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“在AI时代,人类是否再需要爱因斯坦”成为一个谜题。因此,大量的年轻人以巨大的热情投身到无限的调参运动之中,以工业生产线的模式批量生产论文。而这些论文,人类无法理解其运作机理,也无从判断其优劣,似乎学术论文发表与商业广告模式相混淆。很多传统的学科方向已经面临后继无人的危机。

撰文 | 顾险峰(纽约州立大学石溪分校计算机科学系和应用数学系终身教授,清华大学丘成桐数学科学中心客座教授)

最近清华大学举行了2023年本科生特等奖学金答辩大会,竞争异常激烈。我收到了清华党委学生部寄来的《一封清华学子的来信》,信中说道:“还记得在高中的时候,我们就听过‘清华大学特等奖学金’,不少人称之为‘神仙打架’。在学习学长学姐们神仙事迹的同时, 也让我们在心底默默种下了‘我要上清华’的种子。如今来到园子里,褪去了高考时的光环,我们仍在不懈努力, 朝着梦想奋斗。而您,作为清华大学特等奖学金的获得者,是我们的前辈和榜样。非常期待此时能和您聊聊天,听听您身上的故事。” 这令我非常汗颜,虽然多少年来锲而不舍,苦心孤诣地钻研拓扑几何,但是成果乏善可陈,很多核心的理论问题久攻未克,感觉愧对江东父老。回顾在清华的求学生涯,我得到了很多良师益友的帮助,留下了非常美好的回忆。在此我总结一点经验教训,希望能够对学弟学妹们有所裨益。

理工兼修

我觉得大学期间最为重要的事情就是找到学术上的“真爱”,从而确定终生奋斗目标。我1989年入学计算机科学与技术系的时候,计算机系的前辈教授们高瞻远瞩,制定了计算机科学理论专业。据班主任黄连生老师后来的解释,前辈们认为计算机科学将迅猛发展,从而必然需要将现代数学的理论与方法融入到计算机科学之中,而设立这一专业的目的就在于培养兼通基础数学与计算机科学的人才,为未来布局。

我非常幸运地被黄老师选中进入理论班,同时学习基础数学和计算机科学。陈天权教授教授我们数学分析,使用莫斯科大学卓里奇教授撰写的教材。开学伊始,我们就接触了抽象的现代概念,例如函数的芽层;同时我们在计算机课程中学习递归算法,例如求解八皇后问题。我从经济文化相对落后的偏远地区来到北京,刚开始接触递归概念,百思不得其解,但是很快掌握了其内在原则,使用起来也得心应手。但是我直到十数年后才真正理解层论的精髓,时至今日,层的上同调已成为我学术研究的一项利器。

当时我的同学们在计算机编程技巧方面突飞猛进,但是数学理论建构方面依然无法登堂入室。基础数学中的抽象概念非常难以理解,卓里奇将很多历史上的经典定理证明作为作业,艰涩繁难,糜费时光。气馁之余,很多同学向系方提出抗议,他们认为计算机专业的学生们没有必要学习“无用”的基础数学,而应该加强“实用”的计算机技巧。有些同学抗议未果后,甚至愤而转班。数十年后,有些转班同学目前在华尔街工作,生活优渥,跻身金融权贵,似乎不理解层的上同调理论也无碍于求职工作。相反,另一位同学酷爱数学,天资聪颖,悟性极高,他一直潜心修炼,数学内功达到一定境界。他本科毕业论文就是用流形理论来做语音识别,后来到卡耐基梅隆大学攻读博士,继续用数学来研究人工智能,目前也在华尔街工作。似乎世俗世界并没有特殊优待纯粹数学。当时我也很惶惑,一方面敬畏于现代数学的晦涩艰深,另一方面也怀疑实用主义的价值观念,倾向于认为人生重大决定应该目光长远一些。

但是,依随学业的深入,数学修养的加深,计算机技巧的掌握,特别是阅历的增长,我逐渐体会到了理科思维与工科思维的巨大差异:理科的目的在于解释自然,追求真理,工科的目的在于改造自然,推进发展。工科的尽头是理科,理科通过工科改变世界。

工科的尽头是理科

当时计算机系的孙家广院士承担国家重大科技项目:国产CAD系统的研发,因此系里开设了计算机辅助设计相关的大量课程,详尽地讲授几何建模、样条表示、图形渲染、计算几何等相关理论和算法。虽然课程内容丰富而又深入,我却发现最为根本的问题并没有涉及,宛若屋中的大象,大家都视而不见:首先,为什么我们无法自然地在高亏格曲面上构造高阶光滑的样条曲面?其次,张量积样条依赖曲面的规则四边形网格剖分,为什么规则网格生成必须依赖手工而非自动完成?而这等价于另一个数学问题:规则网格剖分依赖于奇异点的构型,那么是否存在网格奇异点构型的控制方程?当时很多同学都在做CAD项目,每天都在热火朝天地讨论形形色色的底层算法,充满激情地编写代码,但是对于CAD系统的理论缺陷却都视而不见。

开始的时候,我以为自己提出的问题过于幼稚肤浅,以至于无人理睬,后来才发现这些问题是过于困难,超出了工科的认知范围。而整个汽车、航空、船舶工业都是基于CAD系统,无数人投身其中,忙于应付实践中出现的各种现实工程问题,反而无人深入考虑CAD的理论基础。我当时的学识非常有限,无法回答这些根本问题,后来才认识到这些问题的回答需要现代数学。

真正的契机在于陈省身先生的一次访问。陈先生特意给理论班和数学系同学做了一次报告。报告伊始,陈先生就批评偌大的清华竟然无人教授代数拓扑,然后讲解纤维丛的示性类理论,从拓扑障碍类到Gauss-Bonnet定理,直到陈省身示性类。我那时才知道有一门学问叫做“代数拓扑”,可是翻遍当时的清华图书馆也没有找到合适的教材,最后在图书馆的垃圾堆中发现一本江泽涵的《不动点类理论》,扉页上盖着巨大的章印“注销”。而正是通过自学这本书,我才开始接触代数拓扑的理论,但是囫囵吞枣,理解肤浅。后来,有幸成为丘成桐先生的弟子,得到丘先生亲自的教导,才逐渐深入理解。特别是丘先生多次教我微分拓扑中的Hodge理论,成为计算共形几何的发轫。

时至今日,在我的日常科研教学中,须臾离不开代数拓扑算法和Hodge分解算法。多少年后,我才意识到上面关于CAD理论基本问题的解答就在于纤维丛的示性类理论。在CAD系统中,传统样条的构造依赖于仿射几何不变量(blossom理论),而一般闭曲面由于拓扑障碍不存在整体仿射结构,因此传统样条理论无法自然推广到曲面上面。而曲面的四边形网格本质上是黎曼面上某种全纯线丛的整体亚纯截面,网格奇异点构型恰是全纯线丛的示性类,满足经典的Abel-Jacobi方程。

在过去的30年间,这些问题并没有引起CAD/CAE领域的足够重视。但是近期以来,工业软件重新回到科技舞台的中央,相信这些奠基性的理论突破能够催生新一代的CAD/CAE算法。这个经历使我真切体会到工科的尽头是理科。

理科通过工科改变世界

另一方面,在清华的学习过程中,我发现虽然现代数学理论博大精深,抽象深邃,但是它们与真正应用之间相隔一条巨大的鸿沟。拓扑与几何中有大量美轮美奂的宏大定理,理论上具有无可比拟的巨大意义,但是无法直接应用。不懂理论者认为夸大其词,深懂理论者扼腕痛惜,由此将抽象的几何理论,从光滑流形推广到离散结构,将理论转换成算法,具有重大的意义。

我曾经亲历了一件事情,感触颇深。学习过现代几何的同学都知道,几何中的核心概念是黎曼度量,绝大多数微分几何问题(也包括低维拓扑,例如庞加莱猜想)最终都归结为求取某种特殊的黎曼度量。学习过工程力学、应用数学的同学也都知道,目前求解数值偏微分方程的主流方法是有限元、有限体积、水平集法等等,但是这些方法都无法用于有效地计算黎曼度量,因此黎曼几何、微分几何的大量理论无法应用于实践。我在清华求学期间,一直困惑于如何设计一个算法能够通过Gauss曲率求得黎曼度量,但是茫无头绪。我不知道是否存在相应的数学理论,也无法想象这一算法的实用场景,不知向谁求教,也无人可以讨论。

后来我有幸成为丘成桐先生的弟子,开始接触Ricci流理论。丘先生创立了几何分析学派,通过求解微分方程来解决几何问题。多少年后,我终于领悟到:与代数几何方法相比,几何分析方法更加适用于计算机科学。当时,长达数年间,有一位哈密尔顿教授几乎每个周末都从纽约飞到波士顿,与丘先生在哈佛大学数学系馆中不分昼夜地讨论。这位教授目若朗星,潇洒倜傥,与传统数学家的形象大相径庭。我当时非常好奇,后来才知道他就是Ricci流的发明人。

当时,有不同流派尝试证明庞加莱猜想,例如Thurston学派的偏拓扑方法、 丘先生和哈密尔顿坚持的几何分析方法等。丘先生与哈密尔顿教授都认为Ricci流是解决庞加莱猜想的终极利器,并且他们已经迫近最终的证明,最终的障碍是所谓的“雪茄”型奇异点,因而不舍日夜地研讨。后来Perelman排除了雪茄型奇异点的存在性,给出了庞加莱猜想证明的梗概。这是几何分析学派的又一次伟大胜利,从而再次证明了丘先生惊人的数学洞察力。我从中了解了Ricci流的巨大威力,并且坚信这将是计算黎曼度量的关键理论工具。传统的Ricci流理论是建立在光滑流形基础之上的,而计算机领域所有的流形都用离散组合结构来逼近,因此将Ricci流理论推广到离散流形成为我的研究重点。

在丘成桐先生的指导下,我与很多数学家深度合作,花费十数年建立了离散曲面Ricci流的理论,发明了实用算法。当年,在清华孙家广院士为大家讲解CAD原理,他提到世上最为困难的程序是计算平面两条曲线的交点。当时,这令我大惑不解。孙院士解释到理想的几何算法都假设每一步计算都具有无限的精度,而现实中,每一步计算机器精度都有限,这为几何算法带来实质性困难。虽然我们证明了离散Ricci流解的存在性、唯一性和收敛性,但是在编写实用算法中,我们遇到的最大困难就是有限的机器精度。为了克服这个困难,算法设计非常迂回曲折,需要大量的工程技巧。

目前,离散曲面Ricci流算法是唯一的算法可以通过曲率计算黎曼度量,从而实质性地超越了传统有限元算法的局限。曲面Ricci流已经广泛应用于医学图像、计算机图形学、CAD/CAE等领域,例如虚拟肠镜、曲面参数化、网格生成等。我和合作者们的虚拟肠镜专利曾经授权给西门子公司,通过西门子的营销网络,我们的虚拟肠镜算法已经遍布全球,真正拯救了很多人的生命。目前,工业软件再度兴起,我和合作者们都认识到工业软件底层核心问题的解决离不开纤维丛示性类理论和Ricci流理论,一方面我们期待离散曲面Ricci流算法、Abel-Jacobi算法能够从根本上推动这一领域的发展;另一方面,我们也发现工业软件领域的某些核心问题需要更为有力的数学方法,如果我们用相对肤浅的拓扑理论,那么算法将具有指数级复杂度,从而现实不可解;如果我们细致分析问题,我们遇到一个关键的群是非阿贝尔群,传统的纤维丛示性类理论无法直接应用,我们必须发明新的数学工具才能彻底解决。多年以来,我们一直在追根溯源,孜孜以求。

对学弟学妹们的期待与建议

多少年来,我在世界各地遇到了很多清华同学和校友。无论何处,清华人给其他人的感觉都是具有令人恐怖的工程能力,和强大坚韧的心理抗压能力。我想这是和清华特殊的人文环境和超高强度的工程训练有关。我刚入清华的时候,周围的同学们都是各省各市的状元、榜眼、探花,都是出类拔萃的学术精英。大家都是打遍天下无敌手,人生从未输过的佼佼者。突然来到高手如云的清华园,各种精神打击接踵而至,大家都承受着巨大的心理压力。当时有北京当地的同学宣称:“将这么多优秀的人聚集在一起,这是一个错误。”大学期间的第一次新生大会,张孝文校长的一番开导令人茅塞顿开。张校长以自己跌宕起伏的人生为例,劝告大家“对自己要感情粗糙一些”。我觉得那时的教育体系引入了相对残酷的高考竞争,从而强化了学子们的竞争意识,反而弱化了大家追求学问的初心。我们进入大学的终极目的在于追求学问,学习知识,而非与他人排名竞争。希望学弟学妹们,能够在松静自然的状态,高效学习艰深的现代理论,这需要戡破自身的虚荣心。

同时,很多同学选择的专业并非出自天然的热爱,而是为当时的世俗价值观所裹挟,真正的目的是专业后面的利益和名誉,因而学术层面无法前行太远。我求学的时候,计算机科学方向极其热门,基础数学方向门可罗雀。但是通过一个阶段的学习,我体会到数学世界结构的精妙而深邃,壮美而统一,其深刻程度超越一般的工程思想。因此,我很快确定了几何是我的“真爱”。但这带来了更深层次的焦虑,那就是:我是否有足够的才华,能够真正做出自己的贡献。在基础科学领域,能够青史留名的都是天纵奇才。如果一个资质平庸的年轻人,仅凭一腔热血而投身其中,是否会落得一事无成,抱憾终生?当时向师长求教,陈天权老师说一个年轻人只要保持刻苦努力,总会有所成就。

经过多年的感悟,我现在觉得每个时代人类都会面临新的挑战,都会有新兴学科出现,每个人都有自己独到的才华,只要努力追求,终将会响应时代的呼唤,做出实质性的贡献。传统数学家的目的在于“看穿他人无法看透的自然结构”,而我所处的时代是计算机崛起的时代,时代的发展要求我们“算出他人无法计算的自然结构”,而这就成为我追求的目标。后来,丘先生有一次谈到如何衡量一个学者的贡献时提到“或者证明了新的数学定理,或者写出了无法取代的实用计算机程序”,而大量的平庸者都是介于两者之间,无法企及任何一端。这曾经给我巨大的精神鼓舞,使我确定了自身的努力方向:那就是应用现代数学,发明新的算法,实质性推进计算机科学的前沿!因此,希望年轻的学弟学妹们,不必过于焦虑自身的天赋和未来的不可确定性,应该尽量开阔视野,学习现代科学理论,培养工程技巧,主动发现自己真正热爱的方向,寻找属于自己的新兴领域。

我后来在学术界遇到了大量的年轻人,他们都非常急于发表文章,但却不下苦功加强学术修养。特别是近些年来,计算机科学领域人工智能的兴起,使得“取消人类思想的介入”让“机器自主发现规律”成为新的价值观念,这从方法论的基础层面就否定了人类加强自身学术修养的起码要求。实际上,这在学术界造成了巨大的思想混乱,“在AI时代,人类是否再需要爱因斯坦”成为一个谜题。因此,大量的年轻人以巨大的热情投身到无限的调参运动之中,以工业生产线的模式批量生产论文。而这些论文,人类无法理解其运作机理,也无从判断其优劣,似乎学术论文发表与商业广告模式相混淆。很多传统的学科方向已经面临后继无人的危机。我自己依然秉持传统的学术价值观念,坚信在可预计的未来,在需要深刻思想、巨大创造力的学术领域内,计算机无法取代人类。希望学弟学妹们,不要迷信盲从,不要过于追逐潮流,要独立思考,目光长远,追求深刻,特别是学习艰深的前沿科学,求真求美,培养出难以被取代的核心能力。

感谢

感谢丘成桐先生的教诲,感谢黄连生老师,孙家广院士,陈天权老师,卢开澄老师等很多清华教授们的苦心栽培!感谢母校学生部岳孟坤同学的来信!祝愿更多的学弟学妹们在不同的科学技术领域取得重大突破,实质性地推动人类文明的发展,助我中华屹立于世界民族之林!

本文经授权转载自微信公众号“老顾谈几何”,原标题为“回复《一封清华学子的来信》”,“返朴”发表时略有文字修改。

 

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溯源守拙·问学求新。返朴,致力好科普。

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