撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）

回到迭代上来，读者自然会问：当给定的函数具有一个周期为三的周期点时，会有什么发生？我们已经看到周期为一的周期点（即不动点）或周期为二的周期点的存在不一定能激发滚滚波涛。事实上，对于恒等函数f(x) = x，每一个实数都是它的不动点，所以就没有周期大于1的周期点了，这是一个完全“规矩”并且特别简单的严格递增函数，即自变量越大则函数值越大。对于曾经做过例子的“变号函数”f(x) = -x，每一个实数被映射到它的相反数，所以除了0 这个不动点外，每一个非零数都是周期为二的周期点，故变号函数没有周期大于2的周期点，它是一个既规矩又简单的严格递减函数，即自变量越大则函数值越小。

然而，一旦某个函数有了一个周期为三的周期点，它必定是非单调的，因而也一定是非线性的；几何上看它的图象或者有山峰，或者有山谷，或者二者都有。这里给出一个简单的证明，领略一下推理的逻辑力量。令函数f的周期-3轨道为{a, b, c}，即f(a) = b，f(b) = c，f(c) = a。不失一般性，可假设a < b < c。如果f是单调的，比方说f是单调递增的，则由b < c 推得c = f(b) ≤ f(c) = a，与 a < c的假设矛盾；又比方说如果f是单调递减的，则由a < b推得b = f(a) ≥ f(b) = c， 与b < c的假设矛盾。因此f不能是单调函数。读者可对a, b, c之间的其他大小关系证明同一结论。

既然一个具有周期-3轨道的函数在其定义域上是非单调的，它会展示出丰富多彩的现象吗？答案是确实会的，它不仅孕育出一个令人惊奇的定理，而且还催生出一个崭新的数学名词。然而这一切均来源于一位气象学家的终生爱好和偶然发现，他关于天气预报的论文引导了数学家进入混沌的天地。

爱德华·洛伦茨 (Edward Norton Lorenz，1917-2008) 出生于美国位于新英格兰地区的康涅狄格州西哈特福德市，从小就是一个气象迷，每天都要去屋外瞧一瞧温度计上的气温数字。他先后在达特茅斯学院和哈佛大学获得数学学士和硕士学位。在第二次世界大战中，他的爱好派上了用场，从美国参战后的1942年到二战胜利后的1946年，他是美国空军的气象预报员。复员后他不忘初心，去了麻省理工学院读气象专业的研究生院，于1948年获得博士学位。最终他成了这所理工名校的气象学教授。从1959年起，他专心致志于数值天气预报的研究，特别地，他选择了十二个经过简化的非线性常微分方程进行数值计算，用于模拟他称之为“玩具天气”演化过程中流体运动中的速度、温度、压力等物理量的变化。

那个时期，科学界对长期天气预报充满着乐观的气氛，因为世界上第一台现代电子计算机已经于1946年诞生于宾夕法尼亚大学，而“现代计算机之父”冯·诺伊曼 (John von Neumann，1903-1957) 正是形成这股乐观强气流的超级鼓风机。50年代初，他率领一批能人在普林斯顿高等研究院继续研制电子计算机，一直到他罹患癌症前，他都对计算机的发展倾注心血，顺便成了应运而生的计算数学这一学科的创始人之一，并且对数值计算偏微分方程的差分格式稳定性理论做出了基础性的贡献。他深信，随着计算机运算能力一日千里的大踏步前进，用高速计算机迅速数值求解确定大气温度、压强等宏观尺度变量的流体力学方程离散化后的大型代数方程组，就能准确预报出未来几周甚至几个月的天气状态。他甚至冀望着电子计算机很快能帮助人类控制天气。然而，冯·诺伊曼1957年英年早逝，即便像他这样的科学天才也没能预测到天气预报所依赖的偏微分方程，存在与生俱来的内在的“混沌机制”。这个机制在他离世四年后被数学基础扎实的气象学家洛伦茨给首次揭示了出来。

到了60年代初的某天，洛伦茨像往常一样走进他五楼的办公室，继续用他那台Royal McBee公司制造的八百磅重的LGP-30“台式”计算机来计算那组常微分方程初值问题的数值解。不久，这组常微分方程被他“浓缩”成三个微分方程构成的二次系统，放进了他最有名的论文里，现在的名气大得很，被起的名字是洛伦茨方程或洛伦茨系统，具体写出来就是：

dx/dt = 10(y - x),  dy/dt = x(28 - z) – y,  dz/dt = xy – (8/3)z。

算了一阵子之后，洛伦茨想休息一会儿，便暂停了计算。于是他把打印出来的目前计算结果抄了下来，作为继续计算的初始数据输入到计算机里，然后他穿过大厅下楼喝咖啡去了。

一个小时过后他回到了办公室，却注意到计算机并没有精确地重复以往根据同一个初始值计算出的老结果，这似乎不是理所当然的事。学过大学微分方程基础教程的人都知道，单个常微分方程或由几个常微分方程构成的常微分方程组有个“基本定理”，它的要点是“初值问题的解是存在并且唯一的”，意思是说，只要解函数的初始条件给定，方程或方程组有并且仅有一个解，它满足给定的初始值。这个性质与不证自明的“初始点唯一确定函数的迭代点轨道”之显然性质是一致的。按照上述基本定理，程序一样，初始值一样，计算机输出的结果也应该是一样的。难以理解的是，洛伦茨发现新的计算结果同上一次的计算结果随着时间的向前推移迅速地偏离，面目全非。经过两个月的时间后，“天气”就完全不一样了，这不是应该看到的现象。细心的他将信将疑地重新算了几次，类似的现象在反复试验中总是出现。他的脑海里出现了第一个判断：糟糕，计算机坏了。

然而，检查机器后他发现计算机并没有问题。就在那个时刻，洛伦茨突然明白了个中原因。这个顿时的觉悟所引申出的观念突破，借用美国科学记者格莱克 (James Gleick，1954-) 在其入围普利策奖的科学报告文学Chaos：Making a New Science (《混沌：开创一门新科学》) 中写下的一句评语，“播下了一门新科学的种子。”洛伦茨这个无意之中的满盆收获，表面上看虽属于偶然发现，仿佛是一个人们常常经历的随机事件，本质上实属必然结果，是他作风严谨的科学态度和经历过广泛数学训练的双重效应，纯粹是瓜熟蒂落，水到渠成。这和上一个世纪英国细菌学家亚历山大·弗莱明 (Alexander Fleming，1881-1955) 于1928年秋培养细菌时偶然发现盘尼西林一样是偶然性与必然性的完美结合。

原来，当时的计算机内存中，计算后的数据仅仅保持六位小数，而打印结果时为了节省纸张，只打印出经过四舍五入后保留的三位小数，比如0.123456打印成0.123，0.456789打印成0.457。洛伦茨在去喝咖啡前从打印纸上抄下的数据只有三位小数，与算到这个时刻的实际计算结果仅仅相差不到万分之五，但他再输进计算机的只有三位小数的初始值，其对应的新的随着时间推移的计算结果和原先预期的计算结果发生了越来越大的偏差，这真是一个非常奇怪的现象，与人们通常的观念相悖。

人们习以为常的观念是：小的输入误差也会保证小的输出误差。这是物理、几何及工程技术测量的基础。任何测量都有不可避免的误差，但只要误差是足够地小，结果就应该是足够地精确。譬如要算出一个长方形的面积，经验告诉我们，只要两个边长量得足够精确，算出的面积就足够令人放心。

但是，有的时候很小的输入误差也会导致很大的输出误差。比方说，如果我们用天文望远镜来观察远在天穹的中国空间站天和核心舱，望远镜的仰角即便存在极其微小的偏差也会把目标定格在茫茫天空中相距空间站甚远的另外一处地方。原因非常简单：地球观察点与空间站之间的距离，作为由于角度测量的误差导致弧长计算的误差之圆弧半径这个“放大因子”，实在是大得不得了。

即便放大因子不算太大，持续不断的放大也会导致“聚沙成塔、集腋成裘”的效果。一个简单的数学迭代游戏如下：取一个在0和1之间的数，将之加倍。如果结果还是在0和1之间，就得到下一个数，再做同样的事；如果结果大于1，就砍掉它的整数部分，得到下一个数，再做同样的事。如此这般地迭代下去永不停歇，就生成一个无穷数列，其中的每一个数都在0和1之间。实际上，这就是对“逐片线性函数”f(x) = 2x(mod 1)进行迭代，这里的记号mod表示对位于1和2之间的小数进行“砍头留尾”的操作。作为例子，如果第一个数取为1/13，那么它后面的数依次是2/13, 4/13, 8/13, 3/13, 6/13, 12/13, 11/13, 9/13，等等。如果第一个数有了1% 的误差，那么第二个数的误差就加倍为2%，第三个数的误差大到4%，以后依次增加到8%, 16%, 32%, 64%，等等。这样，第七个数的误差就比第一个数的误差放大了2⁶ = 64 倍。每次数值都放大一倍的变量，其绝对值递增的速度快到令人目瞪口呆，例如放大一百次后的增加倍数2¹⁰⁰远远超过10的25次方，这个数大得吓人，全世界的黄沙数比它小不知多少倍，就像俄罗斯裔美国物理学家乔治·伽莫夫 (George Gamow，1904-1968) 的科普名著《从一到无穷大——科学中的事实和臆测》中一开头那个智者戏弄富翁的“大数故事”所讲的那样。

洛伦茨在他的计算中看到了一类微分方程的解曲线“对初始值的敏感依赖性”。他终于领悟到这一异常现象根植于天气预报所依赖的微分方程组的这个内在特性，而不是什么计算过程中的舍入误差在从中作祟。后来，在1993年出版的《混沌的本质》这本书里，他再一次回忆到自己当时的想法：

“如果实际大气的形态像这一简单模式的话，那么长期天气预报将是不可能的。温度、风以及其他和天气有关的量，确实不能精确地测量到三位小数。即使能够这样，但在观测点之间进行内插也不能达到类似的精确度。我有些激动，并且很快将我的发现告诉了一些同事。最终，我确信小的差别的放大是缺乏周期性的原因。”

洛伦茨由此得出结论：“一个确定性的系统能够以最简单的方式表现出非周期的性态。”后来，他把自己的后续发现和分析写成了论文《确定性的非周期流》(Deterministic Nonperiodic Flow)，发表在美国气象学会的《大气科学杂志》(Journal of the Atmospheric Sciences)出版于1963年的第二十卷第二期上，这篇文章迄今已被引用了超过27000次。他的如下断言无情地击碎了幻想长期天气预报一劳永逸的美梦：“由于天气观测存在自不待言的非精确性和不完全性，长期、准确的天气预报将是不可能的。”

日后，洛伦茨将这一现象形象地比喻成“蝴蝶效应”，放到了他1979年12月29日在美国科学促进会上的演讲题目中：“可预见性：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀会在得克萨斯引起龙卷风吗？”作为有趣的小插曲，更早几年他原先想用的比喻动物是飞翔在大洋上空的更壮观的“海鸥”，但请他演讲的一场会议主持人未能核实就在标题中写上“蝴蝶”而丢弃了“海鸥”，从此“蝴蝶效应”取代了“海鸥效应”而登上混沌的历史舞台。

这里也必须提及两位女士的名字，她们是玛格丽特·汉密尔顿 (Margaret Hamilton，1936-) 和艾伦·费特 (Ellen Fetter，1940-)，在2019年的一篇文章《隐藏的混沌女英雄》(The Hidden Heroines of Chaos) 中，作者讲述了这两位计算机科学家鲜为人知的非凡故事。作为数学系的本科毕业生，她们年轻时一前一后为洛伦茨工作当程序员，汉密尔顿1959年加入他的小组，两年后因参加另一个项目而离开，但走前帮洛伦茨雇来了费特。

那些年，她们都为洛伦茨的开创性数值发现混沌有相当贡献，以至于洛伦茨曾在一篇论文的最后向前者致谢：“The writer is greatly indebted to Mrs. Margaret Hamilton for her assistance in performing the many numerical computations which were necessary in this work（作者非常感谢玛格丽特·汉密尔顿夫人协助进行了这项工作所必需的许多数值计算）.”而在1963年发表的那篇《确定性的非周期流》的致谢处，洛伦茨第一句感谢了借给他作为天气预报模型的三个对流方程的地球物理学家巴里·萨尔茨曼 (Barry Saltzman，1931-2001)，第二句是：“Special thanks are due to Miss Elen Fetter for handling the many numerical computations and preparing the graphical presentations of the numerical material（特别感谢艾伦·费特小姐处理了许多数值计算并准备了数值材料的图形演示）.”今年是混沌史上最著名论文发表六十年，我们在追溯洛伦茨丰功伟绩的同时，也应该感激这两位幕后女英雄的默默奉献。

然而，洛伦茨论文发表后的前十年，却没有在科学界引起多大的涟漪，按照格莱克在《混沌：开创一门新科学》中的说法，最初几年的文章被引用次数只是个位数，气象学家嫌他的论文太数学化，而数学家们又不大可能去翻阅大气科学的专业杂志寻找灵感。然而，当一个“媒人”在不知不觉中起到“穿针引线”的独特角色后，一位有敏锐洞察力的数学家终于“发现”了洛伦茨这位气象学家，后者的这篇杰作的每年被引用次数很快从一位数跳升到三位数，并且至今方兴未艾。

1972年的某一天，美国马里兰大学流体力学及应用数学研究所（现在的名称是“物理科学及技术研究所”）的詹姆斯·约克 (James Yorke，1941-) 教授从自己的信箱里收到他在这个跨学科研究所的同事、流体力学家法勒 (Alan Faller，1929-2022) 放进去的四篇关于流体动力学与天气预报模型的论文，文章发表于60年代初，包括《确定性的非周期流》，作者全是洛伦茨。法勒教授认为这些文章的数学味道很浓，一般的气象学家可能不愿意读，但从事微分方程研究的数学家或许感兴趣，于是他复印了许多份，塞进了他认为会感兴趣的那些人的信箱里。

约克教授和他毕业于台北新竹清华大学的博士研究生李天岩 (1945-2020) 阅读了这些文章，的确感到很有趣。他们发现洛伦茨那个常微分方程组中第三个因变量z作为时间t的函数有不规则的振动行为，并且这个函数相邻局部极大值之间存在着某种依赖关系，而这个关系从本质上讲类似于所谓的“帐篷映射”。如同它的形象化名字所揭示的那样，这个函数T的图象很像远远看过去的一顶露营帐篷，它的定义很简单：当x大于或等于0且小于或等于1/2时，T(x)等于2x，而当x大于或等于1/2且小于或等于1时，T(x)等于2(1-x)。由于它的函数图象也像一顶尖尖的帽子，帐篷映射又常被称为“帽子函数”；如下面的红色折线所示：

在接下来讲述李天岩和他的导师约克的“周期三”故事前，我们先简单介绍一下这两个人物。

约克出生在美国新泽西州的一座小城Plainfield，但是在某个装潢精美的“世界名人录”里，他的出生地却成了中国北平（上世纪40年代时的北京称谓），并说他有十个孩子。2015年，在庆祝他的弟子、我的博士论文导师李天岩教授70周岁的师生聚会上，他告诉我这是他对诸如此类的出版物所玩的一出“恶作剧”，为嘲弄这些“我帮你出名，你帮我赚钱”的出版商，他故意杜撰了自己的部分历史，其实他只养育了三个孩子。他读高中时，数学课没有一门成绩达到90分。我在他后来电邮我的高中成绩单上看到的数学考试最高分是86。然而，这个班上的中等学生却获得了全州高中生数学竞赛的第三名。他自豪地告诉我：“我在高中阶段就学会了怎样学数学。”

当约克考进私立名校纽约哥伦比亚大学后，课堂成绩依然不够漂亮。后来，当来自台湾的李天岩选了他做博士论文指导老师后，他告诉对方，“我在大学念书时没有B”，大学成绩几乎都是A的弟子以为他“全是A”，没想到老师笑眯眯地回答他：“C或C以下。”事实上，在大学的前三年，约克没有一门课拿到A，除了体育课。不过这个零记录在第四年终于被打破了，他拿到了至少一个A。虽然大学成绩单不甚争气，他却学到了许多，甚至还参加了著名的全美大学生普特南数学竞赛并做得非常之好，这帮助了他被像康奈尔大学这样的私立名校研究生院录取深造，但他却钟情于马里兰大学的应用数学研究以及那个独特的“流体力学及应用数学研究所”，便去了这所公立大学，于1966年获得数学博士学位后破格受聘留校工作。他曾担任过物理科学及技术研究所的所长和数学系的系主任，并被赋予“大学数学与物理杰出研究教授”的学校最高荣誉。他获得过的奖项中包括2003年度的“日本国际奖”。

在约克教授的个人网页上，有一句是他特地写下的：A degree in mathematics is a license to explore the universe（数学学位是探索宇宙的许可证）。作为例证，洛伦茨教授的数学学士和硕士学位确实帮助他赢得世界公认的“混沌之父”桂冠。

李天岩祖籍湖南，1945年6月28日出生于福建省沙县。他的父亲早年留学日本东京帝国大学医学院，获得医学博士学位，1934年回国任教湖南省湘雅医学院，先后担任过福建省省立医院和福建省省立医学院的院长，1948年去了台湾。李天岩及两个兄长很快随母亲与父亲团聚，从此他在祖国宝岛接受教育，1968年考入在台湾恢复建校的新竹清华大学，为数学系的首届毕业生。读大学时，他成绩名列前茅，兴趣宽广，全面发展，既是校足球队队员，又是校篮球队队长。1968年李天岩本科毕业，按国民党政府的规定服兵役一年，第二年他赴美国马里兰大学数学系攻读博士学位，不久就通过博士资格考试，跟随约克教授做博士论文。据他在晚年佳作《回首来时路》中说，大学成绩单很不漂亮的约克查到李天岩无比漂亮的清华成绩单时“显然吓了一跳，以为是那路杀来的武林高手”，然而作者在文中却认为他对数学的认知和品味以及怎样做学术研究，都是拜约克之巨大影响所赐。

1973年3月的一个星期五下午，博士生李天岩来到约克教授的办公室，因什么“烦恼”的心结想向导师吐一吐“苦水”，但约克毫不理会他说的是什么，劈头就来一句，“I have a good idea for you!（告诉你一个好想法！）”这个想法就是约克从洛伦茨的文章中获得的灵感，它已在约克的头脑中直观地凸现，形成了一个数学猜想，但他却未能予以证明，所以他要请自己“微积分武功高强”的弟子试一试证实它或证否它。在那段时间里，李天岩一直在做常微分方程方面的研究，导师收他为徒后下达的第一个任务就是研究抽象空间常微分方程的初值问题，所以学生以为老师所说的“good idea”是关于微分方程研究的一个漂亮点子。

在美国，学生与老师常常“没大没小”地互开玩笑，因为在中国盛行了两千多年的古训“师道尊严”在这个“年轻气盛”的国度从未流行过，大学里大行其道的是“真理面前人人平等”。李天岩半开玩笑地回应了导师一句问话：“Is your idea good enough for the Monthly?（你的想法是不是好得可以上《月刊》?）”

Monthly是The American Mathematical Monthly（《美国数学月刊》）的简称，它是全世界读者人数最多的数学杂志，但也是一本读者对象主要是大学生及他们的老师的阐述性期刊。美国几乎每所大学或学院的数学系和学校图书馆都订阅这个数学好的大学本科生大都能看得懂的浅近杂志，但对美国的优秀大学生正餐之外“吃小灶”的这种数学教育法有盖世之功的这一本极佳刊物，对投稿文章作者的英文写作要求极高，拒稿率在百分之九十五左右，不写成阐述性而是以研究性专业杂志可以接受的“定义、引理、定理、推论”八股格式作文，统统都被枪毙，无论其数学内容多么漂亮。《月刊》是美国数学协会 (Mathematical Association of America) 旗下的几大通俗刊物之一，其他的如《高校数学杂志》(The College Mathematics Journal)，对写作风格也有同样的要求，我曾在这个期刊上登过一篇文章《指数函数的动力学》，主编不厌其烦地帮助我修改词句，来回润色加工。文章从投稿到发表历时将近三年，最后的定稿面貌焕然一新。

当李天岩从约克嘴里听到用数学语言不难表达的“good idea”之后，来办公室之前的不爽心情顿时烟消云散，马上感慨地说了一句:“It would be a perfect work for the Monthly!（这对《月刊》而言将是一篇完美之作！）”回到自己的研究生教学助理办公室后，他开始认真琢磨导师从气象学家数值天气预报的论文里提炼出的那个数学猜想：如果一个连续的将定义域区间映到自身的函数具有周期为三的周期点，那么它的无穷次迭代过程既有以同自然数一样多的周期轨道为代表的有序性态，也有以比自然数还要多的非周期轨道为特征的无序性态。他进入了试图证明它是对的状态之中。

约克没有看错人，两个星期过后，李天岩通过巧妙地重复运用微分学里关于区间上连续函数的介值定理，严格证明了约克的想法为真。“介值定理”又称“中间值定理”，它指出如果f是一个定义域为闭区间[a, b]的连续函数，则对严格位于f(a)和f(b)之间的任意实数d，都存在属于开区间(a, b)的一点c使得f(c) = d。这个定理在几何上看是很显然的：连接位于一根直线两旁各一点的任何连续曲线必定会经过这根直线。它的一个特殊情形是：如果两数f(a)和f(b)异号，即f(a)f(b) < 0，则在(a, b)内一定存在一点c使得f(c) = 0。这个特殊结论推出两个断言。第一个是拓扑学中著名的布劳威尔不动点定理在最简单的区间情形时的特例：如果连续函数f将定义域[a, b]映到自身内，即f的值域包含在定义域之中，那么f在[a, b]中一定有不动点；这是介值定理的直接推论。第二个是：如果f的值域包含定义域[a, b]，则 f在[a, b]中也有不动点；这是李天岩为了证明约克的猜想而发现的一个全新的不动点定理，在定理条件里只须将第一个定理假设中的定义域-值域包含关系换成反向包含关系。我在之前的文章中提到，不动点在几何上的意义就是函数图象与xy-坐标系对角线y = x的交点坐标。读者只要画出满足上述两个命题各自条件的函数图象，马上就能发现该曲线必定与对角线相交而得到不动点。

李天岩还需要一个结果方能完成导师的重托，于是他干脆也把它证明了出来：设f为定义域为闭区间J的连续函数且闭区间[a, b]包含在值域f(J)之中，则J包含一个闭区间K使得f(K) = [a, b]，即[a, b]是K在f下的像。读者也不妨画出f的图象，找到对应于值域中某个给定区间[a, b]的那个闭区间K。

通过首先建立以上的几个预备结果，李天岩最终证明了如下后来名满天下的定理，该定理现以约克和李天岩师徒二人的英文姓氏按照西方通用的数学文章首字母排序署名法“Li-Yorke”命名：

李-约克定理     设f是一个连续函数，将定义域区间映到自身。若它有周期为3的周期点，则

(i)对任一自然数n，f有一个周期为n的周期点。

(ii)存在定义域内的一个不可数的子集A，它不包含周期点，使得对A中任意两个不同的点x₀和y₀，分别从它们出发的对应迭代点的距离数列|fⁿ(x₀) - fⁿ(y₀)|当n趋向于无穷大时，其下极限为0，而上极限大于0。

(iii)对A中任意一点x₀及f的任一周期点p，分别从它们出发的对应迭代点的距离数列|fⁿ(x₀) –fⁿ(p)|当n趋向于无穷大时，上极限大于0。

定理中的几个数学术语实在太专业、太高深，连我都不想这样写。但本文已够长了，应该让读者休息一下，等我在下一篇文章中浅显地解释它们，并用初等语言让读者信服，为什么连续函数有周期-3点就保证有周期-n点。