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原文标题 Reffections Around the Ramanujan Centenary,这是挪威数学家A.Selberg于1988年在印度孟买的Tata基础数学研究所纪念Ramanujan一百周年诞辰会议会后的一次即席讲话,后来收入其 Collected Papers 第一卷(Springer Verlag,1989)。

撰文 | Atle Selberg

翻译 | 冯绪宁

校对 | 袁向东

Srinivasa Ramanujan的著作对于我成为一个数学家起了十分重要的作用。我第一次见到他的名字是在1934年。那时,我见到一篇登在挪威数学会的期刊上的文章。我父亲订阅这种期刊。文章的名字(从挪威文翻译过来)是“印度的Srinivasa Ramanujan,一个非凡的数学天才”。但我要补充一句,在两种语言之间是不存在一一对应的。此处被我译为“非凡的”那个挪威词,其原意是“不平常的而且有点奇怪的”。文章是奥斯陆大学的一位数学教授写的,他的名字叫做Carl Stormer。他年轻时就开始对数论感兴趣,后来转而研究北极光的数学理论,在该领域颇有声望,但仍保持了对数学(纯粹数学)的爱好。

那篇文章主要选材于1927年剑桥大学出版社出版的《Ramamujan全集》中的传记一文。文中概述了Ramanujan一生的历史,并且引证了他相当多的结果和例子。在我看来,那都是极为神奇、美妙而惊人的公式。如果我没记错的话,那篇文章大约有15到20页的光景。然而它却在我的脑海中留下了深刻而持久的印象,对我有极大的魔力。

当时,我还是一个中学生,已经自修了几年数学,不过毫无系统性,也没什么规划。所读的书是从我父亲的图书馆中找到的。以私人藏书而言,这图书馆是够大的。

这里我要说几句题外话,因为这反映出机遇在人的一生中起着什么样的作用——是极大的作用。我大约在13岁左右开始读数学。当时,我偶然打开一本书就见到了的Leibniz级数:,由奇数的倒数加以符号交错变化构成。在此之前,学校的数学一直很使我乏味,但这式子看来又奇怪又漂亮,使我决心要读一读这本书,以便知道这公式是怎样得来的。

现在看来,我居然读完了这本书,很不可思议;因为这书的开篇是很长的一章,讨论实数概念及Dedekind分割等,这实在不是一个吸引人的开篇。

无论如何,在我读到关于Ramanujan的文章前,我就已经决定投身数学,但究竟搞哪类数学还不清楚。我觉得那时我想得最多的,是搞解析函数的一般理论,是像Nevanlinna理论那样的东西。这在当时是非常前沿的题目,而且我的大哥已开始做这方面的研究了。他是大学中的研究人员。我的另一个哥哥,已在数学系读了几年书,他也读了这篇写Ramanujan的文章,所以从大学图书馆借了Ramanujan全集,假期时他还把这本书带回家里。

于是,我就有了一个机会,用几周的时间浏览了全书。这简直像是在发现新大陆;一个崭新的世界出现在我面前。我要说,与我以往所读的书全然不同,它极大地唤起了我的想象力。而且,坦率地说,到现在我仍感到非常激动,那时感受到的神秘气氛至今犹存。正是这本书给予我自己搞数学的动力。我开始独自在通常称之为4-级数和与之有关的恒等式等方面进行探究。

在1935年夏,我从预科学校毕业,写出了一篇文章,它的英文名称可译为“论某些数论等式”。当时德文是我最好的外语。1935年秋季学期开始,我进入奥斯陆大学学习,并把我的手稿交给了Stomer教授。他将稿子寄给英国伯明翰的G.N.Watson教授,以便能得到评判;以前他与Watson教授就有些联系。稿子在Watson那儿搁置了相当一段时间(当时我觉得太长了,现在,我也是一个审稿人了,才有点理解 Watson拖延的理由)。最后,文章终于随着一封“同意发表”的评审意见寄回,在1936年适时地发表了。

Watson还寄给我他的不少抽印本,特别是关于研究Ramanujan的笔记和遗著的抽印本。其中有Watson关于3阶和5阶mock-theta函数的文章,证明了Ramanujan所陈述过的各种恒等式和关系;他还说明,mock-theta.函数当在单位圆上趋于单位根时,具有所要求的渐近线。这激发我写了第二篇文章,是关于7阶mock-theta函数以及其渐近线的性状的。

这时,我已拥有了属于我自己的一本Ramanujan的《全集》,是父亲送给我的礼物,至今我还带着它。我那时还关心着研究其他的文章,首先是Ramanujan与Hardy合作的讨论分拆函数(即将一整数表示为整数之和的表法个数的函数)的文章,题目是“组合分析中的渐近公式”。另一篇文章包含了模形式及其系数的内容,使我首次接触了模形式论,以及更一般的自守形式理论;也首次接触到离散群,即当时所称的不连续群。从那时起,这些理论一直是数学中的主要研究课题之一,也许可以说是我的数学研究的主要兴趣之所在。

Atle Selberg 1917-2007

在讲述Ramanujan的数学工作之前,我想先谈谈关于数学和数学家的一些情况,这对非数学家有益。随便说一句,我很同情非数学家,我觉得他们错失了一种最激动人心的、回报丰厚的智力活动。

人们常常将数学与艺术比较,特别是与音乐比较。确实,数学与音乐方面的才能都会在人们想象不到的幼年时期就焕发出光彩;然而音乐才能会比数学才能早得多地得到人们的承认。在数学中,美学的考虑,漂亮、简洁、别致等等是与其真理性一样重要的。如果我们将数学视为知识的实体,则它肯定会被确认为一门科学。但如果我们从其生长和积累的过程来看,则数学更像是一种艺术。数学只关心人的心智所创造出来的对象和结构,尽管这些对象和结构可能反映了所谓现实世界中的事物或是它们的模型。正因为数学研究的仅仅是头脑的产物,所以它的积累方式与其他科学完全不同。

在其他自然科学中,当新东西出来时就把老东西抛弃了,在数学中则不然。古希腊的数学家,如Euclid、Apollonius和Archimedes,他们的东西在今天仍是正确的,尽管他们的工作是在两千多年以前做的。然而在内容和实质保持不变时,表达它们的形式却一直在变化着。从一代人到另一代人,表现数学面貌的那些东西发生着深刻的变化;甚至在较短的时间间隔内,它们就会发生根本性的变化。

作为一名活跃的数学家,我自己的经历就是证明,我30岁时所想的和现在所想的东西之间差别极大。今天出版的文章不能被那时的任何人——至少是大多数人——所读懂。现在的文章中常常处理一些当时尚不存在的概念。数学可以通过多样化、复杂化和专门化等多种途径发展:如一个主题可以按互相分离的专门分支沿几个方向分叉;另一方面又可以交汇、综合、简化、统一,在一些看来相距较远又没有任何联系的不同数学领域之间,通过架桥铺路,最终使它们变得有密切联系。

很久以前,在印度数学建立起数的概念时,希腊数学则建立了点、线、面的概念以及它们之间的关系。西方数学只是在意大利实现了数学的复兴后,才把自己建立在数的概念上并持续了几百年。今天,我们的数学主要关心的是结构以及结构间的关系,而不是数之间的关系。这种情况最初发生于1800年左右,在这个方向的首次突破自然是抽象的群的概念的引入,现在它在数学领域中是无所不在的。

数学才能表现在许多方面。有一些数学家是理论的创立者,还有一些是解问题的能手,另一些人善于提炼出问题——我不说他们创造问题,换言之,他们能够发现新的数学对象或关系中的孤立的例子,而这些新对象和关系以后将发展成内容丰富的理论。这些不同的能力或天赋并无高低上下之分。归根结蒂,为保持数学持续的繁荣,这些才能都是必须的。

Ramanujan的特殊才能看来主要表现在代数和组合方面。在很长一段时期中,他完全孤立无援,与其他数学家没有任何接触;就是在这种情形下他发展了自己的才能。他独自获得了算术演算、级数、连分数等方面的高超技巧,这些在现代也是无与伦比的。他似乎对特殊情形比对一般情形更感兴趣。例如我们看一看他的《笔记》(Notebooks)或是他写给Hardy的信,就会发现,他常常陈述特殊情况或选择特殊情形下最为引人注目的结果,很清楚,其中蕴含着更一般性的结论。

如果他当初的生活不是那样,而是得到作一名数学家所必须的更符合常规的训练,那么他可能成为一名非常好的理论建树者。在他留下的著作中我们看到相当明显的证据,说明他已经独立地发展了如模形式和方程的理论;但他的这种理论的精确形式,我们不得不从他写在“笔记”中的孤立结果中去猜测了。我们从他那里所得的东西,很多出自他《笔记》中的常常是神秘的结果和断言,当然还有他发表的论文。

多年以后,再来看看他出版的著作所受到的评价是很有趣的。很清楚,早年间他与Hardy合作的关于分拆函数的论文是十分引人注意的。他的全集出版时,J.E.Littlewood写了一篇评论,其中选评了上述论文;评论的大部分内容是试图分析这篇论文的产生过程。无疑,无论从结果本身还是从它那极有力的工具——圆法来说,这都是一篇极为重要的文章,这是圆法首次在解析数论中的使用。至于Littlewood的评论,我认为存在几点相当大的错误。

顺便提一句,Littlewood写他的评论时,H. Rademacher关于分拆函数的文章还未发表。后者给出了有关的确切公式,是1937年发表的。清晰可见的是,Hardy与Ramanujan的文章包含一个其本身是很值得注意的结论:因为p(n)是整数,所以它是可以精确计算的。他们的结果不是个精确的公式,而是一个带有误差项的公式,这个误差项趋于0,但因为p(n)是整数,从而人们可以求得精确值。

我们看看Ramanujan给Hardy的第一封信,其中的一个陈述与他后面的分拆函数有些关系,也就是关于一类theta函数的倒数展开的系数的问题。在信中,他所说的系数的一个近似表达式即给出了主项。若仔细分析这个表达式就会发现,它与Rademacher关于p(n)的主项公式完全类似。这说明,不管用的是什么方法,Ramanujan已经被引向那个表达式的正确结果了。

通过对这篇文章的研究,我似乎搞清楚了一点,就是在写这篇分拆函数的文章时,Hardy并不完全相信Ramanujan的直觉和眼力。在他们给出的表达式中,他采用了另一种形式的项,纯粹是出于技巧的考虑。据分析,它不是很得要领。我想,如果Hardy足够相信Ramanujan的话,他们必然会得到Rademacher级数的结果,这是毫无疑问的。

Littlewood和Hardy的主要工作是在硬分析方面,他们对模形式一类的事物没有多少感觉。分拆函数的生成函数其实是一个模函数,特别是若给级数乘以一个因子x-1/24的话。这对于Ramanujan而言,必定是从一开始就很自然的事。但在Littlewood的评论中,这种想法好像是Ramanujan在后来的研究中灵光一闪的偶然所得。我认为这完全是误解。当Hardy与Ramanujan合写这篇文章时,Littlewood并不在场。Ramanmjan在剑桥大学的大多数时间里,Littlewood离开了剑桥。Littlewood在提到Ramannjan给Hardy写的信中所作的陈述时,记忆力也出了毛病。这里,Ramanujan所陈述的正是关于分拆函数,是类似于构造函数的东西而不是什么别的。

稍晚一点,当Hardy出版了《Ramanujan十二讲》一书后。Louis J.Mordell评论了此书。他对Hardy提出质问。因为Hardy评价Ramannjan时说他是个天才,可与Euler和Jacobi匹敌。Mordell问,是否“天才”这个词有什么实在的含义;他还断言说,人们评价一个数学家只能根据他的实际作为。所谓“作为”,Mordell似乎就是指“证明了的定理”。

顺便提一下,应该说Mordell显然没有接触或看过Ramanujan的“笔记”。我认为,他的评价方法是错误的。我想,一个美妙的但是尚未证明的猜想,对数学的影响远胜过不少有相当名气的定理的证明。

Ramanujan对现今称为cusp form的模形式系数的乘法性已有所认识,Ramanujan对这系数的猜想及其推广对今天数学发展起了非常重要的作用,成为当代相当大一批最优秀的数学家注意的焦点。他的其他发现,如mock-theta函数,人们对它的理解还远远不够,没有人能评价它真正的重要性。因此,还无法作出最后的论断,而且在今后很长时间内也不会有此种论断。但是,随着时光推移,对于Ramanujan才能的估计还会不断提高,这是毫无疑问的。

很清楚,Hardy对Ramanujan的天赋所处的等级的估计是完全正确的,尽管Hardy与Ramanujan各自的数学偏爱之间存在着极大的差异。我们推测一下(虽然可能毫无意义),如果Ramanujan开始碰到的不是Hardy,而是一个与之才能相似且更偏爱代数的大数学家,例如德国的E.Hecke,那将会发生什么情况呢?也许,这能给Ramanujan带来极大好处,使他的工作显现出全新的面貌,并获得在与Hardy共事时不能得到的成果。但是,我们仍应给Hardy记头功,因为正是他独具慧眼,最早认出了Ramanujan的独创性,并尽其所能地帮助他、支持他的工作。

我提到过Hardy对Ramanujan的评价。我们还可以引用他在《全集》前言中所说的另一段话:“关于Ramanujan的工作的重要性,意见可能不尽相同,这涉及评价的标准和他的工作对未来数学的影响。在他的工作中没有最伟大的作品所表现出的简明和顺理成章。如果他的工作不那么怪,就更伟大了。他的工作表现出来的天赋是任何人都不可否认的,那就是对问题的深刻洞察和无与伦比的独创性。”我想这话说得实在好。Hardy又写道:“如果他能在青年时代早点被发现并稍加培养的话,他可能是更伟大的数学家·……”等等。这种说法有正确的一面,也有不正确的一面。我觉得,当Hardy提及对数学未来的影响时,他没充分认识到人们对Ramanujan工作的兴趣将会有多么大的增加。很清楚,他低估了Ramanujan的工作,后来的发展很自然地说明了他在这方面的失误。

Atle Selberg在Ramanujan百周年诞辰纪念会上

Hardy评述Ramanujan时还说他是数学史上仅有的几个富有传奇色彩的人物之一。另一次他还说Ramanujan的生活是一部伟大的传奇小说。至于其他的传奇人物,可以想见的例证有Galois和Abel。自然他们去世时年龄更小些。但是尽管他们有自己的困难,可他们还算是出身在较幸运的环境里。人们可以说,他们两人都不是全身心地致力于数学的,他们显然还有着其他的生活情趣。而Ramanujan不是这样。我想在数学家中他可说是一株独处的奇葩。至少从我读到的有关他的材料看,除了数学,他没有任何其他兴趣。

当然,去推测Ramanujan或者Abel、Galois的生命若不是那样短促,他们将能够完成更多的工作云云,这是毫无用处的。我想,数学家工作的巅峰通常出现在30岁到40岁之间。对于上述几位传奇人物,人们可以期望他们在这一年龄段所能做的贡献将等于或超过以前所做的。想想下面的问题也许更有意义:如果Ramanujan一直没有得到从事研究的机会,这将带来什么样的损失。他并不是在那种完全是生硬的、不可变通的教育系统中受害的第一个有天赋的人。Galois曾在考试中失败;Abel曾被认为是劣等生(包括数学在内),直到他在中学的一位非常好的数学老师发现了他的才能。爱因斯坦在中学时也遇到相当大的困难。在其他领域,人们会想起爱迪生,他曾被他的老师视为笨蛋。

有时会听到人们说,对有天赋的人来说,是金子总会发光。但我认为这并非事实。

在过去,肯定发生过这种情况:由于死板的体制,由于老师对那些少见的不平常的学生缺乏充分理解,而没对他们实行特殊对待,最终,使天才无从发挥自己的能力。我估计,这种一个框框完全不考虑特殊学生特点的状况,还将堂而皇之地持续下去,因为这个世界从不知道已失去了什么。对教育体制而言,从Ramanujan的故事中,我们得到的最重要的教训是:要在各级教育系统中体谅那些不寻常的、可能在某个方向上有特别天赋的孩子。

还有一件事我想也很重要,即中学数学的状况如何。我曾经跟很多已成为数学家的人谈起他们在中学所学的数学。他们中的大多数并未从中得到特别的鼓舞,而是自学那些自己偶然碰到的或以某种方式得到的课外读物。我本人就是一例。我认为,对中学数学的内容一定要重新斟酌,应增加一些涉及如何发现并令人振奋的内容。我觉得,在中学里,数学教学常跟其他科学的教学不同,后者通常能很好地完成教学任务并给学生以从事发现的振奋之感。除了中学的教学之外,我认为要培养出可能是未来的Ramanujan,很重要的一件事,是公共图书馆应藏有相当数量的数学书籍,以便鼓舞那些希望在学校课程之外找到新东西的人,使他们产生兴趣。这是为了更容易地培养未来的Ramanujan所能做的一件重要的事情。

本文转载自微信公众号“好玩的数学”;原载于《数学译林》1990年第2期,原题为《Ramanujan百周年诞辰之际的反思》。

 

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