从费马大定理开始，一副关于整数的画卷徐徐展开，这就是代数数论。300余年过去，我们仍望不到尽头，反而看到了更宽广的世界。
 

撰文 | 张和持

费马的神奇发现

数论是一门研究整数的学科，但其所用到的工具却遍布整个数学世界：你可以把整数 看作一个环，或者看作实数 或复数 的子集，也可以看作 进数 的子集……每一次转换视角，往往带来的都是一个崭新的世界。可以说，整数就是数学中的冰山一角，而今天我们要讲的代数数论，正是其背后的一座冰山。

图1 费马

代数数论的诞生要追溯到 费马（Pierre de Fermat，1607-1665），他被认为是近代数论的奠基人。作为一个从未发表过关于数论著作的数论学家，费马关于数论的工作得以流传下来很大一部分归功于他在 丢番图（Diophantus of Alexandria） 的《算术》（Arithmetica）一书中的评注。如果直接去看这48条评注，你可能会觉得它们都是一些孤立的命题，而费马当时所用到的论述也并没有超出初等数学的范畴——毕竟“群环域”都是19世纪的产物。那为什么这还是叫作“代数”数论呢？

我们来看一看其中一条命题：

这个神奇的结论把素数的同余性质和方程的整数解联系在了一起。但我们不能满足于表面：要认识一个事物，首先得祛魅。

图2 高斯整数中的“素数”分部

图3

这样的命题还有不少，可以说费马的眼光确实独具一格，这也是为什么即便他的很多命题都没有留下证明，仍有诸多后人希望从他的笔记中理解其思想。经过欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）等人的努力，到了 19 世纪，这些命题中的大部分都得到了严格证明，除了最后一个——费马大定理，英语中称之为“费马的最后定理“。

库默尔的尝试

图4 库默尔

不过 的存在已经说明，素元分解这种方法并不是普遍适用的。但是库默尔并不甘心就此放弃：他发现，虽然素元分解并不一定唯一，但是存在某种“理想数”的素分解一定唯一。库默尔的原始工作在今天看来很难理解，而理想理论（Ideal theory）要变成今天我们学到的样子，还是需要另一位大数学家 理查德·戴德金（Richard Dedekind，1831-1916）。

戴德金的抽象理论

戴德金的数学思想非常超前，比如他给出的实数定义（戴德金分割）在今天仍然是大一学生必须掌握的。但是在一百多年前，数学家们尚不能接受无穷集合的概念，可想而知，戴德金的数学对于大多数人而言就过于抽象了。不过历史证明，正是这些抽象的理论把数学带到了20世纪。

图5 戴德金

戴德金发现，库默尔的理想数其实并不是一个数，而是环的一个子集。我们接下来就来概述一下这套抽象理论，读者可以记住最典型的例子。

身后的世界

图6  Peter Stevenhagen

Stevenhagen 的猜想最近取得了突破。Stephanie Chan，Peter Koymans，Djordjo Milovic 以及 Carlo Pagano 四人最近证明了上述概率的下确界不小于 ，这已经是从无到有的突破了。他们用到的工具就包括了前面提到的椭圆曲线，而这项工作很大程度上又受到几年前 Alexander Smith 的启发。这些内容都已经不仅仅是代数数论，而是更加庞大的现代数论中的一环。对于这些新的内容，我们会在今后的文章中向大家介绍。

在今年的秋雨与狂风中，Stevenhagen 教授仍将站上讲台，为荷兰数学生讲授代数数论。他也像库默尔那样，精于计算又熟悉抽象，包括他的讲义也总是会着重于具体的计算方法。这或许是荷兰数学的一个缩影。Koymans 和 Pagano 几年前都曾是莱顿大学的研究生，而 Stevenhagen 和 Lenstra 则是莱顿大学的教授。看到荷兰数学界新人辈出，他们也一定非常欣慰。

参考文献

[1] 加藤和也, 黒川信重, 斎藤毅. 数論 I —— Fermat の夢と類体論.

[2] P. Stevenhagen. NUMBER RINGS.

[3] 冯克勤. 代数数论简史

[4] [Jordana Cepelewicz. Mathematicians Crack a Simple but Stubborn Class of Equations]

出品：科普中国