撰文 | 顾险峰

 

最近惊闻施皖雄师兄突发心脏病而英年早逝，令人扼腕叹息、无限伤感：人世间又少了一位才华横溢的数学家。丘成桐先生撰写了悼词，感人肺腑，悲恸惋惜。丘先生给予皖雄师兄极高的学术评价，他称赞师兄的学问是一流的，为里奇流（Ricci flow）解决庞加莱猜测和几何化猜测做出了基础性的贡献。里奇流的发明者哈密尔顿也高度评价师兄的工作：“皖雄的工作是佩雷尔曼和我使用的所有极限论证方法的关键。”

纯粹数学家一直游走在人类未知世界的边缘，终生挑战人类智力的极限。他们都是无所畏惧，一往无前的勇者；为了真理和永恒，敢于抛弃一切的壮士！为了突破思想智力上的障碍，跳脱传统偏见的束缚，他们大多淡泊名利，特立独行，在世俗世界中显得恃才放旷，桀骜不驯，因而经常被现实伤害得体无完肤。施师兄就是这样一个悲剧英雄。

 

在数学史上，这样的例子比比皆是。今天去巴黎，你会看到埃菲尔铁塔上鎏金镌刻着法国数学大家的名字；徜徉在巴黎和里昂的街头，你会不经意间看到以法国数学家命名的街道；法国男孩的成人礼当天，父母要送给他古代法国数学家论文手稿的复制品。在计算机科学领域，法国学者对于最优传输理论的狂热和对法国数学家发明权的捍卫都是有目共睹。法国数学家的历史贡献早已融入到法兰西民族文化的核心之中。而这一切都是因为法兰西没有善待他们民族历史上最大的天才——伽罗华（ Galois ）。人类在长达数千年的历史中一直试图寻找高阶多项式方程的求根公式，无数数学家为此耗尽终生而一无所获。伽罗华冲破了人类思想的极限，发展了群论的思想，洞察到求根公式的存在性与对称群的可解性之间的等价关系，从而不但解决了这个千古难题，同时用群论的思想将数学推进到现代阶段。但是，他的思想超前于他所处的时代，那些思想保守却又占据学术权力的学界领袖，由于傲慢和懈怠没有理解他的思想，而是给了他戏谑和嘲讽，并且剥夺了他的求学机会。伽罗华由此变得政治上激进，最终被敌手算计在捍卫名誉的决斗中自戕。他在决斗前一夜匆忙写下证明的梗概，委托他的朋友替他保存。他的朋友侠肝义胆，虽然不理解伽罗华的思想，但是不懈奔走，数十年后终于将手稿交给了独具慧眼的刘维尔，从而使伽罗华的光辉思想昭示天下。每次笔者给年轻朋友们讲解魔方的解法，总是情不自禁地提到伽罗华。

 

同样令人唏嘘的是挪威天才阿贝尔（Abel）。生于穷乡僻壤的少年天才阿贝尔证明了五次方程不存在求根公式，发展了椭圆函数理论，建立了黎曼面上的Abel-Jacobi理论。这些都是石破天惊的伟大定理，椭圆函数理论与费马定理的证明有密切关系，而Abel-Jacobi定理则是现代数字制造业的理论基石。

 

年轻的阿贝尔为了寻求学术上的知音和职业生涯的贵人而漂泊到欧洲的学术中心。在柏林、哥廷根，他没有得到应得的赏识；在巴黎，他提交的手稿被柯西冷落，并且被传染了致命的肺结核。但是他遇到了生命中的贵人August Crelle，虽然August不理解他的思想，但是相信他的才华，而一直热衷发表他的工作。结束了失败的访问之旅，阿贝尔身心俱疲，返回故乡后很快病逝，两天后柏林大学的聘书寄到。每次笔者给学生们讲Abel-Jacobi理论，总要为阿贝尔唏嘘一番。

 

现代社会进步得愈发文明，但是依然没有善待纯粹数学家。笔者刚到哈佛求学的时候，代数领域的核心问题是费马定理，拓扑领域的核心问题是3流形的拓扑，即庞加莱猜测和瑟斯顿几何化猜测。那时，在丘先生的带领下，师兄师姐们都在刻苦钻研里奇流（Ricci flow）理论，哈密尔顿每星期都从纽约飞来哈佛与丘先生废寝忘食地讨论推演。每当人类科学遇到重大障碍时，总会有人拿哥德尔的不完备定理宣扬不可知论。那时有一种时髦的说法：费马定理无论成立与否都和目前的数学体系不发生矛盾，或者费马定理是对的但是其证明无法在现代数学的公理体系内完成。后来的故事大家都已经耳熟能详，Andrew Wiles在普林斯顿的阁楼上躲了7年，从而一举证明了费马定理。其实真实的历史远比这个故事复杂。Wiles给出的初始证明有瑕疵，为了弥补这一瑕疵，Wiles拼尽了全力，而巨大舆论压力几乎令他精神崩溃。那时Wiles选择了向他以前的学生Richard Taylor求助，Taylor和Wiles公共完成了Wiles的定理，从而整个故事有了一个完美的结局。（Richard Taylor是笔者的师姐夫，其妻子Christine Taylor当时是丘先生的女弟子。）普罗大众往往只记住最后的成功者，而忽视伟大战役中扭转战局的牺牲者。恰如庞加莱猜测证明的核心思想是哈密尔顿发明的里奇流，费马定理证明的核心思想来自谷山丰，而谷山更是一个悲剧英雄。历史上，谷山第一个突破了当时数学思想的极限，他认识到“所有的椭圆曲线都是模的”。虽然洞察了天机，但是他无法一蹴而就完成证明，当时的社会也容不下他不顾一切的狂热，最后他在三十出头选择了蹈海赴死。一周后，伤心欲绝的未婚妻铃木也自戕追他而去。谷山丰的好友志村不负朋友重托，终于使得谷山的思想昭示天下。Wiles证明了谷山猜测的一部分，从而完成了费马大定理的证明。

 

时代的发展总是出乎人们最为狂野的想象。数十年后，一个自称叫中本聪的神秘人物发表了一篇文章“比特币：一种点对点的电子现金系统”，刹那间引爆了世界。中本聪也开宗名义地申明基于椭圆曲线算术的加密算法，为比特币提供了理论和应用基础。这令笔者有理由认为，中本聪是为了纪念谷山丰而设计了这一爆款。一时间各种财富神话层出不穷，笔者遇到了从顶级科学家到民间资本家，无一不为之癫狂。有一次一个投资人向笔者炫耀，他包了一架波音飞机运送服务器飞往北极地区挖矿，因为那里寒冷的天气、充沛的水源带来了廉价的电费和良好的冷却系统。曾经一度全世界超过一半的计算资源都在挖矿。贪婪的人性，疯狂的浪费，又有几人知道谷山和他的猜想？分布全球的每一片炙热的GPU芯片，都是为数学中的悲剧英雄们上香，祭奠他们的在天之灵。

 

直至最近几年，3流形拓扑的研究才接近尾声。特别是虚拟哈肯流形猜测和虚拟纤维化猜测的证明，成为这一壮丽史诗的终章。人类经历千辛万苦才得到的3流形拓扑的整体图景梗概如下：每一个闭的3流形，都有一个唯一的方式进行素分解，（即沿着球面切开，这些球面的内部不是3流形中的实心球体）。每一个可定向的素3流形，可以沿着不可压缩环面切开（即任意的圈在环面上无法缩成一个点，则它在素流形上也无法缩成一个点），每个环面的内部具有特定的几何结构，并且体积有限。这里一共有八种标准几何结构，其中最为丰富的是双曲几何结构（即截面曲率为-1的黎曼度量）。更进一步，这里的双曲3流形都存在一个有限覆叠空间，这个空间是以曲面为纤维，定义在圆周上的纤维丛。这幅图景中的几何结构由里奇流得到。皖雄师兄突破性的工作建立了非紧空间上里奇流的基本理论，为里奇流解决庞加莱猜测和几何化猜测做出了基础性的贡献。

图：曲面和3流形（扭结的补空间）的双曲结构，由里奇流计算得到。

 

在丘先生的领导下，笔者和合作者们一直致力于将里奇流的理论推广到离散流形情形，将深邃的基础理论转化成计算方法[1]，从而应用于工程和医疗领域。我们已经完成了二维流形的里奇流，目前集中攻克3流形情形。迄今为止，里奇流对于社会生活最为广泛的影响当属虚拟肠镜技术。2008年，奥巴马总统向全体人民推荐这个技术，并且亲身示范。这个技术已经显著降低了肠癌发病率，广泛提高了人民的健康水平和生活质量，确实挽救了很多生命，这里面有着师兄的理论贡献。相对于博大精深的3流形拓扑理论而言，我们相信目前的应用水平仍然停留在初始阶段，时代依然在等待3流形理论的“中本聪”。

 

在世俗生活中，师兄时乖命蹇，潦倒困顿；但在数学世界中，他是真正的王子，才气纵横，青史留名！虽然他一生淡泊名利，临终时一文不名；但是他天才的思想为中华民族、为全人类留下了宝贵的精神财富！

 

愿师兄在天堂能够继续欣赏几何的壮美，追寻宇宙的永恒！

 

参考资料

 

[1] 顾险峰、丘成桐, 计算共形几何-理论篇，高等教育出版社，2020年。

 

本文经授权转载自微信公众号“老顾谈几何”。