若尔当一生中最有名的数学工作并不是上述三项，而是在有限群论，在这个领域他做出了基础性的贡献，并直接指明了伽罗瓦理论的前进方向，影响深远。此外，他撰写的一本教科书《分析教程》(Cours d'analyse)，是十九世纪末期分析学的标准教材和参考书目。写出二十世纪卓越教材《代数学》的荷兰代数学家范·德·瓦尔登 (Bartel Leendert van der Waerden，1903-1996) 说过：“据我所知，这是最早一部把整个经典分析作为一个统一的、完整的逻辑体系来描述的教科书……对于我，阅读《分析教程》的每一章都是件愉快的事。”

尽管现代数学的发展一日千里，学科林立，但是历史悠久的微积分和线性代数是科学家和工程师最喜爱并且用得最多的两门“古典高等数学”。除了抽象代数学家，很少人懂得有限群论或伽罗瓦理论，但对“矩阵若尔当标准型”至少略知一二的大学毕业生却多如牛毛。一辈子职业生涯大部分时间为工程师的若尔当，懂得工程师们的需求乃至苦衷，的确为他们简化了一般方阵的结构，让它们相似于包含最多可能零元素的“标准型”，既帮助学问家洞察矩阵作为线性算子的作用机制，又方便应用者从事理论分析与实际计算。这立下了奇功，因此，后人在所有的矩阵论教科书中都不吝笔墨地将他的大名写在“标准型”这一词组的前面：Jordan canonical (or normal) form of a matrix（矩阵的若尔当标准型）。今天，在他离世一百年之际，有必要回顾他的一生经历，缅怀他的科学贡献。

一生经历 

若尔当生于法国名城里昂一位毕业于巴黎综合工科学校的工程师之家，他的父亲直接将其著名政治家叔叔的全名复制给自己的儿子作为名字，或许是因为他发现初生婴儿与其叔祖恰好出生在同一个月里，日期也仅有六天之遥。但儿子长大后却没能成为政治家，还是继承了他的衣钵当了工程师，连17岁时所进的大学也步父亲的后尘。若尔当母亲的弟弟是个著名的壁画家，被尊称为“法国画家 (The painter for France) ”。可以说，若尔当的父母所属的两个家族都是“名门望族”。

若尔当在不到23岁时完成的博士论文有两个相对独立的部分。第一部分“关于函数值的个数”本质上讲属于代数学，第二部分“关于代数微分积分反函数的周期”处理的是线积分 ∫ u dz，其中u是由某个代数方程f(u, z) = 0所定义的一个复变量函数。他的博士论文刊登在母校的杂志《综合工科学校学报》上。论文成功答辩后，他开始了工程师的生涯，就像当时绝大多数的同校毕业生一样，包括后来的庞加莱 (Henri Poincaré，1854-1912)。他先后在三个城市任职，最后一个是巴黎。

但是，出于对探索数学未知世界的好奇心，加上工程师职务的工作自由支配，若尔当有充足的时间和精力投身到数学研究中，他一生中发表的120篇数学论文，绝大部分都是以工程师的身份写出来的。历史上，以数学作为第二职业甚至副业或余暇爱好却成就远超主业的人举不胜举，最著名的当推他的法国前辈、业余数学家之王费马 (Pierre de Fermat，1601-1665)，他不仅是微积分、数论、概率论等领域的开拓者之一，而且他提出的“费马猜想”让一代代数学家忙碌了358年才最终破解，但是他的终生本行却是法院议员。比若尔当小了十六岁的庞加莱虽然是十九世纪末法国乃至全世界的领袖级全能数学家，一生却没有丢弃其在矿业管理部门的正式职位，而未能百分之百地献身数学，这是他在物理和工程领域也颇有建树的原因之一。如此看来，业余时间研究数学在法国有着几百年的历史。

1862年，戴上博士帽不到一年的若尔当与家乡城市里昂副市长的女儿结婚，他们一共生了两个女儿和六个儿子，可惜的是其中三个儿子在第一次世界大战中阵亡。幸存的三个儿子都很有出息：一个成为政府部长，一个当了巴黎索邦大学的历史学教授，第三个则继承了工程师的祖传职业。

从1873年起，若尔当成为巴黎综合工科学校的一名考官，三年后他被升迁为本校分析学教授，他担任这个职位一直到1912年退休为止。1883年，他又成为法兰西学院的教授，然而在1885年前至少从理论上讲他依然是一名工程师。因此这套“工程师”的外衣他至少披了四分之一个世纪未脱。然而，他几乎所有的创造性数学研究成果都是在这个期间内取得的。

若尔当一生中获得的学术荣誉包括：1881年被遴选为法兰西科学院的院士，1895年被选聘为俄国圣彼得堡科学院的院士。1870年的一部创造性数学作品为他赢得法国科学院颁发的彭赛列奖。与他一样，彭赛列 (Jean-Victor Poncelet，1788-1867) 也身兼工程师和数学家两职，在法俄战争中被俄军俘虏，但在被囚禁的监狱中由战俘变为射影几何学的创始人之一，60岁时担任了母校巴黎综合工科学校的校长。1890年，若尔当获得拿破仑 (Napoleon Bonaparte，1769-1821) 创立的法国荣誉军团军官勋位 (Officer of the Légion d'honneur)，这是法兰西的最高国家荣誉，赠与对国家有功的军人或平民。他生前的最后一个荣誉是担任于1920年在法国斯特拉斯堡举行的第六届国际数学家大会名誉主席。

一生成就 

对于大学理工科学生，线性代数中的“矩阵”和微积分中的“导数”一样都是各自学科中的最基本概念。因为矩阵给出了线性代数中抽象有限维线性空间之间线性算子的具体模型和给定基底下的具体表示，所以极具实用价值，一门工程师爱不释手的学科“矩阵论”从十九世纪起迅速蓬勃发展，令其长成参天大树的辛勤园丁包括两位英国学者：凯莱 (Arthur Cayley，1821-1895) 和西尔韦斯特 (James Joseph Sylvester，1814-1897)，他们的名字大学生们也认识，因为任何一本线性代数或矩阵理论的教科书里都包含了“凯莱-哈密顿定理”(n × n矩阵满足其特征方程)和“西尔韦斯特矩阵二次型惯性定理”（在实数域中，对称矩阵的标准型对角矩阵的正对角元个数是一个不变量）。

在矩阵论中，对于行数等于列数的方阵，有个重要概念叫“相似”，如果尺寸一样的方阵A和方阵B之间有等式关系：A = PBP^-1，其中方阵P是非奇异的，则称A相似于B。这个关系是非常理想的“等价关系”，即它满足三个条件：(1)自反性，即A相似于自己；(2)对称性，即A相似于B当且仅当B相似于A；(3)传递性，即如果A相似于B，而B相似于C，则A相似于C。

虽说成语“物以类聚人以群分”容易让人以为朋友关系是个等价关系，其实不然，因为它不满足传递性，即张三和李四都是王二麻子的朋友这个假设不一定得出张三和李四也是朋友的结论，他们甚至可能是仇敌。然而数学上的等价关系确实可以借用上面的成语来刻画，或言之，任何集合上定义的一个等价关系唯一地将该集合划分为互不相交的“等价类”并为它们之并，在每个等价类内任意两个元素等价，任一个等价类里的任意元素与任何其他等价类的任意元素不等价；反之任何一个集合的任意一个子集划分可以定义唯一的等价关系：两个元素等价当且仅当它们属于划分中的同一个子集。

回到同一尺寸方阵的相似性等价关系，从上面的一般结论得知：所有n x n复矩阵的全体被划分出一个个的相似等价类，每个类中的所有方阵彼此相似，不在同一类中的矩阵彼此不相似。相似的矩阵具有一模一样的特征值，包括每个特征值有相同的代数重数和几何重数，这些不变量给出了不同相似类的某些基本特征。

一个自然的问题是，在每个相似类中，哪个矩阵结构最简单，因而可以作为这个相似类的代表出现？这名代表就是若尔当于1870年为我们挑选出的。显然，一般而言，矩阵中的零元素越多，结构就可能越简单，最简单的莫过于对角矩阵。我们知道在复数域内，任何非常数的多项式都有零点，因而每个复系数多项式都能分解为线性因子之积。由此可以预测，复矩阵相似类中零元素最多的上三角矩阵应该是最简单的了。的确，用现代的语言来说，复数域上方阵A的若尔当标准型是A所在的那个相似类中的一个块对角矩阵，其中每个对角块方阵都是上三角矩阵，它的对角元素都是同一个复数，它是A的某个特征值，在对角线上方的“次对角线”上每个元素都是1，而方阵内的其他元素统统为0，这个特殊的方阵称为若尔当块。这样的矩阵是够简单的，而且展现出统一的模式。

若尔当标准型给出了将n × n矩阵A所有“广义特征子空间”的某个特殊基底放在一起后，在酉空间Cⁿ的这个特殊基底下，A作为线性算子的“矩阵表示”。它是透彻理解一般矩阵代数和几何性质化繁为简的强大工具，因此可以想象它在应用学科上用途多多。实际上，它在矩阵论以及其他纯粹数学的分支中也常常用到。华罗庚先生是个玩矩阵的高手，他和弟子们在“矩阵几何”的研究中常用若尔当标准型，以至于代数学家曾肯成 (1927-2004) 曾有一句戏言：“龙生龙，凤生凤，华罗庚的学生会打洞。”我这里再举一个小例子，因为它与我有关，借以表达我对若尔当的感恩之情。

十二年前，有一次我偶然读到对杨振宁先生的一个采访，其中他讲到了他著名的三大贡献之一Yang-Baxter equation（杨-巴克斯特方程）。杨先生用女士发辫的不同梳法形象地说明了为何两个运算A和B不符合交换律，即AB ≠ BA，却有可能ABA = BAB。我读了之后突发好奇：如果只考虑矩阵的情形，假设方阵A已知，能否求出带有未知方阵X的矩阵方程AXA = XAX的所有解？出于对杨振宁和巴克斯特两位物理学家的尊敬，我将此二次矩阵方程命名为杨-巴克斯特类矩阵方程 (Yang-Baxter-like matrix equation)。这个方程总有两个平凡解X = 0和X = A，所以求出非平凡解才有意思。

于是，为了满足极大的好奇心，我匀出了一半的研究时间，开启了这项与我主要研究领域——计算遍历理论没有关系的一个新问题的探索之旅，并拉上与我长期合作的一位师兄陪我前行。在我们对一类矩阵用了布劳威尔不动点定理找出非平凡解以及运用矩阵的谱分解定理甚至遍历定理找到几个有意义的谱解而发表了最早几篇论文时，我发现找到杨-巴克斯特类矩阵方程的非平凡解之非平凡性。

某日，一个好点子突然冒出了我的脑海：如果方阵A相似于方阵B，那么只要能解出对应于B的杨-巴克斯特类矩阵方程，那么对应于A的杨-巴克斯特类矩阵方程的解就能水到渠成。自然，最佳的B就是A的若尔当标准型！这个想法很快让我和合作者以及其他研究者沉浸其中，导致对应于不同种类矩阵A的杨-巴克斯特类矩阵方程一批又一批解的文物出土。

若尔当在分析学和拓扑学中比较广为人知的数学贡献出现在复变函数论中，他的法国前辈柯西 (Augustin-Louis Cauchy，1789-1857) 在这一于工程科学中应用广泛的领域里有着根本性的创举，包括他的几个闭路积分定理。在这类定理中，解析函数的积分是沿着复平面上的几条闭曲线进行的，它们组成了一个有界开区域的边界。在法国大革命那年出生的柯西，长大后也对牛顿 (Isaac Newton，1643-1727) 和莱布尼茨 (Gottfried Leibniz，1646-1716) 发明的微积分来了个彻底革命，即用ε-δ极限语言将直观性强的初等微积分上升到逻辑性强的高等微积分。但是“智者千虑必有一失”，以严格分析学家著称于世的柯西或许没有注意到被积函数复变量行走通过的那条闭曲线本身就没有被严格地研究。

这就需要迟他半个世纪的若尔当来仔细检视曲线了。他给出了平面曲线的“若尔当定义”，第一次引进了有界变差函数，明确了曲线长度的概念。他证明了教科书中的一个标准定理：函数是有界变差的当且仅当它是两个递增函数之差。学过《数学分析》或《实变函数论》的大学生都知道，一条由参数方程x = f(t)，y = g(t)且参变量取值范围为区间[a，b]所表达的曲线之长度为一有限实数，当且仅当这两个函数f和g都是参变量t的有界变差函数。“曲线”、“曲线长度”和“函数变差”这几个概念出现在若尔当所撰三卷本著作《分析教程》的第一版中，它们在1882到1887年之间先后问世。若尔当在巴黎综合工科学校讲授《实变函数论》时给出并证明了他那著名的“若尔当曲线定理”，其正式的表述和论证放进了《分析教程》的第三版。该定理说，平面上一条简单的闭合曲线将平面恰好分成内部和外部两个开区域，以该曲线为共同边界，内部区域是有界的，而外部区域则是无界的。闭合曲线指的是将单位圆周映到平面内的连续映射之像，或等价地说是将单位区间[0，1]映到平面内并在区间两端点取值为同一个点的连续映射之像。如果这条曲线自身不相交，就被称为是简单曲线。后人为了纪念他，将这样的简单闭合曲线命名为若尔当曲线。

这个定理从直观上看似乎很显然，比方说以坐标原点为中心的单位圆周将坐标平面分成圆的内部和圆的外部。然而，直观不能代替证明，直观上对不一定真是对的，它需要严格的证明。当闭合曲线是多边形，定理的证明不难，难的是那些奇形八怪的曲线，比如处处连续却又处处没有切线的曲线。一条奇怪的闭曲线就是分形理论里赫赫有名的科赫雪花，它是有界的，但却有无穷长，它被分形之父曼德博 (Benoit Mandelbrot，1924-2010) 看成是英国海岸线的数学模型。

若尔当第一个给出了闭曲线定理的证明，然而，他的证明引起了争论，不少人认为他的证明是不完备的。人们比较认可的严格证明是在1905年由美国几何和拓扑学家维布伦 (Oswald Veblen，1880-1960) 作出的。证明的思想出自代数拓扑，并可以处理该定理的高维推广。维布伦是普林斯顿高等研究院的六名首批正式教授之一，作为美国数学史上的名人，他对陈省身和华罗庚于上个世纪四十年代赴美访问高等研究院及其之后在美寻找教书位置都有很大帮助。美国数学会从1964年建立了维布伦几何奖，我的大学同学田刚于1996年获得该奖。维布伦曾这样评价若尔当：“然而，他的证明对许多数学家来说并不令人满意。它假设定理在简单多边形的重要特殊情况下成立而没有对此证明，并且人们必须承认，从这一点开始的论证至少没有给出所有细节。”然而，证明了开普勒装球猜想的当代美国数学家黑尔 (Thomas Hale，1958-) 却为若尔当辩护：“我发现的几乎所有现代引文都同意第一个正确的证明归功于维布伦……鉴于对若尔当证明的严厉批评，当我坐下来阅读他的证明发现没有任何令人反感的地方时，我感到很惊讶。从那以后，我联系了一些批评若尔当的作者，但每位作者都承认并非直接知道若尔当证明中的错误。”

若尔当的一个不那么引入注目的定理属于测度论。测度论是勒贝格积分论和柯尔莫哥洛夫概率论的基础。测度是定义在可测空间σ-代数上的一个满足可数可加性的集函数，其值域包含在非负实数另加正无穷大的集合内，且在空集的值为0。如果去掉值的非负性要求并且不容许取值为正无穷大或负无穷大，则满足上述其他条件的集函数称为广义测度。若尔当广义测度分解定理是说广义测度可以表达为两个取值不为正无穷大的正测度之差。如果没有学过测度论，可以将这个定理视为如下理工科大学生普遍熟悉的积分分解公式的推广：记f⁺和f^-分别为可积函数f的正部和负部，即f⁺(x)取f(x)与0两数之间的最大值，f^-(x)取-f(x)与0两数之间的最大值，则f在[a，b]上的积分等于f⁺在[a，b]上的积分减去f^-在[a，b]上的积分。

前面提到若尔当首次给出的矩阵标准型，实际上并非是建立在复数域上今日常用的那个形式，他考虑的域是“有限数域”，属于有限群论的范畴。事实上，“有限群论”这个后来一百年间迅猛发展的抽象代数分支是若尔当开创的，这是他在数学史上彪炳千秋的不朽功勋。一切抽象的理论来源自有价值的具体实例，从若尔当起步的有限群论是以“置换群”鸣锣开道的。n个不同对象可用从1到n的自然数代表，1, …, n的所有不同的排列组成了一个置换群，它有n阶乘个元素，其中的群运算就是通常的“映射复合”。若尔当是历史上第一个对置换群进行系统探索的人。他对至今还未完全搞清楚的有限可解群及其分类问题进行了开拓性的研究，引进了商群的符号，1869年他证明的关于有限群正规子群合成列的一个基本结果，现在被称为若尔当-赫尔德定理，两个人名中的德国数学家赫尔德 (Otto Hölder，1859-1937) 于1889年强化了若尔当二十年前的最早结论。

作为置换群之父，若尔当对伽罗瓦群的发展起到了关键性的作用。伽罗瓦 (Evariste Galois，1811-1832) 因决斗而亡十一年后，刘维尔 (Joseph Liouville，1809-1882) 阅读了他的原始论文，掂出了它的巨大份量，于1846年将之发表在自己十年前创办的期刊《纯粹与应用数学杂志》上。之后他关于伽罗瓦理论的讲座吸引了埃尔米特 (Charles Hermite，1822-1901) 等数学家参加，这些法国数学家对伽罗瓦开天辟地新理论的研究也随之开始。然而，指出伽罗瓦理论的发展走向应在何方的是若尔当。他关于有限群的一个主要工作对象是关于含有素数个元素的有限域上的一般线性群，他获得的结果可以用于确定代数方程所对应的伽罗瓦群的结构。他提出了置换群的解析表示，十九世纪末二十世纪初，德国数学家佛罗贝尼乌斯 (Georg Frobenius，1849-1917) 等人将他的表示理论推广到任意有限群。若尔当是代数学分支“群表示论”当之无愧的一位祖师爷。

这些创造性工作以及与伽罗瓦理论的联系被他写进了于1870年出版的那部科学院获奖专著《代换与代数方程论》(Traité des substitutions et des équations algebraique)，其篇幅超过650页，包含了许多近世代数中的新概念，“阿贝尔群”就是他在书中首次采用的术语。在这有史以来的第一本群论书中，他对伽罗瓦理论进行了全面的研究。该书还包含了他关于有限域上矩阵的标准型定理，后人将它推广至复数域上，极大地扩充了应用范围。最重要的是这部史无前例的著作将置换群放到了数学的一个中心位置，在未来的三十年里为有限群论提供了基础。可以毫不夸张地说，若尔当这本书出版后的百年间，群论不仅已经发展为现代数学的主要研究领域之一，而且也成了理论物理学中有关对称性研究的重要数学工具，这是我们在杨振宁先生几十年来的大众科学演讲中经常听到的。

正因为若尔当对群论的开创性工作为他赢得了国际声誉，一些外国的未来数学之星，如德国的克莱因 (Felix Klein，1849-1925) 和挪威的李 (Sophus Lie，1842-1899)，于1870年奔赴巴黎访问他，向他请教新颖的思想。法国这位老师由于受到矿物学家关于晶体结构研究的启发而做出的关于三维空间欧几里得变换群的分类工作，激发了这两位国际学生分别对离散群和连续群提出并发展了他们各自的理论。克莱因留名数学史的埃尔兰根纲领，将几何按照给定变换群的不变量进行分类，对现代数学有深远的影响。李的名字出现在“李群”、“李代数”等数不清的术语中，他是将代数结构与拓扑结构成功嫁接的一位园艺大师。

在其群论著作发表后的十多年间，若尔当继续为建造群论这座大厦添砖加瓦，证明了几个有基础重要性的结果，如关于本原置换群的有限性定理。此外，他在其他数学领域继续耕耘，一个在分析学领域中的突出工作是他推广了傅里叶级数的一个收敛准则。四十余年前我学过这个收敛准则：如果可积函数f在x的一个邻域内是有界变差的，那么它的傅里叶级数在x收敛到f在这点的左极限和右极限之算术平均数。在十九世纪的最后十年中，他参与了创建与积分有密切关系的“容量”理论，引进了内容量、外容量及容量等概念，并给出了它们在重积分理论中的应用。这些内容都被加进了1893年出版的《分析教程》第二版中。

刘维尔1836年创办的《纯粹与应用数学杂志》那时通常被称作“刘维尔的杂志”，它是十九世纪的国际领先数学期刊，为数学传播与发展功不可没，比如伽罗瓦的伟大手稿就是首发于此的。1882年刘维尔去世后，若尔当于1885年起担任该杂志的编辑（那时大概没有“主编”一说，不像当今期刊的编辑委员会有一大堆成员），历时35年，这也充分说明了若尔当在法国数学界的地位。一般认为，在十九世纪下半叶的法国，若尔当的数学历史地位介于庞加莱和埃尔米特之间。

若尔当虽然已经离世一百年，但他的数学不仅没有离世，而且继续茁壮成长，惠及全世界的数学家、科学家及工程师。每当我们用到若尔当的矩阵标准型，应当想起他在32岁时就为我们打造出这把极好使的数学工具。在2022年快要结束的时刻，谨以此文纪念这位杰出的法国数学家，展示对他的崇敬之心。

写于2022年12月11日星期日

美国哈蒂斯堡夏日山庄

出品：科普中国