编者按：在第九届华人数学家大会上，北京大学讲席教授丁剑获得2022年ICCM数学奖金奖。丘成桐教授表达了对他全职回国的欣喜之情。丘成桐、Caucher Birkar以及清华大学副校长郑力为他颁发了奖状和奖牌。我们特别邀请ICCM毕业论文博士论文金奖顾陈琳一同参与访谈，全文收录，以飨读者。

被采访者 | 丁剑

采编 | 牛芸、桂延智、韩扬眉

丁剑ICCM数学奖金奖获得者ICM2022受邀报告人斯隆研究奖、戴维逊奖获得者北京大学数学科学学院讲席教授

Q：可否介绍一下您的数学学习经历？

丁剑：我的成长经历并不算十分典型，既没搞过竞赛，也没进过冬令营。我高考第一志愿甚至都不是数学。我在一个小城市长大，父母收集到的信息有限，想法也很朴素，对未来的期望和憧憬主要是要有一份好工作。这大概是绝大多数学生、家长在高考填报志愿时的考量，无可厚非。填报志愿时，我选的都是热门专业，比如电子、计算机、信息管理与信息系统。我的第四志愿才是数学，当时看起来是个前途一般的专业。我踩着分数线上了北大，进入信息管理与信息系统专业。大一时，很多专业课我都学的不是十分理想，我的思维还是偏数学。当时北大刚刚开始允许转专业，我就转到数学学院，那时候也并没有决心做数学研究。

Q：您在中学阶段没有显露出对数学的特别爱好吗？

丁剑：我数学还可以，和其他学生比起来还是会好一些，考试做得快一些，但是跟竞赛的同学比起来那就是个“渣渣”。兴趣是有，但没有经历过专业的训练。高中数学联赛就是我参加过的最高级别的数学竞赛。我记得，二试有三道大题，基本都看不懂，唯一一道我能看懂的是一道平面几何题，还不会做，但是我一想这个题目好像可以用解析几何做，我只做了这么一道题。思路是对的，拿了这道题的满分，获得省联赛奖项，但名次并不高。这就是我所有的竞赛生涯，仅此而已。现在我对竞赛其实没那么在意。当然进了冬令营，比普通学生在数学基础上会有优势，但是再往上，知识储备差的不是很远。

Q：那么本科学习特别是转专业前后是怎么样的呢？

丁剑：我大一的时候，只学了高等数学和一个比较基本的线性代数。数学专业学生都在学数学分析、高等代数。在我们当时，北大本科数学第一年的专业基础课是最扎实的。转入数学学院。我是先学的抽象代数，再回过头学高等代数；我学抽象代数的时候，理想、群等数学概念，没有什么例子，都是生算。我纯粹当成形式逻辑来学，做各种推导，倒是能对付那些证明题。但没有例子，很快就忘了，学得不扎实。学代数时，因为时间紧，为了考试，只能尽快把内容搞明白，很多计算是没有做的。

2003年，我准备转系考试正好赶上非典，很多课程都停了。对我来说，这反倒是一个专注学习的机会。我当时觉得，恐慌也没什么用，就每天上自习，教室里常常就一两个人。我读方企勤的一本数学分析习题集、蓝以中老师编的高等代数、还有一本刘张炬老师编的，自己做习题，一遍一遍地做。做第二遍的时候，经常发现第一遍的证明好多都是错的。这是心无旁骛学习的一段时间。

刚开始进入数学学院，诚惶诚恐，周围人讨论问题我都听不懂。后来过了半个学期，一考试我比他们考得还好一点，自信心就开始有了。但我知道有些东西没那么扎实，所以遇到的时候还是要小心一些。

Q：何时决定做数学研究？

丁剑：我大二转去数学学院，最初希望“曲线救国”，研究生阶段再转去计算机。我上了陈大岳老师教的应用随机过程。十几年前，他还年轻，教课十分“生猛”。他当时的“名言”是：“考试就是老师和学生斗智斗勇的过程”，课程之困难十分出名。我担心挂科，真的是死命学，看了很多课外书。其他课把书上的习题做完而已，而陈大岳老师的课真是学进去了，发现还挺感兴趣。

或许，因为大一数学专业课有缺席，虽然自己补了课，总觉得数学分析基础与正常上课的同学有差距。比如比较细节的分析上的计算，比如级数，我未必就特别有感觉；正好陈老师的课，前半个学期一直在讲组合，大家同一起跑线，觉得好像还可以，我还有点信心，那时候就基本上算“入坑”了。

我记得大三有一次去爬香山，对于是否学计算机已经有所动摇。我的学长马宗明（目前在沃顿工作）建议我出国，去伯克利学概率，后来还真的走了这条路,一直做概率论那么久。

Q：您可以解释一下抽象代数与高等代数之间的关系吗？

丁剑：一般认为，认知是从具象到抽象，有一些例子后，抽象出一般性基本原理，再从抽象回到具象，可以更好的理解。我当时代数的学习过程比较反直觉，导致我把它当形式逻辑来学，考得很好，我记得抽象代数考了100分，非常骄傲。但考完以后我啥都不记得了，因为没有例子在头脑里面。当时为了应付考试，我拿了伯克利的一本是叫做Qualify的习题集，里面有代数。把那些套路弄清楚以后，证明能对付，但这些证明的具体含义我不是很懂，我也能推导。但我认为这也许不是一个学习的正常途径，但当时是没办法，得一边补大一的专业课。

Q：您今年年初才回国，请您讲讲回国前后以及缘由。

丁剑：我是认同中国文化的，我是知道东邪西毒的，在国内跟人说话、聊天，更加如鱼得水。在国外，刚开始英语很糟糕，后来英语好到可以跟人交流，数学工作交流也没有问题。但是有一些文化内涵的东西，我是不了解的。我们要回国这件事情一直有打算，所以并不突兀，关键在一个什么样的节点？疫情期间，我到清华访问，开始考虑要不要回国，紧接着就与我感兴趣的几所高校接洽，后面整个流程非常快，大概是一两个月就决定了回到母校。这里也要特别感谢宾夕法尼亚大学。我当时请假回国在北大一年，2021年秋天，本该回去上课。但宾大表示既然疫情往返不便，而我已经计划离职，就把课程安排给其它老师。感受到宾大的理解和支持，我也加快了整个过程。宾大的大度，让我感到温暖，十分感动。

Q：您目前带了几个学生？

丁剑：我自己名下的学生其实不多。刚到北大时还没有学生，我就抓其他老师的学生跟我一起合作。现在跟我合作的学生可能有10来个。

Q：谈谈您对学生的要求。

丁剑：这牵扯到一个比较严肃的问题。高等教育到底应该是一个什么样的教育。如果说九年义务教育是基础教育，那么研究生教育也许更倾向于培养各学科精英人才。在培养研究生时，我曾习惯于“掐尖”式的思维，只关注金字塔塔尖的那些人。我目前认为，我们培养的学生将会服务于不同的科研院所，成为教育者。如果他们在接受教育时，感受到的是丛林法则，那对他们执教也不是一个好的影响。

如果说，考试就是老师和学生斗智斗勇，那么研究就是老师与学生组队打怪升级。我相信，一起合作，只要学生有提升、有进步，那么就是值得我们花费精力和时间的。对学生的要求，最重要的是要有兴趣，同时要知道数学的复杂度。当研究中遇到某个新东西的时候，希望他们随时准备好学习。当然，大学前几年的课程必须扎实。对我的这个方向，概率方面准备的知识不多。不像代数几何，可能要到博士四年级才能看得懂问题。我们的研究是问题驱动，再寻找解决方法。

Q：您非常愿意举一些易懂的例子，您觉得自己是个好老师么？

丁剑：我教课那就是一把心酸血泪史。在芝大和宾大教学时，教学评估简直能让我血压飙升。评估表里有个问题，这门课有什么需要改变的，有学生答道：唯一要改变的就是把这个老师给换掉。这主要是因为我刚开始教学时没有经验, 在教授本科生概率论时，没有考虑到只有20%的学生了解如何计算几何级数求和，于是学生就很不开心。而对于中国学生，这实在是个基础知识。总之，国外教学还是蛮难的。我刚刚回到北大，国内的教学评估，还在学习了解过程中。

Q：可否给年轻学者一些建议？

丁剑：博士毕业后，不应该完全沿着博士期间的工作去做，因为博士论文题目很难说是你自己的课题。但如果说，后面做的东西完全跟博士论文没有任何关系，也不现实。理想状态，如Caucher Birkar教授所说，他的研究方向在博士期间已经埋下伏笔。博士毕业后，大家期望看到你有一些独立于博士研究的工作，但要说隔得太远，另起炉灶，好像也不是一个最明智的选择。如何把博士期间，熟悉的方法、技巧、思维，应用于另一个合适的场景，提一个有意义的问题，并找到属于自己的空间。这是很重要的事情。我们还是要尊重学术界的游戏规则，拿到tenure之前必须接受考核。接下来大家根据自己的个性自由发展，百花齐放。然而，在这个时候，需要拿出一些证据，证明你的独立性、原创性。在这期间要找到一个合适的的课题，走出属于你自己的路。

丁剑获奖感言

“感谢评审委员给予我这份沉甸甸的荣誉，我觉得非常荣幸和激动。今年1月份，我全职回国工作。此前15年间，我在美国求学和任教，这块奖牌是对我在美工作的认可。去年暑假，我回国访问，有幸与数学届前辈畅谈，他们都或直白或隐晦地表达了一个共同的心愿，希望更多原创性的数学工作能够从本土产生。我也希望我回国后能做出有意思的工作，为下一代数学红花的成长提供些许养分。我并不想为数学刻意地划上国界，不过要是能够为中国从数学大国到数学强国的转变做出些许贡献，我也能收获一些纯粹的数学之外的一些满足。

理想固然丰满，现实常常骨感，多少个不舍昼夜的苦思，却一无所获，又或是即将宣告胜利的时刻，又经历一个小错误引发的惨案。这些都难免让我陷入自我怀疑。在以后士气低落的日子里，看一眼这个奖牌能够振奋一下精神，又或者其它自我怀疑的年轻人，见到我在数学道路上艰难前进的样子后，而生出一种“连他也可以，我一定也行”的豪气，那么我想这枚奖牌就实现了他最大的价值。”

Q：您提及获奖是您未来面对困境时的激励，也希望鼓励如您一样艰难前行的年轻人。可以谈谈研究过程中的困难么？

丁剑：难的事情太多了。比如有些问题，做完那一刻发现别人已经做了。最难的是，一点想法都没有。错误的想法，虽然是原地踏步，至少是在动。最苦闷的是，连错误的想法都没有，这时候该怎么办？看到这个问题，觉得能试的都试过了，下面真不知道该怎么办，但又不想就这么放弃。这个时候，刷刷微信、看看朋友圈。一直盯着其实很难，要用一点其他事情缓解一下。何况，做不出来是常态。想法对了，一高兴把文章写完了，又开始下一个长时间找不到解决方法的阶段，必须接受这种状态。概率的问题相对比较多、比较散，可以四五个问题同时进行，来回倒腾。这是个好事儿，总盯着一个问题会更难受，这是学科特点决定的，有些学科不一样。数学家解决问题通常要以年计。总体来说，进入一个新的领域，直到出第一篇文章，我相信不应该是两个月或者三个月的时间就能够完成。但如果沿着之前的方向，四个月出一篇文章，也不会十分惊讶。报道里常说坐冷板凳、十年磨一剑，不应该理解成十年、二十年只做一件事儿。实际上，数学家同时在做很多问题。而不同问题的解决，也会彼此促进。解决不同问题时，可以学习新方法、新技巧，就有了新思路。有时也翻翻文献，看看前人的办法，或者了解以往不熟悉的方向。

Q：您的研究主要关注于交叉领域中的数学理论的问题吗？丁剑：概率与其他研究方向有一个很大的不同。许多方向都有一个人人都想解决的大问题或者核心问题，但概率的魅力不在于此。它的生命力在于，很多地方都能看到它的踪影，包括纯数、物理、计算机科学的一些分支，甚至是统计以及很多应用问题。

我抱有一个比较开放的思维，希望概率能够有属于自己的思想和方法，但我也更希望用这种思想和方法跟别的学科结合起来，帮助他们解决问题。在解决问题的过程中，又反过来推进我们发展自己的思想和方法，这是一个动态过程。

也因此，我对自己的研究计划没有太长远的考虑，是一个开门迎客的状态。我的办公室一直是开着的，随时有人过来跟我交谈，有时他们的问题令我感兴趣或者有些感觉，就开始了合作，我会思考他们的问题里面需要用到什么概率技巧。

比如随机图相关匹配问题，就是缘于一次讨论。我在沃顿的时候，吴毅弘来访问，报告之后，他来我办公室讨论问题，开启了我对统计方面一些问题的兴趣。后来，我们一群朋友一起就此开展了多种合作。我有这样一种随波逐流的心态。而概率和物理关系也非常紧密。举一个最简单的例子，衡量磁铁的磁性，我们可以建立一个数学模型，实际上是一个概率模型，微观粒子具有很多随机性。我们通过看它整体呈现出来的性质，判断是否有磁性。

Q：可否讲讲您获得戴维逊奖的工作以及第一个让您觉得骄傲的工作？

丁剑：获得戴维逊奖，主要是因为我与Allan Sly、Nike Sun合作完成的random k-SAT问题；以及在马氏链和随机游动覆盖时方面的研究工作。应该说，前者更有分量。这个工作最近才发表，主要是解决随机约束满足问题，它有一个相变，条件越多，满足就越难；条件越少，则可以满足。这之间有一个相变的点，我们把它计算了出来。这非常困难，也非常耗体力。这应该不是我第一次觉得自己好像能做一些真正的工作。第一个让我觉得还不错的工作，是我在学生期间，与James Lee以及导师Yuval Peres共同完成的，即把随机游动覆盖时和高速自由场机制，与Talagrand’s majorizing measure theory联系起来。这项工作或许分量低一些，其意义在于，让我对极值理论产生了兴趣，也了解了其中的很多方法。

我之后的研究，从课题名字上来说，跟博士期间的工作没有什么关系。随机优化、刘维尔量子引力、随机场的Ising模型，听上去距离很远，但实际上看问题的角度，仔细观察一下，考虑极值、考虑优化角度这样一种思路是相同的，在我的研究里面占很大比重。博士期间的工作开启了我对极值问题的兴趣以及对其基本方法的理解。之后的研究与之无关，但思维方法相通，只是场景不一样。虽然不会有人觉得我还是在继续做博士期间的东西，但实际上能看到脉络上的联系。

Q：近期的研究兴趣点是什么？

丁剑：去年，我与合作者Ewain Gwynne在刘维尔量子引力做了一些研究，但还有一些我感兴趣的问题没有什么头绪。今年又努力回去尝试了几次，还没有找到突破点。凝聚态物理方面也有很多我感兴趣的问题，比如，带随机场的Ising模型的相关问题。我们还试图研究Edwards-Anderson自旋玻璃模型，但也很困难。回到北大以后，我考虑该怎样开展工作，不光要冲击那些最难、最有挑战的问题，也要开始在这片土壤上在学生培养方面进行布局。首先，要调动学生的士气。如果我们一上来就算LQG距离的维度，或者要把Edwards-Anderson模型的相变弄清楚，如果一两年没进展，学生就没有士气了。过去大半年，我选择了一个我认为尚存潜力的方向，与学生们开展了合作。我们的研究方向主要是组合概率和组合统计里面的一些课题。我认为它能够通向更宏大的课题，即随机优化问题的计算复杂性。目前，正在做有意义的铺垫。以我们的水平，能够在几个月内取得进展，把学生的士气调动起来，并且在这个过程当中，学生能够学到相关的知识，接受一些研究训练的基本培训。

具体来说，做的最多的就是相关图的匹配问题。比如两个社交网络，假设一个实名、一个匿名，可以想象这两个社交网络有很大相关性，因为同一个人，在不同社交网络的朋友有很大重叠。我们要把两个网络中的个体实现匹配,通过网络的拓扑结构，就能完成。其实这个问题在很多的应用背景里都会出现，比如计算机视觉、分子生物学。只要有这种相关网络出现，就能看到这个问题的应用场景。我选择的方向，一方面往理论走，可以到随机优化问题的计算复杂性；同时，又有很强的应用背景。选择这样一个宽泛的点，可以让学生们很快找到各自适合的位置、适合的切入角度，先开始一些工作。比如从信息论理解相变是什么样子，用到的主要工具是随机图论、概率论，都是我们比较擅长的。但是后面复杂和困难的问题，比如计算复杂性等等，这个是暂时做不到的。

由于相关图匹配实际上是个优化问题，希望边的重合度越高越好，这是一个NP 难的问题，我们目前没法解决。如果网络有特定的结构，加上一些随机性或其它条件，也许能够做到，这个与网络相关性有关系。其中一系列的相变，是我们最后想要研究的。我们有了一些先期结果，希望进一步研究，由此出发，对计算复杂性有更多的理解。很多问题，包括最经典的random k-SAT，或者说最近大家在关注的perceptron，与神经网络有关系。这其中都有计算复杂性的相变，这一部分其实现在相对了解的很少。我们还没有什么特别好的框架和算法可以解决，这本身就是个问题。

Q：请您谈谈日常工作与生活。

丁剑：在费城的时候，我的住处离办公室不远。早晨，我走路去学校，差不多25分钟，一路想想一天的计划，是一个思考和放松的过程。数学工作者，有时候在办公室想三个小时，没有任何感觉，一出门，冷风一吹，突然想通了。所以在哪没什么关系，即便我坐在办公室，坐的很端正，拿着笔，也许真的啥也没干。反而有时候躺在那，我真的在好好“干活”。

为了锻炼身体，我这些年开始跑步。差不多一年365天，有300天跑步，每天4-5公里。跑步的时候就什么都不想。回到北大，早上跑步，差不多9:30到办公室。我喜欢听音乐，思路卡壳的时候就听，主要是一些老歌，比如罗大佑、李宗盛、邓丽君、王菲等等。

Q：您崇拜的数学家是哪位？

丁剑：很多概率学家都以Oded Schramm为榜样。他基本上是完美的。为人也很谦逊，我很早时候见过他，那时我还是个学生。他也对我非常平和、友好。他非常愿意毫无保留地与大家分享他的想法，因此形成了一个聚集效应，带动了一批人的成长。他虽然学生很少，但影响深远。学术之外，他的生活也十分丰富多彩，有很多爱好，比如登山。Q：ICCM最高兴的瞬间。

丁剑：在这样一个数学家的盛会上，有这么多同行表演才艺，我那天拍掌拍的最开心。

在本次采访中，丁剑以平和、开放的态度，生动地分享对研究生活、课题选择的种种思考。其中，既有朴素无华的判断，又有深入浅出的解析，更有令人赞叹的远见。一个小时的谈话，内容丰富。本文在保持文章架构合理的前提下，尽可能实录对话，但愿读者或是有共鸣，或是有收获。在此特别感谢顾陈琳、桂延智。

本文经授权转载自微信公众号“清华大学丘成桐数学科学中心”。