维度的概念乍一看似乎很直观。瞥一眼窗外，我们可能会看到落在纤细的旗杆上体验零维空间的乌鸦，被限制在一维电话线上的知更鸟，在二维地面上自由移动的鸽子，还有翱翔在三维空间的老鹰。

但是对于数学家来说，为维度的概念找到一个明确定义实则异常困难。我们经过数百年的思想实验和富有想象力的比较，才得出目前对维度概念的严格理解。

古人知道我们生活在三个维度中。亚里士多德[1]写道：“向一个方向延伸的是直线，两个方向延伸的是平面，三个方向延伸的是物体。除此之外就没有其他了，这些就是所有的维度。”

然而相比于其他人，数学家更热衷于想象更多维度的思维训练：垂直于已知的三个维度的第四维度会是什么样子？

 一种流行的方法：假设我们的可知宇宙是三维空间中的二维平面。一个在平面上方的实心球对我们来说是看不见的。但是如果它坠落并接触到平面，就会出现一个点。当它继续穿过平面时，圆盘会不断变大，直到达到其最大尺寸，然后缩小并消失。正是通过这些横截面，我们才能看到三维物体的形状。

 类似地，在我们熟悉的三维宇宙中，如果一个四维球穿过它，这个四维球会以一个点的形式出现，之后成为一个实心球，最终达到完整半径的球，然后半径减小并消失。这给了我们关于四维形状的感知，但是对于这样的物体，还有其他思考方式。

 例如，让我们尝试通过构建超立方体来可视化立方体的四维等价物。如果我们从一个点开始，可以在一个方向上拖动它以获得一条线段。之后，当我们垂直于拖动方向移动线段时，得到一个正方形。在第三个垂直方向拖动这个正方形会产生一个立方体。同样，我们通过在第四个方向上拖动立方体来获得超立方体。

 或者，就像我们可以将立方体的面展开为六个正方形一样，我们可以展开超立方体的三维边界以获得八个立方体，正如萨尔瓦多·达利 (Salvador Dalí) 在 1954 年的画作《受难》(Crucifixion，Corpus Hypercubus) 中所展示的那样。

所有这一切构成了对维度的直观理解，即如果一个抽象空间有n个自由度（就像那些鸟一样），或者需要n个坐标来描述一个点的位置，该空间就是n维的。然而，数学家发现维度比这些简单的描述要复杂。

 但在这段时间里，数学家们意识到，维度缺乏正式的定义实际上是一个问题。

 乔治·康托尔 (Georg Cantor) 因发现无穷大有不同的势 (cardinality）而闻名[2]。起初，康托尔认为线段、正方形和立方体中的点集必须具有不同的势，就像一条10个点的线、一个10×10的点网格和一个10×10×10的点立方体有不同数量的点。然而，在1877年，他发现线段中的点与正方形（以及所有维度的立方体）中的点之间存在一一对应关系，这表明它们具有相同的势。凭借直觉，他证明了尽管维度不同，线、正方形和立方体都具有相同数量的无穷小的点。康托尔写信给理查德·戴德金（Richard Dedekind），“我看到了，但我不相信它。”

 康托尔意识到这一发现威胁到n维空间需要n个坐标来描述的直觉观念，因为n维立方体中的每个点都可以由一段区间中的一个数字唯一标识。因此，从某种意义上说，这些高维立方体相当于一维线段。然而，正如戴德金指出的那样，康托尔的函数是极不连续的——它本质上是将一条线段分成无限多个部分，然后将它们重新组合成一个立方体。这不是我们所希望的坐标系的行为。这种坐标系太过无序，无法为我们描述物体提供帮助，就像是为曼哈顿的建筑物提供唯一地址却随机分配这些地址。

 然后，在1890年，朱塞佩·皮亚诺 (Giuseppe Peano) 发现，可以将一维曲线缠绕得如此紧密且连续，以至于可以填充二维正方形中的每个点。这是第一条空间填充曲线（space-filling curve）。但皮亚诺给出的例子也不是坐标系的良好基础，因为曲线与自身无限多次相交。回到对曼哈顿的比喻，这就像给一些建筑物多个地址。 

这些和其他令人惊讶的例子清楚地表明，数学家需要证明维度是一个真实的概念。例如，当n≠ m时，n维和m维欧几里得空间的某些基本性质是不同的。这个目标被称为“维度不变性”（invariance of dimension）问题。

 终于，在1912年，在康托尔的发现之后将近半个世纪，在人们多次证明维数不变性的尝试失败之后，布劳威尔（L.E.J. Brouwer）使用自己创造的一些方法并取得了成功。从本质上讲，他证明了不可能将一个更高维的物体放入较低维度的空间中，以及在不将物体分成许多部分（如康托尔所做的那样）、不允许物体与自身相交（如皮亚诺所做的那样）的情况下，使用较低维度的物体填满较高维度的空间。此外，大约在这个时候，布劳威尔等人给出了各种严格的定义，例如，可以根据球在n维空间中的边界是n-1维这一事实，帮助归纳地确定维数。

 尽管布劳威尔的工作将维度概念置于强大的数学基础上，但它无助于增强我们对高维空间的直觉：对3维空间的熟悉太容易使我们误入歧途。正如托马斯·班乔夫 (Thomas Banchoff) 所写，“我们所有人都是对自己所在维度存有偏爱的奴隶。”

 例如，假设我们将2n个半径为1的球体放置在边长为4的n维立方体中，然后将另一个球体放置在与它们中心相切的位置。随着n增加，中心球体的大小随之增加——它的半径为√n -1。但是，令人震惊的是，当n≥10时，这个球体会伸出立方体的边。

 高维空间中令人惊讶的现实导致统计和数据分析出现问题，统称为“维数灾难”（curse of dimensionality）。许多统计方法所需的样本点数量随维度增加呈指数增长。此外，随着维度增加，点形成聚类的概率会降低。因此，找到为高维数据降维的方法十分重要。

维度的故事并没有因为布劳威尔而终结。仅仅几年之后，费利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）提出了一个新的维度定义，之后的数学发展证明该定义对现代数学至关重要。

 考虑维度的一种直观方式是，如果我们将d维物体均匀地缩放或放大k倍，它的大小会增加到kd倍。假设我们将一个点、一条线段、一个正方形和一个立方体放大3倍，点的尺寸不变（30=1），线段变成3倍（31=3），正方形变成9倍 (32=9)，立方体变成27倍 (33=27)。

 豪斯多夫定义的一个令人惊讶的结果是，物体可能具有非整数维度。几十年后，当伯努瓦·曼德尔布罗特（Benoit B. Mandelbrot）问道：“不列颠的海岸有多长？”时，结果证明非整数维度正是他所需要的。海岸线如此参差不齐，以至于无法用任何尺子精确测量——尺子越短，测量结果越大越精确。曼德尔布罗特认为，豪斯多夫维数提供了一种量化这种锯齿状海岸线的方法，并在 1975 年提出了术语“分形”来描述这种无限复杂的形状。

 要了解非整数维度可能是什么样子，让我们考虑以迭代方式生成的科赫曲线（Koch curve）。我们从线段开始。在每个阶段，我们删除每个线段的中间三分之一，并用与删除的线段长度相等的两个线段替换它，无限次地重复此过程以获得科赫曲线。仔细研究它，你会发现它包含4个与整个曲线相同但大小只有三分之一的部分。因此，如果我们将这条曲线缩放3倍，我们将获得原始曲线的4个副本。这意味着其豪斯多夫维数d满足 3d=4，因此，d=log3(4)≈1.26。科赫曲线并不像皮亚诺曲线那样完全充满空间，所以它不是二维的，但它也不是一条一维线，而是1.26 维。

 今天，数学家和其他人的研究经常偏离我们所在的三个维度。有时研究会涉及额外的物理维度，例如弦论所要求的那些维度，但更多时候我们抽象地工作，并不设想实际空间。一些研究是几何的，例如玛丽娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska）在2016年发现了在8维和24维填充球体的最有效方法[3]。在物理、生物学、工程、金融和图像等不同领域研究分形时，有时需要非整数维度。在这个“大数据”[4]时代，科学家、政府和企业建立了人、地点和事物的高维度档案。

 幸运的是，无论鸟类和数学家，都不需要完全理解维度就可以体验维度。

[1]https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/euclid

[2]https://www.quantamagazine.org/how-many-numbers-exist-infinity-proof-moves-math-closer-to-an-answer-20210715/

[3]https://www.quantamagazine.org/sphere-packing-solved-in-higher-dimensions-20160330/

[4]https://www.quantamagazine.org/tag/big-data