宇宙奥秘，却仍然显得那么渺远难测。

 

2003年的时候，美国物理学家，圈量子引力的奠基者之一，李·斯莫林（Lee Smolin）曾在他的科普著作《宇宙的本源》（Three Roads to Quantum Gravity）结尾处乐观地展望：“到2010年，至多到2015年，我们应该已经拥有量子引力理论的基本框架……在拥有这个理论的10年之内，能够检测它的新型实验将会被发明出来……到21世纪末，全球的高中生都将学习引力的量子理论。”如今回望，斯莫林的预言显然过于乐观了。

 

也许最能体现量子理论与引力理论之间鸿沟的，就是宇宙暗能量这个概念。依照广义相对论，加速膨胀的宇宙昭示着真空具有能量，也就是爱因斯坦方程中的“宇宙常数”不为零。同时依照量子场论，真空也具有非零的能量，这已经被卡西米尔效应（Casimir effect）实验所证实。如此看来，两个理论似乎都不约而同地给出了真空能量，然而实际上二者给出的数值相差了120个数量级！注意不是120倍，而是120个数量级，也就是10120倍。企图用真空零点能解释宇宙常数的努力，成了物理学中最离谱的猜测。

 

然而我们的宇宙不可能有两种真空，于是“宇宙暗能量”这个概念就被提了出来，以弥合两个理论对真空能量描述上的巨大分歧。暗能量之所以称之为“暗”，就是因为它既不在量子理论框架之内，也不能由引力理论解释。这个占据宇宙总能量70%的神秘缺口，或许只能等待未来的量子引力理论去缝合。

 

“降维打击”

 

在探索量子引力的道路上，充满了现有数学工具难以逾越的障碍，于是研究者们一边努力构建新工具，一边也在尝试简化问题的迂回方法，二维模型就是最为常用的迂回手段之一。

 

将高维降至二维最显而易见的好处，就是运算处理的大幅度简化。比如，在二维平面内，几次转动操作之间可以随意地交换顺序，最终的操作结果并不会因顺序的改变而受到影响。而在三维或更高维的空间中，多个转动操作之间不能随意交换顺序。可见二维空间比高维空间所受的限制更少，在处理复杂计算时可以腾挪的余地也就更大。

 

当然转动操作只是一个不入流的例子，研究者们真正青睐的是一种名为“共形变换（Conformal transformations）”的操作。这种操作也称“保角变换”，顾名思义就是在扭曲变形的时候能够保持任意两条线的夹角不变。比如下图所示的这个变换，就是个典型的共形变换。在变换之后，每根蓝色线与每根红色线仍然保持垂直。

如果你是第一次听到“共形变换”这个名词，也不要被这唬人的名字吓到。看看上图中那些弯曲的线条，是否让你联想到中学课本上的电场线和磁场线？再回想小时候用纸上的铁屑显示磁力线的那个小实验。其实，当你手握两块磁铁随意移动时，纸上那些铁屑图案的变化，正是一种共形变换。

 

物理学家在研究场的时候，非常需要共形变换的辅助。每一个共形变换中的不变量，本质上都是一种对称性的体现，就像镜像反转或空间平移的对称性一样。而对称性正是物理学家最喜欢的内容，每增加一个对称性，物理学家就可以多写出一条约束系统的方程。未知数的个数没有增加，而方程的数量增加了，求解出答案的希望当然也就随之增加了。

 

各种共形变换和共形对称性是如此的重要，以至于CFT（共形场理论，Conformal field theory）已经成为一门应用广泛的基础科目。不仅在量子场论和引力理论中，而且在凝聚态物理和热力学等理论中，都是不可或缺的重要工具。尤其是在20世纪末Ads/CFT对偶关系被发现之后，CFT的重要程度又进一步提升。

 

虽然共形场不仅限于二维，但对急于求解方程的研究者来说，二维共形场无疑是最友善的对象。因为只有在二维面上，才有无限多种共形变换，而在更高维度的空间中，只能存在有限种共形变换，所以二维共形场所蕴含的威力尤为强大。有些情况下，研究者甚至可以抛开其他因素，仅依靠这些对称性本身，就足以进行精确求解。

 

非微扰的求解方法

 

早在20世纪70年代，俄罗斯物理学家Alexander Polyakov就被二维共形场的强大威力所吸引，提出了一种全新的求解量子场的方法——共形自举（conformal bootstrap）。这种方法的基本思想，是把求解过程拆解为逐级爬楼梯。先选定一个三点结构作为基础，然后再增加第四个点，继而增加第五个点……这样求解的过程表面看似繁琐，实则却解决了一个困扰专业人士已久的难题。

 

传统求解量子场的基本思路，或直接或间接地继承自古老的分析力学和经典场论，即从拉格朗日量或者哈密顿量出发展开运算。其中用到的正则量子化和费曼路径积分等技巧，也是以拉氏量和哈氏量为基础。这套方法非常皮实耐用，许多关键环节已经被古圣先贤们反复打磨铺垫就绪，对后来者的我们来说，几乎就剩下代入具体情况无脑傻算。

 

然而这个套路在量子场论中却有个缺陷，那就是场之间的相互作用不能太强，最好是完全没有相互作用的自由场。这就好比一套求解物体运动状态的方法，其实只能求解匀速直线运动。当处理匀速圆周运动时，就把那个垂直于运动方向的加速度当作一个高阶修正项补充进来。而如果遇到变速圆周运动，就得再补充更多的修正项。

 

这种补丁摞补丁的做法，专业术语上称为“微扰”。意思就是说，把所有场间相互作用和其他约束条件，都看做对自由场的“微小扰动”，由此所产生的效果，都只体现在那些修正项中。显然，当我们遇到非常强的相互作用时，微扰方法就会失灵，不能提供符合实际情况的结论。（相关参见《物理学的终极问题，正等待数学来回答》）

 

而前面提到的共形自举方法，则是一种非微扰的套路，可以求解许多强耦合的量子场。在20世纪80年代初，Polyakov和他的两位合作者Belavin和Zamolodchikov共同发表了一篇重要论文，论文中给出了求解一系列二维共形场的框架，向研究者们展示出这一方法的强大力量。自此，以三位作者命名的BPZ方程，就成了CFT发展历程中的一个里程碑。

 

从N-1个点迈向N个点的BPZ方程长成下面这个样子：

看不懂也没关系，本文也没打算真的解释这个方程的含义，列出这个方程纯粹是为了满足部分读者的好奇心。顺便显摆作者使用搜索引擎的能力。

 

沿着BPZ方程所搭建的梯子，许多传统微扰手段无法挖掘的宝藏，现在都可以用共形自举来挖掘。在这些宝藏之中，有一个特殊的二维共形场与量子引力理论关系非常密切，它就是“刘维尔场（Liouville field）”。

 

作为一个二维共形场，刘维尔场当然是个如假包换的量子场。同时，刘维尔场的经典极限，又自然地给出爱因斯坦方程的二维版本。所以，刘维尔场自身就是一个漂亮的二维量子引力理论。不仅如此，刘维尔场还可以描述玻色弦在二维面内的激发，从而可视为弦理论所构建的量子引力模型中的一部分。另外，透过Ads/CFT对偶关系，刘维尔场还是一个三维弯曲时空内的引力描述。

 

上面一段话可能会让非理论物理专业的读者有些晕头转向，其实抛开所有专业术语来说，就是与量子引力理论相关的许多项研究中，都会闪现刘维尔场的身影。所以我们凭感觉就会知道，这个刘维尔场必定与量子引力的关系非常密切。要想了解量子引力的更多秘密，刘维尔场肯定是个极有价值的切入口。

 

既然有共形自举这个利器在手，刘维尔场的求解似乎唾手可得，可是这里面还有一个难题阻碍着研究的进展，那就是BPZ阶梯起步的那个三点结构必须精确表述，同时还得满足一系列约束条件。如果只是用路径积分和微扰方法来计算，就从源头上失去了“非微扰”的主旨。然而这个结构常数的寻找，却颇费了一番力气。直到20世纪90年代，才有两组研究者不约而同地给出了确定这个结构常数的公式。这个公式被命名为DOZZ公式，代表两组研究者Dorn、Otto和Zamolodchikov、Zamolodchikov。

 

这里没有笔误，后面两位确实都姓Zamolodchikov，其中一位就是BPZ中的那个“Z”，全名是Alexander Zamolodchikov，另外一位是他的孪生兄弟Alexei Zamolodchikov。顺便提一句，BPZ那三位虽然姓氏不同，但名字都叫Alexander，也是挺有意思的巧合。

 

说回DOZZ公式，借助这个公式作为起点，研究者终于可以求解刘维尔场的关联函数。但是这个DOZZ公式的来历，还是令人不够满意。因为这个复杂的公式竟然不是被推导出来，而是被生生猜出来的，可谓继承了顶级物理学家的优良传统。在1996年所发表的论文中，作者Zamolodchikov兄弟直接坦白地承认：

 

“需要强调的是，本节的论证与推导无关。这些更像是某种动力，我们将提出的表达式作为一种猜测，在随后的章节里我们会尝试证实这种猜测。这个猜测看起来十分自然，甚至可能被那些关注这个问题的人认为是显而易见的。”

 

（ “It should be stressed that the arguments of this section have nothing to do with a derivation. These are rather some motivations and we consider the expression proposed as a guess which we try to support in the subsequent sections. This guess appears quite natural and might even be thought obvious to those concerned with the problem.” ）

 

如果不能从逻辑上严格推导出这个公式，就说明我们还没有真正理解它的意义。即使它能在刘维尔场的具体计算上帮我们许多忙，但终究难以提供揭示物理世界本质的作用。

 

于是，一些研究者又开始努力研究，试图弄明白DOZZ公式到底能从哪个角度推导出来。这项任务的难度超出了许多人的预期，在DOZZ公式提出后的十多年里，一直没有明显的进展。直到2014年之后的几年间，才陆续出现了几篇论文成果。

 

这些近几年得到的DOZZ公式证明过程，都颇具跨界味道，使用了概率论方面的语言和工具，主要包括GMC（Gaussian Multiplicative Chaos，高斯倍乘混沌）和GFF（Gaussian Free Field，高斯自由场）。

 

从这些证明中，我们也收获了许多新的认识。原本以为随机涨落导致的引力场自身强耦合，必然无法与路径积分调和，然而借助一些来自概率论的工具，竟然可以将那些涨落的毛刺打磨得足够光滑，并顺利地兼容路径积分。

 

当然，物理学家们的目标绝不仅仅是驯服二维平面内那些野蛮涨落的引力，而是携驯服经验和工具出征，正面迎击真实时空中的引力。

 

 

参考文献

 

[1] Kupiainen, Antti; Rhodes, Rémi; Vargas, Vincent (2017). "Integrability of Liouville theory: Proof of the DOZZ Formula". arXiv:1707.08785 [math.PR].

 

[2] Vargas, Vincent (2017). “Lecture notes on Liouville theory and the DOZZ formula”. arXiv:1712.00829 [math.PR]

 

[3] A.B.Zamolodchikov; Al.B.Zamolodchikov (1996).“Structure Constants and Conformal Bootstrap in Liouville Field Theory". DOI: 10.1016/0550-3213(96)00351-3. arXiv:hep-th/9506136