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任意两点之间的距离都是整数组成的集合,它是什么样子?这个看似简单的问题在Norman Anning和Paul Erdős 80年前取得结果后几乎没有进展。现在,三位数学家将组合学、数论和代数几何联系在一起,将问题变得更为复杂,结果却阐明了它应有的结构。

撰文 | Erica Klarreich

翻译 | zzllrr小乐

如果一个大型(但非无限的)点集中的点,彼此之间的距离都是整数,那么这些点该如何排布呢?一个最新的结果证明,圆形是仅有的可能选项之一。丨图源:Fran Pulido/Quanta Magazine

计划的改变发生在一次公路旅行中。去年四月风和日丽的一天,数学家瑞Rachel Greenfeld和Sarah Peluse从她们的单位——新泽西州普林斯顿高等研究院出发,前往纽约州的罗切斯特,她们两人都被安排在第二天发表演讲。

她们近两年来一直在努力解决调和分析领域的一个重要猜想,该领域研究如何将复杂信号分解成分量频率。她们与第三位合作者Marina Iliopoulou一起,研究了这样一个问题:其中各分量频率被表示为平面上的点,而这些点之间的距离与整数相关。这三名研究人员试图证明这些点的数量不可能太多,但到目前为止,她们所有的方法都失败了。

她们似乎在原地打转。Peluse灵机一动:如果暂时放弃调和分析问题,将注意力转向任意两点之间距离正好为整数的点集会怎样?这样的点集可能具有什么结构呢?自古以来,数学家们一直在试图理解整数距离集。例如,勾股数组(即毕达哥拉斯三元组,例如3, 4和5)表示直角三角形,其三个顶点之间的距离都是整数。

“坐在车里,我猜是因为Rachel和我在一起,我提出了这个想法,”现任密歇根大学教授的Peluse说。解决整数距离集的想法让Greenfeld兴奋不已。

在意识到这一点之前,她们已经两次走错了方向。

“我们其实没有注意到正在往哪里开车,也没有离开高速公路,”Peluse说。“我们朝着与罗切斯特相反的方向上行驶了大约一个小时才留意到,因为我们太兴奋了。”

1945年,Norman Anning和Paul Erdős证明[1],平面上满足任意两点距离均为整数的无限点集必位于一条直线上(共线)。对于一个有限点集,可能性更加多样化。数学家们已经构建了位于直线或圆上的大型点集,有时还有三四个例外的点偏离主线。(点本身不必具有整数坐标——只在乎它们之间的距离是整数。)

Rachel Greenfeld普林斯顿高等研究院数学家丨图源:Andrea Kane

没有人提出具有任何其他结构的大型点集,但也没有人证明其他结构是不可能的。自从Anning和Erdős的结果发表以来的近80年里,这个课题几乎没有任何进展——直到现在。

Greenfeld、Iliopoulou和Peluse已经证明[2],一个大型整数距离点集的所有点——也许除了少数几个异常点之外——必位于一条直线或圆上。“如果你想要一个所有点成对距离都是整数的大型集合,那么圆形和直线是唯二的可能,”不列颠哥伦比亚大学的József Solymosi说。他称她们的结果为“绝妙的解决方案”。

这种新方法使用了来自数学三个不同领域的思想和技巧:组合学、数论和代数几何。这些不同领域的结合“可能是一个真正的心理突破”,加州大学洛杉矶分校的数学家陶哲轩说。

罗切斯特大学的Alex Iosevich对此表示赞同。“她们为一系列非常广泛的问题奠定了非常坚实的基础,”他说。“在我看来,毫无疑问,这将找到更深层次的应用。”

简单性的局限

在平面上,选择一个所有点之间距离都是整数的无限集合是很容易的——只需取你最喜欢的一条直线,想象一条数轴线叠加在上面,并标出对应于整数的所有或部分点。但正如Anning和Erdős在1945年就认识到的那样,这是在平面上构建无限整数距离点集的唯一方式。一旦你有三个点不在同一直线上,你的配置就会变得受限,从而不可能无限添加其他点。

原因可以归结为简单的几何学。假设距离为整数的两点A和B,如果你想添加第三点C,它到A和B的距离都是整数,但不在过A和B的直线上,那么平面上的大多数点都不适用。可行的点位于特殊曲线上,这些曲线称为双曲线(hyperbola),它们从A和B之穿过。如果A和B之间的距离是4个单位,那么恰好有四条这样的双曲线。(双曲线通常有两个不同的部分,例如下面的两条红色曲线形成一个双曲线。)

图源:Merrill Sherman/Quanta Magazine

一旦在你选择了C(如上图,C到A的距离是3个单位,到B的距离是5个单位)之后,你几乎没有更多的选择来添加更多的点。你能添加的任何点必须位于A和B之间的某条双曲线上,或者位于通过它们的直线上。但它也必须位于A和C之间的某条双曲线上,以及B和C之间的某条双曲线上(或相应的直线上)。换句话说,一个新的点只能放在三条双曲线或直线的交点处(尽管并非每个交点都适用)。一开始,这些双曲线和直线只有有限多的个,而两条双曲线(或直线)最多在四个点上相交。所以你最终只能从有限数量的交点中选择——你不能构建一个无限集合。

当你想要理解一个整数距离的有限点集实际上是什么样子时,双曲线方法很快就会变得难以驾驭。随着点的数量增加,你必须应对越来越多的双曲线。例如,当你的集合中有10个点时,添加第11个点将创建10个新的双曲线家族——所有这些新的双曲线都在你新加的点和集合中已有的每一点之间。Greenfeld说:“你不能添加很多点,因为你会迷失在所有这些双曲线和交点中。”

因此,数学家一直在寻找更易于驾驭的方法来构建不位于直线上的整数距离点集。但他们只找到了一种方法:把点放在一个圆上。如果你想要一个有万亿个点的整数距离点集,有办法在一个半径为1的圆上找到万亿个点,这些点之间的距离都是分数。然后你可以扩大这个圆,直到所有的分数距离都变成整数。你想要的集合中的点越多,圆就需要扩得越大。

多年来,数学家们只找到了稍微奇特一些的例子。他们可以构造出大型的整数距离点集,除了四个点外,所有点都在一条直线上;或除三个点外,所有点都在一个圆上。许多数学家怀疑这些是仅有的大型整数距离点集,其中并非所有点都在一条直线或一个圆上。如果他们能够证明所谓的Bombieri-Lang猜想,他们将对此确信无疑。但是数学家们对于这个猜想是否可能成立持有不同意见。

自1945年Anning和Erdős的工作以来,数学家在理解整数距离点集方面几乎没有取得进展。随着时间的推移,整数距离问题似乎并入了组合学、数论和几何学中的一系列其他问题,这些问题简单易懂,但似乎不可能解决。陶哲轩说:“这是衡量我们的数学有多可怜的一种方式。”

Sarah Peluse,密歇根大学数学家丨图源:Dan Komoda

从某种意义上说,整数距离问题是其早期成功的受害者。双曲线证明及其巧妙的简单性,正是Erdős所信奉哲学的典型代表,Erdős是一位非常有影响力的数学家,他经常谈到“The Book”——一个假想的收录数学中最优雅证明的书卷。Erdős推崇的简洁性文化在组合几何学中取得了“巨大的成果”,Iosevich说。但这也可能导致盲点——在这个案例中,是关于引入代数几何方法的价值。

“我认为在过去50年里,你不会找到一个不涉及很多技术性和复杂内容的代数几何的结果,”Iosevich说。“不过,有时候就需要这样做。”

回过头来看,整数距离问题一直在等待那些愿意考虑比双曲线更不规则的曲线,并利用来自代数几何和数论的深奥工具来驯服它们的数学家。“这需要具备足够知识和兴趣的人,”Iosevich说。

Iosevich说,大多数数学家满足于在整个职业生涯中只在某个数学领域使用几种工具。但Greenfeld、Iliopoulou和Peluse是无畏的探险家。“她们认为数学是一个连贯的整体。”

问题复杂化

在2021年夏天,Greenfeld决定是时候尝试解决一个她自研究生以来一直在思考的调和分析问题。古典调和分析,构成了现实世界中信号处理的基础,其核心是将信号分解为不同频率和相位的正弦波。这一过程之所以有效,是因为可以得出一个无限的正弦波列表,当它们组合在一起时,可以捕捉到任何信号的所有特征,而不会有任何冗余。

然而,研究者们通常想要研究比一维信号更复杂的东西。例如,他们可能想要分解平面上的一个圆盘上的信号。但是,圆盘只能承载有限数量的兼容的正弦波——不足以捕捉圆盘上所有可能信号的行为。于是问题变成了:这个有限集合可以有多大?

在这样的集合中,正弦波的频率可以用平面上的点来表示,这些点似乎不愿在直线和圆上聚集:你永远不会找到三个点都靠近同一直线,或四个点都靠近同一个圆。Greenfeld希望利用这种排斥性来证明这些频率集合只能包含几个点。

在2021年波恩大学的一次会议上,Greenfeld参加了一个关于“行列式方法”(determinant method)的讲座,这是来自数论的一种技术,可以用来估计在曲线上某些类型的整数点可以有多少个。她意识到,这个工具可能正是她需要的。Greenfeld邀请了也参加会议的Iliopoulou和Peluse。“我们开始一起学习这个方法,”Greenfeld说。

但是,尽管做出了许多努力,她们似乎无法将行列式方法应用于她们的问题上,到了2023年春天,她们感到灰心丧气。Iosevich邀请Greenfeld和Peluse开车去罗切斯特进行访问。“所以我们想,‘好吧,我们会去罗切斯特,和Alex谈谈会让我们重新振作起来,’”Peluse说。但结果却是,因为在宾夕法尼亚州萨斯奎哈纳河(Susquehanna River)沿岸的意外绕行中讨论整数距离点集,她们在到达罗切斯特时已经重新振作了起来。

她们到达时错过了计划与Iosevich共进的晚餐,但她们在酒店大堂找到了正在等她们的Iosevich,他手上拿着大包小包的外卖。他原谅了她们的迟到,而且第二天早上,当她们告诉他计划解决整数距离点集时,他更显宽容。“他非常兴奋,”Peluse回忆道,“他在情感上给了我们巨大的鼓舞。”

Marina Iliopoulou,雅典大学的数学家丨图源:由Marina Iliopoulou提供。

就像双曲线方法一样,Greenfeld、Iliopoulou和Peluse试图通过识别点必须所处的曲线家族来控制整数距离点集的结构。一旦点的数量增多,双曲线方法就会变得过于复杂,但Greenfeld、Iliopoulou和Peluse想出了如何通过将整个配置移动到更高维空间来同时考虑数量较多的点。

这是如何实现的呢,假设整数距离点集中有一个“参考”点A,集合中其他每一点都与A有一个整数距离。这些点位于一个平面上,但你可以通过给每一点添加一个第三坐标(其值是到A的距离)将平面弹到三维空间中。例如,假设A是点 (1, 3)。那么,到A距离为5个单位的点 (4, 7) 在三维空间中变成了点 (4, 7, 5)。这个过程将平面转换成三维空间中的一个锥形,其顶点是A,此时标记为 (1, 3, 0)。整数距离点变成了三维空间中的点,这些点位于锥形上,同时也位于某个格点上。

同样,如果选择两个参考点A和B,你可以将平面上的点转换到四维空间中——只需给每一点两个新的坐标,其值是它到A和B的距离。这个过程将平面转换成四维空间中的一个曲面。你可以继续以这种方式添加更多的参考点,每增加一个新的参考点,维数就增加1,平面就映射到一个更加蜿蜒的曲面(或者,数学家称之为更高次的曲面)。

有了这个框架,研究人员使用了来自数论的行列式方法。行列式是与矩阵相关联的数,它们刻画了一组点的许多几何属性——例如,一个特定的行列式可能度量了由三个点形成的三角形的面积。行列式方法提供了一种估计同时位于蜿蜒曲面和格点上的点数的方法——这正是Greenfeld、Iliopoulou和Peluse所处理的情况。

她们利用基于行列式方法的一系列工作证明,当整数距离点集被提升到适当的高维度时,点必须都位于少数几条特殊曲线上。这些曲线,当它们的阴影在平面上不是直线或圆时,就不能包含许多格点(lattice points),而这些格点是整数距离点集中的点的唯一候选者。这意味着集合中可能位于主线或圆之外的点的数量是有限的——研究人员证明,这个数量必须小于一个关于集合直径的非常缓慢增长的函数。

它们的界限并没有达到许多数学家认为对于大型整数距离点集来说正确的“四点离线或三点离圆”猜想的标准。即使如此,这一结果表明,“猜想的本质是正确的,”斯坦福大学的Jacob Fox说。数学家们表示,这个猜想的完整证明可能需要另一种新思路的注入。

Iosevich说,团队的高维编码方案“极其稳健”。他说:“不仅仅是在原理上,我已经开始考虑实际应用了。”

Greenfeld、Iliopoulou和Peluse希望,她们原始的调和分析问题将是一个应用。她们现在又回到这个问题上。她们关于整数距离点集的结果“可能是通向那个问题的垫脚石,”Greenfeld说。

Iosevich预测,研究人员开始将组合学与代数几何相结合,这种结合不会止步于整数距离点集或调和分析中的相关问题。“我相信我们所看到的是一种概念性的突破,”他说。“这向两个领域的数学家传达了一个信息,即这种互动非常富有成效。”

陶哲轩表示,这也传达了一种信息,有时使问题变得更加复杂也是有价值的。他指出,数学家们通常追求相反的目标。“但这是一个例子,其中复杂化问题实际上是正确的做法。”

他说,这一进展改变了他对高次曲线的看法。“有时候,它们可以是你的朋友,而不是敌人。”

参考文献

[1]  https://www.ams.org/journals/bull/1945-51-08/S0002-9904-1945-08407-9/

[2] https://arxiv.org/abs/2401.10821

本文经授权转自“zzllrr小乐”公众号,原标题《小乐数学科普:融合领域,数学家们在老问题上走得更远》;《返朴》对译文进行了校订。本文译自Merging Fields, Mathematicians Go the Distance on Old Problem,原文链接:https://www.quantamagazine.org/merging-fields-mathematicians-go-the-distance-on-old-problem-20240401/。

 

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