前几天，我们介绍了由旧金山大学数学系教授特里斯坦·尼达姆（Tristan Needham）所著的名著《复分析：可视化方法》（见《数学家齐民友：大学本科生的数学教材应该是怎样的？》），这部书开创了数学领域的可视化潮流。

近期，同作者的另一本同系列数学名著的中译本《可视化微分几何和形式》上市了。本书以五幕数学剧的形式直观地讲述了微分几何和微分形式，包括“空间的实质”“度量”“曲率”“平行移动”和“微分形式”。本书作者挑战性地重新思考了微分几何和微分形式这个重要数学领域的教学方式，只需要基本的微积分和几何学知识即可阅读本书。

撰文 | [美]特里斯坦·尼达姆（Tristan Needham）

翻译 | 刘伟安

来源 | 《可视化微分几何和形式：一部五幕数学正剧》之“序幕”

与魔鬼的灵魂交易

更糟糕的是，这些计算，因为遭受“指标的滥用”（debauchof indices，这个短语是埃利·嘉当在 1928 年创造的，他是我们这部数学剧的主角之一），通常很令人头痛。如果学生执着而且大胆，教授就可能不得不面对一个直率得令人尴尬的问题：“几何到哪里去了？”

说实话，现代教科书的确也包含很多图，通常是由计算机生成的一些曲线和曲面。除了极少数例外，这些图都属于特定的例子，只是一些定理的插图，而这些定理的证明完全依赖于符号的演算。对于这些定理及其证明，这些图什么也说明不了。

本书就不一样了，我们有两个截然不同但都意义非凡的目标。第一个目标是在前四幕的主题里，把“微分几何”回归为“几何”。本书包含 235 幅手绘示意图，它们与仅靠计算机生成的例子有本质上的不同。用直观几何来解释一些令人惊奇的几何现象是我多年来一直坚持的观念，这些示意图就是这个观念的可视化典型，是我多年来断断续续但坚持不懈努力的成果。

《复分析》的前言里有一段话，在这里同样适用：“就我所知，本书中很大一部分几何的事实和论证是新的。我在正文中没有强调这一点，是因为这样做没有意思：学生们不需要知道这些，而专家们不说也知道。然而，如果一个思想显然是不同寻常的，而我又知道别人曾经发表过，我就会努力做到功归应得者。”此外，我还贡献了一些首次出现的习题，但它们并不是我的原创。

说一点儿个人经历吧（这与后面一个严肃的数学观点有关），现在这些工作的起源可以追溯到几十年前，也就是我年轻的时候。这是关于两本书的故事。

第一本书是《引力论》（Misner, Thorne, and Wheeler, 1973），它让我深深地迷上了微分几何与爱因斯坦的广义相对论。这段经历让我难以忘怀，或许是因为这是我的“初恋”。当时我 19 岁，在牛津大学默顿学院学习物理学。第一学年末的一天，在布莱克韦尔书店的最深处，我偶然发现了一本黑色的厚书。尽管我当时并不真正了解，但是我隐约地觉得这部 1200 多页的巨著就是相对论的“圣经”。可以说，这部杰作改变了我一生的进程。如果我没有读到这本《引力论》，就可能会错失跟随罗杰·彭罗斯学习（并成为一辈子的朋友）的机会，彭罗斯彻底改变了我对数学和物理学的理解。

韦斯特福尔写了一本关于牛顿的卓越传记（Westfall, 1980）。在 1982 年夏天，我简单翻阅了其中的数学部分，这激起了我强烈的好奇心。于是，我研读了牛顿的杰作《自然哲学的数学原理》（Newton, 1687，通常简称为《原理》）。这就是彻底改变我一生的第二本书。如果阿诺尔德的文章和著作以及昌德拉塞卡的著作（S. Chandrasekhar, 1995）试图道破《原理》中牛顿理论的奥秘，我这本书则是要展示牛顿方法的魅力。

曾有一个传言（我在别处也讨论过此事）称 1687 年《原理》中的结论，是牛顿利用他首创的微积分的 1665 年版本推导出来的，后来才修改为几何形式。一些研究牛顿的学者煞费苦心地否认这个传言，因为他们认为这个传言有损牛顿的形象。

事实上，牛顿最初建立的微积分是幂级数形式的，不同于我们今天在大学学习的形式——我们现在学习的是后来由莱布尼茨建立的形式。到 17 世纪 70 年代中期，在研究了阿波罗尼奥斯、帕普斯和惠更斯的思想后，已经成熟了的牛顿不再偏爱自己年轻时建立的微积分的代数形式，转而欣然接受了纯粹几何的方法。

到 17 世纪 80 年代，牛顿对于幂级数代数运算的迷恋终于让位于一种新的微积分形式。他称之为“人造的变动方法”，其中，古代数学家的几何被完全改变，再次用来研究：当几何图形不断收缩，直到它消失的那一刻的性质。这就是微积分的非算术形式才具有的优点，在 1687 年的《原理》中，我们读到的就是这种形式的全貌。

如在《复分析》中一样，我希望本书从头至尾都充分利用牛顿的方法。所以，我马上就来把它讲清楚，比在《复分析》中讲得更详细，奢望第二本书能比第一本书吸引更多数学家和物理学家采用牛顿的直觉（也是严格的）方法。

设 A 和 B 是两个变量，它们依赖于一个小的变量ε。如果当 ε 趋于 0 时，A与 B 的比值趋于 1，我们就按照牛顿在《原理》中的先例，说“A 最终等于 B”，取代麻烦的极限语言。同时，如在我以前的著作（Needham, 1993, 2014）中那样，我们将使用符号来表示这个最终相等的概念。简而言之，

根据关于极限的几个定理，可以证明［练习］：最终相等是一种等价关系，而且具有与普通相等同样的一些性质。例如：

以及

在正式论证之前，应该强调，最终相等的应用对象不仅仅是数，还可以很自然地扩展到其他一些对象。例如，如果两个三角形对应的角是最终相等的，我们可以说，这两个三角形是“最终相似”的。

我在掌握了牛顿的方法以后，就立刻在微积分入门课程中试了试自己的身手，简化了教学。后来，我又知道了怎么将它应用于复分析（在《复分析》中），现在是微分几何。尽管我可以举出任意数量的简单示例（详见 Needham, 1993），但是这里还是再次利用《复分析》前言中的那个例子，因为，不同于《复分析》中所为，这次我将利用符号来做严格论证。事实上，这个例子可以被视为将《复分析》中的大部分“解释”转变为“证明”的秘诀，只需要在关键处加入符号 。

现在我们来证明：

来看看图 0-1 吧。如果我们让 θ 增加一个（最终为 0 的）小量 δθ，则 T 就会在铅直方向上增加长度 δT，可以将其视为一个小直角三角形的斜边长，这个小直角三角形的另外两条边分别落在方向 (θ + δθ) 和 上，如图 0-1 所示。我们首先考虑当 δθ 趋于 0 时的极限，因为，所以，以 δT 为斜边的小直角三角形与以 L 为斜边的大直角三角形最终相似。接着，我们将小直角三角形放大来看，角 θ 的邻边 δs 最终等于以 L 为半径的圆周上的一段弧长，因此

于是，

据我所知，牛顿没有用过这个例子，但是不妨做个比较：牛顿的风格是几何论证，具有启发性的指引；而 300 多年后的今天，我们教学生的方式还在着重于缺乏启发性的计算！正如牛顿自己所说，几何方法更受欢迎是因为“所涉及的论证清楚简洁，结论简单，可以利用图示”。实际上，牛顿的贡献不止如此，他还帮我们改正了一个陋习：只有人造的方法才“值得公开发表”。

牛顿自己并没有用任何记号来表示“最终相等”的概念。这是因为他想利用古代数学家的几何方法，这样就不得不模仿他们的表述模式，从而导致他写出“最终具有相等的比例”，并且在证明中每次都这样用。正如牛顿自己的解释（Newton,1687, 第 124 页），《原理》是“按照古代数学家的习惯用详细的词语写成的”。尽管牛顿已经声称了两个比例是最终相等的，他还是坚持用语言来表述每一个比例。

结果就是，我不得不首先用“现代”的形式（事实上，这种形式在 1687 年已经通用了）改写和总结，才能读懂牛顿的论证。事实上，这就是刺激我在 1982 年引入和使用符号的“催化剂”。

我认为，牛顿没有选择引入一个符号来表示“最终相等”是一个失误，这个失误导致了数学发展的一个悲剧性结果。当莱布尼茨用符号解释的微积分横扫天下时，牛顿更具洞察力的几何方法被扔到了一边。几个世纪以来，只有屈指可数的几个人曾试图改变这个状况，恢复牛顿的方法。近期，牛顿方法最突出、最著名的支持者是弗拉基米尔·阿诺尔德（1937—2010）。

如果牛顿能避免陷入古代表述模式的“陷阱”，利用某个符号（任何符号都可以！）来代替“最终相等”这个词，他在《原理》里那些令人费解的冗长证明就可以简化为简洁的几行，那么他的思想模式就有可能在今天仍被广泛应用。《复分析》和本书都力图非常具体地展示牛顿的几何方法在数学的很多领域里都具有持续的相关性和有效性，尽管这些领域在他去世（1727 年）后的一个世纪才被发现。

在此，我要对“严格”和“证明”这两个词的使用解释几句。是的，我在本书里直接使用了牛顿的最终相等，与我在《复分析》中的表达比较，这代表了严格性的一个巨大突破。但是，仍然会有一些数学家提出反对（带着证据！），说即使这里的严格性有所增强，但仍不充分并且本书里的“证明”没有一个是名副其实的，包括刚才那个例子的证明：我其实没有证明“小直角三角形的边长最终等于圆周上的弧长”。

我不做逻辑方面的争辩，而是重复我 20 多年前写在《复分析》前言里的话：“本书无疑还有许多未曾发现的毛病，但是有一桩‘罪行’是我有意去犯的，对此我也不后悔：有许多论证是不严格的，至少表面上看是如此。如果你把数学理论仅仅看成人类的心智所创造的，是岌岌可危的高耸的建筑物，这就是一桩严重的罪行。

追求严格性就好比绞尽脑汁来维持这幢建筑物的稳定，以防整个建筑物在你身旁轰然倒塌。然而，如果你和我一样，相信我们的数学理论只不过是试图获取一个柏拉图式世界的某些侧面，而这个世界并非我们创造的，我就会为我们辩护：在开始时缺少严格性，只不过是付出了小小的代价，让读者能比采用其他方式更直接、更愉快地看透这个世界。”因此，最好事先就告诉我的批评者，从一开始我就承认：当我说一个命题“得证”的时候，可以认为这只是指“排除了合理怀疑后得证”（proved beyond a reasonable doubt）！

除了严格性的问题，还有一件糟糕的事情，那就是在回顾大量古典数学时，我几乎肯定会出错：所有这些错误的责任都在我，而且只在我。请不要责怪我使用的几何方法，只是我的技艺不佳——在进行符号运算时，我同样会出错！

本书并不是一定要当作一部正在上演的五幕正剧才能完全读懂。尽管如此，我还是认为书中的故事情节很重要，这种非常规的结构和书名也都很合适，理由如下。首先，我力求用演出戏剧的方式来展现微分几何的思想，就如我看待它们的方式一样，不仅要看到它们的历史发展，而且（更重要的是）要看到它们的层级关系，各种想法相互关联的影响，以及它们在数学其他领域和物理学中令人想象不到的含义。

其次，这部所谓的五幕剧中每一幕的剧情都（或多或少）符合莎士比亚戏剧的经典结构（剧情的这种结构并非都是有意设计的，更多的是内容自然演进而形成的），特别是预期中的剧情“高潮”确实就出现在第三幕：曲率。事实上，在开始写作本书几年后的一天，我突然清楚地意识到：我撰写的东西就是一部五幕数学剧。就在这一天，我“更正”了本书的书名，并将之前的五“部分”改为五“幕”。

• 第一幕：空间的本质

• 第二幕：度量

• 第三幕：曲率

• 第四幕：平行移动

• 第五幕：形式

前四幕实现了我的承诺，相互独立、有“几何”味地介绍了微分几何。第四幕是真正的“数学动力站”，它使得我们最终可以用几何方法证明前三幕中的许多论断。

这几幕主题的几个方面是非正统的，处理它们的几何方法也是非正统的。在此，我们只说三个最重要的例子。

第一，第三幕是整部剧的高潮，而这一幕的高潮是全局高斯 – 博内定理——这是连接局部几何与全局拓扑的著名定理。这个话题的内容是标准的，但我们的处理方法就不是标准的了。为了突出这个定理的中心地位和根本重要性，我们燃放了一组豪华的“数学烟花”：用五章的篇幅来讨论它，还贡献了四个不同寻常的证明，每个证明都体现了对证明结果和微分几何根本性质的新见解。

第二，从二维曲面到 n 维空间（称为“流形”）的转换（通常在研究生阶段学习）常常是令学生困惑和害怕的内容。第 29 章（在本书中篇幅第二长）通过集中研究三维流形的曲率（这是能够可视化的），寻求建立一座跨越这个鸿沟的桥梁。

当然，我们讨论的框架是可以应用到任意维流形的。我们利用这种方法引入了著名的黎曼张量，用它来度量 n 维流形的曲率。我们直观、有几何味地介绍了黎曼张量，在技术上是完整的。

第三，我们觉得，黎曼张量在自然科学的竞技场上单枪匹马就能取得光辉、伟大的胜利，在充分讨论了黎曼张量之后，继续隐藏这一点就不好了。所以，在第四幕的最后，我们用很长的篇幅有几何味地介绍了爱因斯坦伟大的广义相对论：物质和能量的引力作用于四维时空，引起时空弯曲。这一章在本书中篇幅第三长，不仅（完全用几何的语言）讨论了（爱因斯坦在 1915 年发现的）著名的引力场方程，而且介绍了它在黑洞、引力波和宇宙学最新研究中的意义。

现在，我们来到第五幕，这是与前四幕具有不同特点的一幕。我们在此力求完成本书的第二个目标，它与第一个目标截然不同，但同样意义非凡。

即使最疯狂的几何迷也不得不承认，（开篇引语中描述的）阿蒂亚的残忍机器是个绕不开的恶魔，但是，如果我们必须做计算，至少也要做得非常优雅。幸运的是，从 1900 年开始，埃利·嘉当就建立了一种简洁有效的新计算方法。它首先用于研究李群，而后为微分几何提供了一种新的研究途径。

嘉当的发现称为“外微分”，它的研究对象及其微分式和积分式统称为“微分形式”（本书中简称为“形式”）。我们将在第五幕的最后，用本书篇幅最长的一章，跟随嘉当的指引，最终展示这种方法的优美和有效性——用符号运算的方法重新证明在前四幕中已经用几何方法证明了的结论。不仅如此，微分形式还将帮助我们完成一些在前四幕里做不到的事情：特别是，它们给出了一种通过曲率 2 次微分形式（简称为 2-形式）来计算黎曼张量的方法，既有效又优美。

然而，我们首先要充分发挥嘉当思想自身的实力，在完全不依赖前四幕内容的前提下，引入完整的微分形式理论。为避免造成任何困惑，我们再说一次：第五幕中的前六章与微分几何没有丝毫关系！我们这样做的原因是，微分形式在数学、物理学和其他一些学科的不同领域内都有成果丰富的应用。我们的目的是使微分形式能被尽可能广泛的读者所接受，即使他们的主要兴趣不是微分几何。

为达到此目的，我们努力寻求一种比常用方法更直观、更形象的办法来讨论微分形式。尽管如此，也请不要有任何幻想：第五幕的主要目的就是建造一台“魔鬼机器”（只需要本科水平就可以完成），一种非常有力的计算方法。这些微分形式的威力使我们回忆起复数：可谓一石激起千层浪，嘉当的微分形式能解释的东西比它的发现者要求的还要多得多。这真是个理想的形式，堪称妙手偶得！

只需举一个例子就够了：微分形式可以统一阐明向量微积分中的所有公式。可以说，这就是本科生的一本启示录，只要允许他们去读就行了。事实上，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式仅仅是微分形式的一个定理在不同情况下的表现方式，而这个定理比这些特殊情况下的表现方式更简单。尽管从数学到物理学，微分形式都具有不可置疑的重要性，但是绝大多数本科生在离开学校之前未学到过微分形式，我早就认为这是个问题。只有屈指可数的几本本科生的（向量微积分或微分几何）教科书曾经提到过微分形式，并且告诉学生这个内容归属于研究生课程。

如此可悲的状况已经持续了一个多世纪，我仍未看到即将发生重大改变的任何迹象。作为回应，第五幕要做的不是咒骂黑暗，而是点燃一支蜡烛，奋力去说服读者相信嘉当的微分形式（及其基础“张量”）既简单又优美，说服读者相信它们（还有嘉当的名字）值得成为本科生课程的一个标准组成部分。这就是第五幕的宏伟目标。在前四幕让读者沉浸于纯粹的几何之后，最后一幕就是代数计算的表演，称得上是一个畅快淋漓的大结局。

在序幕结束之前，我们来罗列一下本书的细节。

• 我没有打算把本书写成课堂教学用的课本。我希望有一些勇敢的人，会像之前使用《复分析》一样，选择使用本书。我主要的目标是，尽我所能既准确又通俗地向读者（无论是稚嫩的初学者还是久经沙场的专家）传递一个宏大的主题。

• 我的主题选择有时看似不拘一格。例如，极小曲面是一个很有吸引力又很重要的主题，为什么这里没有讨论呢？遇到这种情况，我们常常用以下两个理由之一（或两个都用）回答：(1) 我们关注的重点是内蕴几何，而不是外在几何；(2) 关于极小曲面已经有很好文献。对于后者，我尽力在附录 A 提供一些有用的说明。

• 公式用“(1.1)”的格式编号，图用“图 1-1”的格式编号。

• 新术语的定义用黑体标明。

• 为了便于快速翻阅本书，重要结论用单框标记，特别重要的事实用双框标记。在整本书里，只有屈指可数的结果用三框标记，因为它们是基本原理。

我们希望读者喜欢去寻找它们，就像找复活节彩蛋一样。

• 我尝试使读者成为思路推进过程中的积极参与者。例如，在论证过程中，我常常会故意设置一两个逻辑跳板。它们有一点儿难度，读者可能需要停下来做一些准备，才能跳到下一块上去。这样的地方用“［练习］”标记，常常只需要简单计算或沉思片刻就能解决。

• 我们鼓励读者充分利用索引，它可是为爱而辛苦劳动的产物。我们要用本书的一个更大的哲学目标来结束序幕，它远胜于我们将要试图解释的特定数学内容。

从数学青春期到成熟的这个过程中，我们所获的权利之一就是能够区分什么是真奇迹，什么是假奇迹。数学自身充满了真奇迹，而假奇迹的例子也是大量存在的：“我不能相信，那些丑陋的项，就这么消掉，给出了如此优美简单的答案？！”或“我不敢相信这个复杂的表达式有如此简单的意思？！”

如果这种情况真出现了，那么不值得庆幸，而应该让人感到羞耻。这是因为，如果所有那些丑陋的项是可以消掉的，那么它们从一开始就不应该存在！如果那个复杂的表达式有非常简单的意思，那么它一开始就不应该那么复杂！

我不得不坦白，我自己的数学青春期一直持续到 20 多岁。直到成为研究生后，我才开始成长起来，这要归功于两个人的神奇影响：彭罗斯，以及我的亲密好友，乔治·伯内特 – 斯图尔特，他也是彭罗斯的学生。

数学世界的理想形式总是完美的，总是简单的。它如果暂时留给了我们相反的印象，那只是因为我们自己表现得不完美罢了。我希望本书能帮助读者在这种完美面前变得谦逊，就像许多年前我的两个朋友在超现实、埃舍尔式的牛津尖塔中第一次推动我走上这条路时一样。

特里斯坦·尼达姆

2019 年牛顿圣诞节

于美国加利福尼亚州米尔谷

《可视化微分几何和形式：一部五幕数学正剧》 

作者：[美]特里斯坦·尼达姆（Tristan Needham）

译者：刘伟安

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《复分析：可视化方法》

作者：[美]特里斯坦·尼达姆

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