撰文 | 王振东（天津大学教授）

春辉满朔方，候雁发衡阳。

望月惊弦影，排云结阵行。

往还倦南北，朝夕苦风霜。

寄语能鸣侣，相随入故乡。

这是唐代诗人李峤的五言诗《雁》，已经写到雁群转移南北时，结阵飞行的景象。另一位唐代诗人张九龄所写五言诗《二弟宰邑南海见群雁南飞因成咏以寄》也写到：

鸿雁自北来，嗷嗷度烟景。

尝怀稻梁惠，岂惮江山永。

大小每相从，羽毛当自整。

双凫侣晨泛，独鹤参宵警。

为我更南飞，因书至梅岭。

这两首五言唐诗都写到我们现在常看到的景象：每当秋冬季节，大雁就从俄罗斯西伯利亚一带，成群结队、浩浩荡荡地飞到我国的南方气候温暖的地方过冬。第二年春天，它们再经过长途旅行，飞回到俄罗斯西伯利亚产蛋繁殖。《吕氏春秋》所说：

孟春之月鸿雁北，孟秋之月鸿雁来。

正是雁群南来北往飞行的写照。

大雁的飞行速度很快，每小时能飞68～90 km，几千公里的漫长旅途中，雁群的队伍组织得十分严密，常常排成人字形（图1），一边飞着，一边还不断发出“嘎、嘎”的叫声。大雁的这种叫声起到互相照顾、呼唤、起飞和停歇等的信号作用。

图1  雁群以人字形排列飞行

大雁在向南、向北迁徙飞行时，常是几十只、数百只汇集在一起，互相紧接着列队而飞，古人称之为“雁阵”。那么，大雁为什么会保持整齐的队形，排成人字形飞行呢？

有人认为：大雁属于鸟类中极有组织性和纪律性的一类飞禽。它们不但十分讲究团结友爱，而且还互相帮助。大雁排成整齐的人字形飞行，是一种集群的本能表现。因为这样有利于防御敌害。雁群总是由有经验的老雁当“队长”，飞在队伍的前面。幼鸟和体弱的鸟，大都插在队伍的中间。停歇在水边找食水草时，也总由一只有经验的老雁担任哨兵。如果孤雁独飞，就有被敌害吃掉的危险。

这里所讨论的问题是：雁群结阵飞行与力学有怎样的关系？排成人字形来飞，有什么力学道理吗？

01、雁飞行的升力

大雁和其它飞鸟一样，在空中飞行时，必须要产生足够的升力Y，以克服自身的重力G。在平飞时达到力的平衡Y=G。大雁的升力是通过扑打翅膀（羽翼）产生的（图2）。鸟的扑翼飞行是一种复杂的运动。当向下扑动羽翼时，大羽毛会相互紧拢而使整个羽翼成为上、下表面基本上不透气的翼面，从而能形成上、下表面有一定的压力差，以产生足够的升力将鸟举在空中。尽管飞鸟与飞机产生升力的方式不同，但它们的升力都是源于上、下翼面压力差形成的，一般上表面主要是负压力（吸力），下表面主要是正压力，因而能够形成向上的升力。

图2 雁扑翼飞行

02、雁飞行的诱导阻力

由于空气具有从高压力处向低压力处流动的特性，因此在无阻挡的翼梢处，高压力的下翼面气流会向低压力的上翼面翻转，因而使得下翼面气流向翼梢处偏转，上翼面气流则向翼根处偏转（图3）。这样将减少上、下翼面压力差，使得升力有所减小，与升力直接有关的有效迎角（翼型弦线和飞行方向间的夹角）也减少了ε，形成了新的平行于飞行方向的力 X=Y tanε，这个力通常称为诱导阻力（图4）。

图3 下翼面流线示意图

图4 升力和诱导阻力

翼面上的气流偏转会使得在翼后有尾涡拖出，并在向下游发展时逐渐卷起，这可由实验观察到，也可通过计算得出。从能量角度来看，卷起强涡旋的气流总是要多带走一些动能，也就是为抵消诱导阻力需要多消耗能量。

03、雁群的结阵队形

实际上，在翼面后将会形成包括翼梢强涡旋在内的复杂的尾涡系，图5给出了在翼后的不同流向位置的尾涡横截面所组成的分层曲线。这个复杂的涡系，将对流场中各点产生诱导速度。

图5 翼面后的尾涡横截面分层曲线

图6所示为一典型的在翼面下游的诱导速度场，其中间部分有向下的诱导速度；而在两外侧，则有向上的诱导速度，并随在翼后的流向、法向距离和展向位置而变化。当雁进入前面雁后的流场时，在流场的不同位置会有不同的结果。若在前飞雁的正后方，会遇到向下的诱导气流，反而要比前面无雁时的单独飞行付出更多的能量；但若在前飞雁后方的两侧适当位置，则会受到向上的诱导气流而省力。

图6 翼面后方流场的诱导速度分布

雁群迁徙一次大约要连续飞行1～2个月，因此它们需要摸索飞行的窍门，有效地节约体力。对于长途跋涉的雁群来说，排成人字形的飞雁队形，由强壮的领头雁在前领飞，而其后各雁可利用前面雁飞行时所产生的有利向上气流，以滑翔的方式来节省体力，则能减少体能消耗而受益。“头雁”因为没有这股微弱的上升气流可利用，体能消耗大，很容易疲劳。当领飞的头雁疲倦了，它会退到侧翼，由另一只雁接替飞在队形的最前端。所以在长途迁徙的过程中，雁群需要经常地变换队形，更换“头雁”。有人研究指出，借着人字队形，整个雁群比每只雁单飞时，能增加50%以上的飞升能力。

所以，在无强侧风的情况下，雁群按人字形结阵飞行，是符合流体力学原理的合理队形（图7）。

图7  三只飞行的大雁

04、航空表演的结阵飞行

飞机列队进行航空表演的情况，与雁群结阵飞行的情况很类似。从下面几幅航空表演的照片（图8-图10），可以清楚看出，机群也是按照流体力学原理，排成“人”字阵形进行航空表演，除排在最前面的领先飞机外，其他的飞机都在前面飞机的后侧合适部位飞行，以省力、省油。

图8  珠海2016年航空表演

图9 飞行队在天门山表演

图10 航空特技表演在军事上，为使飞机在空中执行任务的续航时间增加，或者能少带油料多带弹药，就有在空中为飞机加油的需要，所以人们又专门制造了空中加油机。在空中加油时，受油机常在加油机的后侧面进行加油作业（图11-图14）。

图11 空中加油机

图12 加油机在空中加油

图13 加油机在空中加油

05、对田径运动员的启示

大雁排队飞行，可以减少侧后大雁飞行的能量消耗，这对中长跑运动员也有启发，运动员在中长跑比赛时的开始阶段，紧随在领头队员的后面也可省力（图14），这当然已不是因为利用上升气流的关系，而是在前面队员的身后涡旋区中跑，可减少阻力。在中长跑比赛中，一些有经验的运动员并不在一开始就去领跑，而是在领跑运动员的后面跟跑，因为这样会使其跑步时的体能消耗比领先的小。等到冲刺阶段的前夕，再发力突然加速，超过原领跑者。

图14 运动场上跟跑相同的情况在长途自行车运动赛场上也有。经常可见到有实力、有心计的自行车运动员，在长途自行车赛的一开始，紧随在领骑运动员的后面涡旋区中跟骑，以减少体能消耗，等到接近冲刺阶段，再突然发力加速，超过原领骑者，尽全力冲刺冠军。由于大家都知道了这种战术，以致现今在自行车比赛的规则中对此做法己有所限制，对跟随的距离有规定，不允许跟得太近。

有人在美国的高速公路上也有过这样的体验，跟在加长大货车的后面开小轿车，一段路程跑下来，觉得确实省力又省油，也是同样的道理。

参考文献

[1] 李峤，雁［M］//马东田，唐诗分类大词典：下册，成都：四川辞书出版社，1992[2] 张九龄，二弟宰邑南海见群雁南飞因成咏以寄［M］//马东田，唐诗分类大词典：下册。成都：四川辞书出版社，1992[3] 唐登斌、王振东，大小每相从，排云结阵行—从雁群结阵飞行谈起［J］，力学与实践，2001，23（5）：79―80[4] 王振东. 诗情画意谈力学［M], 北京：高等教育出版社. 2008[5] 王振东. 诗韵力学[M], 北京：高等教育出版社. 2021

本文经授权转载自微信公众号“力学酒吧”，原标题为《排云结阵南北行—漫话雁群和飞机的结阵飞行》，曾首刊<力学与实践>2001年第5期，并收入《诗情画意谈力学》和《诗韵力学》。