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本文出自菲尔兹奖得主、剑桥大学数学教授蒂莫西·高尔斯(Timothy Gowers) 主编的《普林斯顿数学指南》中的Advice to a young mathematician 一文。《指南》是一部独具特色的高水平著作,介绍了很多 20 世纪的数学,且都出自数学大家之笔。该文是阿蒂亚、孔涅等当代五位顶级数学家根据自己的数学研究经验,对后辈新人给出的忠告——一些宝贵的经验性建议。令人惊喜的是,它们很少有重复。虽然这些话是针对数学新手而说的,但相信它们值得任何年纪的数学家阅读。日前,我们已刊发过英国数学家阿蒂亚爵士和匈牙利裔英国数学家Béla Bollobas以及英国女数学家杜萨·麦克杜夫的建议,今日奉上著名的法国数学家阿兰·孔涅(Alain Connes)的部分。

撰文 | Alain Connes

翻译 | 陈跃(上海师范大学数学系副教授)

来源 | 《数学文化》

阿兰·孔涅(Alain Connes, 1947-),法国数学家,在非交换几何学方面的工作对理论和数学物理有重要影响。他是 1982 年菲尔兹奖获得者。

数学是现代科学的支柱,它是许多新概念与新工具的相当有效的源泉,借助于这些新概念和新工具,我们才得以理解置身其中的“现实世界”。这些新概念本身就是人类思维这个蒸馏器经历长期“蒸馏”过程的结果。

我被要求写一些对于年轻数学家的忠告。首先我感到每一位数学家都是一个个特殊的案例,总体来讲数学家们都倾向于成为(喜欢独立的)“费米子”,即他们尽量避免在太大众化的领域里做研究,而物理学家们的表现则更像(群居的)“玻色子”,他们组合成很大的团队,并经常“过分夸大”他们取得的结果——这种态度是会被数学家们鄙夷的。

人们一般总是首先将数学划分成一些相互独立的分支学科,例如几何学、代数学、分析学、以及数论等等。其中,几何学主要是试图理解“空间”的概念,代数学主要研究字母符号的操作艺术,而分析学则主要关注涉及“无穷”与“连续”的对象等等。

但是,这种看法与数学这门学科的一个最重要的本性相违背,即把上述那些分支学科中的任何一个在不剥离自身本质的前提下从其余的分支中独立出来是根本不可能的。实际上,整个数学就像一个完整的生命体,只有在结为一体的情况下才能生存,如果它被分割成若干不相连的部分,那么它就会消亡。

数学家们的研究生涯可以被描述成是在“数学的现实世界”王国里的一次探险旅行,他们用自己的知识架构逐步揭开它的神秘面纱。

这个过程往往开始于对现存书本上关于数学王国的教条描述的不满与反叛。想要成为数学家的年轻人开始意识到,他们自己关于数学世界的看法已经抓住了数学的某些特征,而这又与已有的教条不相符合。在大多数的情况下,这种初期的反叛来源于无知,但却不无益处,因为它可以帮助人们从对权威的敬畏中解放出来,使得他们可以依靠他们的直觉,并且用实际的证明来支撑他们的直觉。一旦一个数学家真正开始了自己的研究并获得了解,哪怕是以一种非常原始和“个人化的”方式,或者是处在数学世界的一个非常狭小的领域里,并且无论初看起来是多么怪异[1],那么这个探险旅行实际上就已经开始了。当然,很重要的是不要去打破“阿莉阿尼线团”[2]:在始终保持用一种新鲜的眼光看待旅途中遇到的各种问题的同时,还能够在一次次感到迷路的时候回到出发点。

同样重要的是,一直保持对各种数学的兴趣。否则,我们就会冒着一种风险,将自己完全局限于一个已经被高度技术化了的非常狭小的领域里,从而限制了我们对于巨大的变幻莫测的数学世界洞察力的发挥。

在这方面最基本的要点是:尽管有许多数学家毕其一生在探索数学世界中各不相同的领域,而且看问题的角度是那样的不同,可是他们都同意他们其实是在研究同一对象的各个不同部分。不管我们各自旅行的出发点在哪里,总有一天,当我们走了足够长的距离后,会发现大家都不约而同地走到了数学王国的同一座著名城堡:例如椭圆函数、模形式、或者zeta函数等。“条条道路通罗马”,数学世界也是相互连通的。当然这并不是说数学的所有各个部分都是相似的,在这里很值得引用格罗腾迪克(在《收获与播种》一书中)对分析学与代数几何学所作的比较,前者是他最初涉足的研究领域,而对后者的研究则耗尽了他之后数学生涯的全部心血:

我仍然记得这种强烈的印象(当然完全是主观的),就好象我自己从贫瘠的荒野转瞬间突然来到了“神所授予的”富饶土地,它们无边无际,你可以尽情地在其中探究,施展自己的身手与才华。

大多数的数学家们都很务实地将自己看成是这个“数学世界”的探索者,他们并不是很关心它是否真的存在,他们只是用自己的直觉以及大量的理性思维来揭示这个数学世界的结构。这种直觉离所谓的“理想化的愿望”并不太远(就像法国诗人Paul Valery所强调的那样),而大量的理性思维则需要高度集中的思考时间。

每一代数学家都构建了反映他们自己对这个数学王国理解的智力图景。他们建造了越来越敏锐的智力工具,这样就能够来开发先前未被发现的各种研究领域。

真正有趣的事情是:在数学王国的各个不同的领域之间找到了意想不到的联系桥梁,这种联系在前辈数学家们的智力图景中还是显得非常模糊和遥远的。而当这种情形产生时,就像突然之间一阵清风吹散了笼罩在我们美丽大地上的迷雾。在我自己的工作中,这种类型的巨大惊喜常来自于与物理学密切相关的数学研究。数学概念很自然地来源于物理学,这已经成为了一个基本共识,就像阿达玛 (Hadamard) 所曾经指出的那样。对他来说,他们所展示的不仅仅是短暂的能让数学家们晕头转向的新奇小技巧,而是那种从事物本身涌现出来的真正富饶多产的新颖。

下面我将用一些比较“实用”的忠告来结束这篇短文。只是要注意每一位数学家都是一个“特殊的案例”,不用太在意这些忠告。

散步  当你正在与一个非常复杂的问题搏斗时(常常涉及计算),一个非常明智的练习是出去走一段距离很长的路(不带纸和笔),一边走一边在脑子里做计算,不用担心这初看起来是否“太复杂了,不可能这样做”。即使不成功,也能够训练超人的记忆力和不断完善自己的方法。

躺下  数学家们一般很难向他们的同事解释,他们研究工作最辛苦紧张的时刻竟然是他们在黑暗中躺在沙发上的时候。很不幸的是,随着e-mail和电脑屏幕侵入所有的数学研究机构和场所,将自己完全孤立起来、从而集中心思的弥足珍贵的机会就变得十分稀少了。

再勇敢些  在通向新的数学发现的过程中,一般有好几个阶段。尽管处在后面的只需要我们理性与专心的(证明与计算)核查阶段的工作量大得惊人,但相比较而言,位于前面的更加富有创造性的(探索与构思)阶段则完全不同。在某种程度上,这个探索阶段还需要一种你对自己无知的保护意识,因为总是有千万个理由叫我们不要盯在那些其他许多数学家们都没有解决的问题上。

挫折  在数学家们的研究生涯中,包括很早的时期,他们会不断收到来自竞争者们的论文预印本,这时他们会因为落后而感到倍受打击。在这里我所能给出的建议是,应当努力将这种挫败感转化为鼓励你更加勤奋工作的前进的动力。然而这做起来并不容易。

怀有妒忌的认可  我的一个同事曾经说,“我们(数学家)的工作,说到底就是为了得到几个朋友的怀有妒忌的认可。”确实,由于我们的研究工作本质上讲还是相当冷僻孤立的,所以不幸的是我们总是以各种方式极度渴求这种认同感,可是坦率讲我们不应该期望过高。实际上,真正的判断来自于自己。没有人能比自己更明白自己所做的工作究竟是什么,过分地担心在乎别人的看法是在浪费时间:因为迄今为止还没有一个定理是通过被选举出来的方式获得证明的。就像费曼 (Feynman) 曾经说过的那样,“你为什么要在乎别人怎么想?”

注释

[1]我自己最初的出发点是研究多项式根的分布问题。幸运的是我在很小年纪就被邀请参加在西雅图举行的一次会议,在那里我受到引导,后来我所有的在因子理论方面的工作都起源于此。[2]阿莉阿尼是古希腊传说中的克里特国王弥诺斯的长女。国王养了一头怪物,每年要吃七对童男童女。雅典王子忒修斯决心到岛上的迷宫里除掉怪物。在进迷宫前,他偶遇阿莉阿尼公主,公主爱上了他,交给他一个线团,让他将一端放在迷宫外,一端拿在手中,以免迷路。忒修斯杀死怪物后顺线走出迷宫。 

本文摘自原载于《数学文化》第4卷第2期的《给年轻数学家的忠告》,经译者授权刊发。

 

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溯源守拙·问学求新。返朴,致力好科普。

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