世界在变，我们的数学心如初。

——席南华

撰文 | 席南华

数学有很长的历史。一般认为数学作为独立的有理论的学科出现于公元前600 年至公元前300 年期间，欧几里得的《原本》(约公元前300年) 是一个光辉的典范。它采用公理化体系系统整理了古希腊人的数学成就，其体系、数学理论的表述方式和书中体现的思维方式对数学乃至科学的发展影响深远。纵观数学发展史，《原本》是最有影响的数学书。 

古希腊另一部伟大的数学著作是阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》，时间上它稍后于《原本》。这本书除了综合前人的成就，还有独到的创新，材料组织出色，写得灵活巧妙。这本书称得上圆锥曲线方面的巅峰之作，后人几乎对这个主题至少在几何上都说不出什么新东西。 

几乎同时，就有数学史的研究了。亚里士多德 (公元前384—前322年) 的学生欧德莫斯 (Eudemus，约公元前370—前300年) 写有数学史的著作。 

人类的文明史又要长得多。约一万年前人类开始定居在一个地区，靠农牧业生活。文字的出现却要晚得多，大约在公元前3200年左右。在此之前，人类在数学上的进展是极其的缓慢，原因在于发展水平低下，对数学的需求极低，抽象的数学概念从无到有的形成极不容易。

 数学最基础的概念，数和直线的形成经过了漫长的时间。 

刚开始，人们对数的观念是与具体的物品联系在一起的，如一棵树、一块石头、两个人、两条鱼等等。时光，在不停地流逝……逐渐地，人们领悟到一棵树、一块石头等具体物体的共同的数字属性，数的抽象概念形成了。

 同样，刚开始，人们对线的观念和树、树枝、绳子、物体的边沿等具体的线形状联系在一起。时光，在不停地流逝……逐渐地，人们意识到直的树、拉紧的绳子、某些物体的笔直的边沿等具体物体的共同的形状属性，直线的抽象概念就形成了。 

数和直线概念的形成是人类认识自然的一个飞跃。 

数学的产生与发展是实际生活推动的。最初产生的是算术与几何。 

现实的需要产生了数之间的计算 (如分配食物、交换物品、到指定日期前的天数等)。于是需要给数以名称，并能记下来告诉别人。从文字产生之初就开始引进的数字符号在算术的发展上起了巨大的作用。这是引进一般数学符号和公式的第一步。下一步，引进算术运算符号和未知数符号是很晚完成的，并不断改进，比如，我们熟悉的加减乘除的符号是在15世纪至18世纪间才开始使用。 

算术最早是在巴比伦和埃及那儿发展起来，由于税收、丈量土地、贸易、建筑、天文等的实际需要。但这里主要是针对具体问题的计算和解答。算术的这种形式并不是数学理论，因为其中没有关于数的一般性质 (或说规律)。 

向理论算术的过渡是逐渐进行的。古代中国、巴比伦、埃及，已经知道百万以上数的可能。这里已经显示出数列无限延续下去的可能性。但人们不是很快就明确意识到这一点。 

阿基米德 (公元前287—前212年) 在《数砂法》中指明了命名大量砂粒的数目的方法。这是一件当时需要详细解释的事情。在今天其实也不是一件容易的事情。 

公元前3世纪希腊人明确意识到两种重要思想：数列可以无限地延续下去; 不但可以运用具体的数，还可以讨论一般的数，建立和证明关于数的一般性质。例如《原本》中证明素数有无穷多个，后面会提到这个结论和证明。算术就这样发展成理论算术。 

理论算术其实是数的理论，对具体的局部的问题的计算不是其主要内容，用概念和推理建立数的规律和一般性质是其主要的内容。当然，这会反过来在更高层次对具体的计算有帮助。 

理论算术令人信服的根源：它的结论是从概念中运用逻辑方法得出，而逻辑方法和算术概念都是以数千年的实践为基础，以世界的客观规律为基础。 

理论算术的概念和结论反映了事物的量的性质和关系，概括了大量的实践经验，在抽象的形式中表现出现实世界的那些经常和到处碰到的关系，对象可以是动物、农产品、星球……所以，算术的抽象性不是空洞的，而是通过长期的实践，概括了某些普遍的性质，从而具有广泛的应用性。对于全部数学，对于任何抽象概念和理论也都是这样的。理论应用广泛的可能性取决于其中所概括的原始材料的广泛性。 

抽象自有它的局限性：应用到具体对象时仅反映了对象的一方面，常常仅有量是不够的。不能无限制地到处应用抽象概念。一只羊和一头狼加在一起，一升水和一把泥土混在一起都不是算术一加一应用的地方。 

真理是具体的，数学是抽象的。抽象应用到具体常常是一种艺术和技术。数的发展历程也是很有意思的。最初是与具体对象相联的数，然后是抽象的数，进而是一般的数。每一阶段都依赖先前的概念和积累的经验。这也是数学概念形成的基本规律之一。

几何的起源与发展类似于算术的情形。测量、计算土地的面积和容器的体积、谷仓的容积以及水利工程等的实际需要导致了几何的产生和发展，包括长度、面积、体积等概念。对于农民，知道土地的面积，对预计收成是很有益的。对于水利工程，知道土方量对工程需要多长时间完工是重要的。 

巴比伦人和埃及人在几何发展的初始岁月 (大约是公元前三千多年至公元前七百年期间) 是领先者。刚开始，几何就是从经验总结出来的一些公式，包括求三角形、长方形、梯形、圆等的面积公式，长方体、球等的体积公式。埃及人用来计算圆面积的公式A = (8d/9)² 在当时是惊人地好，其中d 是直径。这个公式等于在圆的面积公式中取π=3.1605。几何问题在计算上也是算术问题。 

巴比伦人和埃及人那时应该未意识到他们的算法和规则需要根据，或能够通过演绎从一些结论推出另一些结论。他们所得到的公式或法则都是互相没有联系的，从而不成系统。 

这时，希腊人登场了。他们去埃及和巴比伦做贸易，游历，学习数学和科学。埃及人和巴比伦人的算术与几何就这样大约在公元前7 世纪传到希腊。随后就是群星闪耀的时代，有众多的学派。有意思的是那时中国大致是春秋战国时期，百家争鸣，思想家辈出，老子、孔子、墨子、孟子、庄子、荀子、韩非子…… 

希腊古典时期 (公元前600 年至公元前300 年间) 很有影响的学派有：爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、厄尼亚学派、巧辩学派、柏拉图学派、亚里士多德学派等。 

古希腊人对数学的最重大的思想贡献包括：数学研究抽象概念，一切数学结果必须根据事先明确规定的公理用演绎法推出。 

几何就这样朝着几何理论方向发展；引入概念，对经验得到结论阐明之间的关系，发现新的结论。这个过程中，抽象的思维发挥了极其重要的作用。在现实物体的空间形式中抽象产生了几何的概念：点 (没有大小)、线 (没有宽度厚度)、面 (没有厚度)…… 

与算术一样，几何产生于实践，逐步形成数学理论。几何理论研究的是空间的抽象形式和关系。这使它有别于其他研究物体的空间形式和关系的科学，如天文、测量等，或艺术如绘画、雕塑等。抽象的空间形式是无法做实验的，只能用逻辑推理的方法建立结论之间的联系，从已知的结论导出新的结论。 

几何概念的明显性，推理的方法，结论的令人信服都如同算术那样以数千年的实践和世界的客观规律为基础。 

在我们今天强调学科交叉对科学发展的重要性时，回顾历史，会发现那是一个似是而非的提法。学科的交叉在历史上一直十分活跃，是产生进一步的一般概念、方法和理论的重要来源，对人类文明和科学的发展产生巨大的影响。最伟大的科学家，如阿基米德、牛顿、莱布尼茨、欧拉、高斯、爱因斯坦等在多方面都做出伟大的贡献。 

就说算术与几何，数学最早的两个分支，在一开始就是密不可分，互相影响的。简单的长度测量就已经是算术与几何的结合了。测量物体长度时，把某种长度单位置放在物体上面，然后数一数共置放多少次。第一步 (放置) 是几何的，背后的几何概念是全等或重合，第二步 (数) 是算术的。 

测量的时候常常发现所选用的单位不能在被测的物体上放置整数次。这时必须把单位加以分割，以便利用单位的一部分来更准确地测量物体，就是说不仅用整数，还要加上分数来表示被测物体的长度。分数就这样产生了。这是几何与算术合作的结果，产生了重要的新概念——分数，引起了数的概念从整数到分数的推广。 

无理数的发现同样来自几何与算术的结合，但无理数的发现却是不能通过测量实现的，因为在实际测量中精度总是有限的，而无理数是无限不循环小数。

勾股定理告诉我们单位边长的正方形的对角线的长度是2的平方根，它是一个无理数。这样，数的概念就进一步发展了。而且，逐渐地人们把数理解为某个量与被取作单位的量的比值。 

无理数的发现是体现数学理论在揭示自然规律和现象的威力与深刻性的一个典型例子。没有数学，很多的现象和规律是无法认识的。 

数的进一步发展就是实数的概念，然后是复数的概念，然后是代数结构。 

已故的伟大数学家华罗庚对数与形的联系有过精辟的评述：数缺形时少直观，形缺数时难入微*。 

* 原诗：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞; 数缺形时少直观，形缺数时难入微; 数形结合百般好，隔离分家万事休; 切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！见《华罗庚诗文选》，中国文史出版社，1986。

本书由数学通俗文章和讲话的讲稿等组成，此外还有一篇关于数学史的翻译文章和一个座谈会实录。数学通俗文章的主题有：数学概述，数学的意义，对称，几何—从熟悉到陌生，基础数学的一些过去和现状，数学—简单与高深，朗兰兹纲领寻根之旅，黎曼猜想—引无数英雄竞折腰，简说代数，表示--随处可见，几何表示论，卡兹旦-路兹蒂格理论：起源，发展，影响和一些待解决的问题。翻译文章是韦伊的“数学史，为什么，怎么看”。讲话的讲稿主要包含作者在一些纪念、庆祝、任职、卸任等公开场合上的讲话讲稿。座谈会实录说的是2014 年作者与怀化学院本科生座谈的记录。

本书可供大学生和受过高等教育的一般大众阅读，部分内容感兴趣的中学生和读过高中的大众也能读明白。

本文经授权转载自微信公众号“科学出版社”，节选自《数学：简单与高深：席南华通俗文章集》（席南华著. 北京：科学出版社，2023. 12）一书“2 数学的意义”。