撰文 | Ananyo Bhattacharya

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长期以来，数学一直是物理学进步的基础。1915年，当爱因斯坦发现，半个多世纪以来的纯粹数学工作完美地描述了他的引力理论中的时空结构时，他赞许广义相对论是数学的“真正胜利”。他后来惊叹，在没有任何应用考虑的情况下构想出的数学，怎么会“如此令人钦佩地适合现实对象”^[1]呢？ 

现今，将数学服务于物理学通常被认为是理所当然的，这根植于它的起源。毕竟，数学是为了测量、量化和理解物理世界而发明的。在美索不达米亚，苏美尔人发展了一种计数系统，留下了刻有乘法表的泥板。他们的目的是什么？用于清点货品和财产。在随后的几千年里，最初作为润滑政府和商业运转的工具，最终有了自己的生命。尽管数学扩展到了如此晦涩的抽象领域，以至于只有经过多年的训练才能掌握，但数学仍继续构成物理学的伟大突破的基础。 

不过，最近形势发生了转变。现在，来自物理学的洞见和直觉出人意料地引领了数学的突破。在20世纪的大部分时间里，数学家们都在走自己的路，现在他们越来越多地从自然界的规律和模式中寻求灵感。停滞了几十年的领域正待后生。甚至哲学家们也开始深入研究，正如一位哲学家大胆指明的那样，为什么物理学在数学中被证明是“没来由的奏效”。这个问题的关键在于，支配宇宙行为的规则与人类思维最抽象的沉思之间，存在很大程度上未被理解的、令人困惑的和深刻的联系。 

为什么物理学——根植于理解诸如苹果和电子这类世界上的真实事物——能为解决数学中一些最棘手的问题提供如此有效的线索？这些问题涉及不可捉摸的东西，比如函数和方程。

“相比数学家，物理学家不大关心严格的证明，”法兰西学院（Collège de France）的数学家、菲尔兹奖得主蒂莫西·高尔斯（Timothy Gowers）说。他表示，有时这一点“让物理学家比数学家更快地探索数学领域”。如果数学家倾向于深入地调查这片风景的一小块土地，那么物理学家更有可能快速地掠过这一很大程度上属于未知的大片区域。从这个角度来看，物理学家能够意外发现新的、强有力的数学概念和关联，数学家则可以折回到这些概念和关联，试着证明（或反驳）它们。 

事实上，物理学激发数学的进程与科学本身一样古老。古希腊数学家和发明家阿基米德描述了力学定律如何激发了他的一些最重要的数学发现。还有牛顿，他与他同时代的德国博学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）在试图理解下落物体的运动时，发展了一种全新的数学——微积分。

但在20世纪中叶，从物理学流淌来的新数学几乎枯竭了。物理学家和数学家都对对方那边发生的事情不太感兴趣。在数学界，一群有影响力的年轻法国数学家，称为布尔巴基（Bourbaki）学派，试图使数学尽可能精确。他们努力从头开始重建整个领域，并将合作成果发表出来，以期促进未来的数学发现。与此同时，物理学家们兴奋地发展着开创性的想法，例如标准模型（Standard Model）——时至今日仍然是物理学家关于原子和亚原子世界的最佳理论。对他们中的许多人来说，数学只是一个方便的工具，他们对布尔巴基学派所倡导的严肃的数学愿景不感兴趣。 

然而，在已故的黎巴嫩裔英国几何学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）的带领下，双方正在进行一场和解。凭借罕见的直觉，再加上一点运气，同样是菲尔兹奖得主的阿蒂亚，经常能注意到后来理论物理学家感兴趣的领域。

“在1970年代中期，他开始相信理论物理学是迄今为止最有希望的新思想来源，”与阿蒂亚合作的牛津大学荣休教授、数学家尼格尔·希钦（Nigel Hitchin）在 2020年写道。“从那时起，他就成为数学家和物理学家之间互动的促进者，应对物理学家提出的数学挑战，利用物理学思想证明纯粹数学结果，并为物理学家提供他认为重要但对他们来说不熟悉的现代数学内容。” 

数学物理学家爱德华·威滕（Edward Witten）是阿蒂亚的长期合作者之一，他们于1977年首次见面。比阿蒂亚小20多岁的威滕后来成为弦论的先驱，弦论认为微小的一维振动的弦是宇宙的基本组成部分，而不是标准模型中的那些粒子。 

弦论最初被誉为一种可能的“万物理论”，将会统一量子理论与爱因斯坦的引力理论，但迄今为止，可以说，弦论对数学中一些最抽象的领域——诸如代数几何和微分拓扑——的影响比在物理学中的更大。在这些领域，威滕和其他弦论家已经能够提出数学家后来才证明的精确猜想。 

例如，在1991年，物理学家坎德拉斯（Philip Candelas）、奥萨（Xenia de la Ossa）和他们的同事将弦论应用于枚举几何（Enumerative geometry）中一个已有数十年历史的难题。枚举几何是一个古老的数学分支，致力于计算几何问题的解的数量。最简单的问题比如，“有多少条线可以穿过一个平面上的两点？”（1条）；或者阿波罗尼乌斯（Apollonius）的著名问题，“可以画出多少个与三个给定的圆相切的圆？”（8个） 

坎德拉斯与合作者能够使用弦理论中的工具来解决枚举几何中一个特别棘手的问题：计算卡拉比—丘（Calabi-Yau）流形中特定类型曲线的数目，这些奇怪的六维形状是弦论的核心。他们的结果将两种几何学联系起来，即“辛几何”和“复几何”，数学家们几十年来一直孤立地研究这两种几何，认为它们无关。这种进步——将两个被认为无关的领域联系起来——在数学中被认为是一个“深刻”结果：你突然可以使用一个领域的工具来解决另一个领域的问题，从而推动并加速了数学的进步。

仅仅几年后，即1995年，威滕提出了五个不同版本的弦论，每个版本都需要10维，都是他称之为“M理论”的单个11维概念化的不同方面。尽管M理论仍未得到证实，但绘制不同理论之间的对应关系已经导致了惊人的数学发现。“感觉就像每个月弦论都在以前所未有的方式为数学家提供新的结构，”伦敦数学科学研究所的数学物理学家何杨辉（Yang-Hui He）说。

弦论是两个数学世界之间那种意想不到的关系或“对偶性”（duality）的丰富来源，至今仍让数学家兴奋不已。何杨辉和他的合作者、同样来自伦敦研究所的弦论家弗里德里克·卡塔（Federico Carta）在研究最简单的卡拉比—丘流形类型（K3曲面）时，偶然发现了表面的“同伦群”（homotopy group，在拓扑学中用于对形状进行分类），与一种称为“Mathieu 24”的对称群之间的关系。两人的发现揭示了纯数学中两个不同领域之间意想不到的联系——拓扑学、形状研究以及现代代数中一个称为群论的领域，该领域涉及物体所具有的对称类型。 

何杨辉谈到，为什么物理学会产生如此有趣的数学，这是一个“深奥的问题”。存在无数种模式和结构可供数学家加以研究，“但那些来自现实的（模式和结构）是我们在某种程度上有直觉的。” 

希钦表示同意。“数学研究不是凭空产生的，”他说。“你不能为发明一个新理论而发明。你需要相信那里有一些东西需要调查。新的想法必须围绕着一些现实的观念，或者也许是某人的观念。” 

这就带来一个问题，即物理学是否仅仅通过提供更强烈的探索动机和数学家精力的焦点来滋养数学。在关于世界应该如何运作的直觉和看似合理的终点的指引下，数学家有时可以在某个问题上取得比其他情况更快的进展。 

它还可以解释一个奇怪的事实：“糟糕的”物理学有时可以带来好的数学。 

例如，涡旋（vortex）理论是英国数学物理学家威廉·汤姆森（William Thomson），即开尔文勋爵的早期尝试，旨在解释为什么原子的种类相对较少。他将原子想象成旋转的环，可以打成错综复杂的结，每个结对应不同的化学元素。在发现电子后，该理论被抛弃了——但其数学导致了纽结（knot）理论的发展。此后，纽结理论成为纯数学家探索的沃土，并在流体动力学和理解像DNA这种缠结分子方面发现了令人惊讶的应用。 

对阿蒂亚来说，物理学和数学之间的神秘关系都归结为人脑。“人类是长期进化的产物，其中强大的大脑是一个优势。这样的大脑是在物理世界中进化而来的，因此进化的成功是通过生理的成功来衡量的，”他在 2018 年的一次采访中解释说。“因此，人类大脑进化来解决物理问题，这需要大脑发展正确的数学。”要做到这一点，大脑还必须适应识别和欣赏自然界中的数学模式。阿蒂亚甚至在 2014年进行了一项大脑成像的合作研究，该研究得出结论，对于数学之美的体验与优美的音乐、艺术或诗歌一样，它们激发大脑的相同部分。这也许可以解释为什么物理学可以成为数学家的指路明灯：从研究现实中产生的那种数学往往是我们的大脑喜欢的那种。 

2010年，在与希钦和当时在普林斯顿大学工作的荷兰理论物理学家罗伯特·迪格拉夫（Robbert Dijkgraaf）合著的一篇论文^[2]中，阿蒂亚进一步强调了物理学在数学中的成功应用。然而，从那时起，试图理解这种现象的工作就很少了。 

最近重新审视这个问题是一位哲学家，博洛尼亚大学的丹尼尔·莫利尼尼（Daniele Molinini）。2023年他发表在《英国科学哲学杂志》（The British Journal for the Philosophy of Science）上的论文^[3]，回应了诺贝尔物理学奖得主尤金·维格纳（Eugene Wigner）于1960年撰写的一篇经常被引用的文章，即《数学在自然科学中不合理的有效性》（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences）。然而莫利尼尼出言无忌地回应则是探讨“物理学在数学中的不合理的有效性”（The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics）。他给出一个令人惊讶的回答，一些物理定律可能像数学定理一样无可争议。他说：“我们必须将关于现实世界的一些原则视为基本原理。” 

哲学家们普遍同意数学真理成为一种“必然”，因为它们必须在所有可能的世界中都是正确的。而对于自然的真理，经验事实，则是不同的——它们依情况而定。光以恒定的速度传播，但可以说在一个不同的宇宙中，它可能并非如此。也就是说，无论如何，数学真理在过去和将来都是正确的。 

是否存在某些物理定律也以同样的方式成为“必然”？在他的论文中，莫利尼尼认为守恒定律可能就是这样的一条定律。在物理学中，系统的某些属性，例如能量或动量，不发生改变。例如，一个骑自行车的人从山上自由滑行而下，将她的重力势能转化为动能，但她和她的自行车所拥有的总能量保持不变。 

莫利尼尼认为，如果这种守恒是“必然产物”，那也许可以解释阿基米德为何能通过力学的思考成功推断出几何证明的真理性，否则难以解释这一壮举。在这种情况下，物理学和数学是同一枚硬币的两面：两者都是正确的，因为它们都遵循相同的基本原理。 

另一种著名的观点则是伽利略在17世纪初表述的，并经常受到数学家的拥护，即宇宙是用数学语言写成的。这个想法有着古老的起源，至少可以追溯到毕达哥拉斯和他的追随者，但一个更晚近和极端的版本是马克斯·泰格马克（Max Tegmark）的数学宇宙假说（mathematical universe hypothesis）——宇宙本身不仅由数学描述，而且是由数学构成的。 

在泰格马克的论述中，我们的宇宙只是无数个平行宇宙中的一个，数学的所有无限可能性——每一个定理、每一个证明——都在这个多重宇宙的某个地方实现了。这也难怪物理学激发了数学的新发现——物理学所描述的现实，无论如何，归根结底都是数学的。“实证科学和数学之间存在着密切的联系，”悉尼大学研究数学和物理学之间关系的哲学家马克·科利文（Mark Colyvan）说。“我们可以得出的一个结论是，不知何故，世界本身即数学。” 

然而，在这两种表述中，从物理学产生的数学应该非比寻常的丰富。可是已知物理学产生的数学只是所有数学的一小部分（几乎所有数学可能都没那么有趣）。宇宙完全由数学构成并不能解释这个问题。 

莫利尼尼正在对一种流行的数学适用性的哲学阐释发起挑战，即“映射”^[4]（mapping），他认为这种阐释无法解释为什么好的数学可以从物理学中产生。映射理论认为，通过将物理概念[如质量或间隔（separation）]转化为数学对象，例如牛顿万有引力定律的方程，可以使用它来计算某些东西，然后将其映射回物理属性——两个物体间的吸引力。但莫利尼尼质疑说，当人们试图颠倒它来解释数学是如何从物理学中出现的时，映射过程就失效了。

他说，哲学家们对这个问题的兴趣越来越大，他们一直关注为什么数学可以应用于实证科学的反问题，即为什么实证科学可以得到数学。

“现代物理学为数学家提供了一大堆新工具和意想不到的线索，”何杨辉说。“未来，物理学和数学将需要更紧密地合作，以解决纯数学中的一些最大问题。”

他表示，罗伯特·朗兰兹 （Robert Langlands） 在 1960 年代构思的朗兰兹纲领（Langlands program）就是这样一个领域，它通常被称为“数学的大统一理论”。据称，该纲领的一个分支，即几何朗兰兹纲领（geometric Langlands），最近由一支数学家团队解决，他们提出的证明横跨五篇论文，长达800 页（编者注：可参阅《在监狱中萌生的数学大一统之愿景，离实现又近了一大步》）。该证明的核心基于最初从共形场论（conformal field theory）中得出的洞见，共形场论是物理学的一个分支，是弦论及其他领域的基石。何杨辉认为，数学家需要借鉴更多的物理学来探索该证明的含义，并在朗兰兹纲领的其他方面取得进展。

同样，数学家们已经利用物理学来尝试在黎曼假设（Riemann hypothesis）和BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer conjecture）问题上取得进展，它们是数学中两个最具挑战性的开放问题。何杨辉感觉，这两个领域间的结合将是最终解开这些宏伟命题的关键。 

何杨辉说：“物理学和数学开始再次合二为一，就像它们在牛顿和高斯的时代一样。”他接受过理论物理学家的训练，但越来越倾向于将物理思想应用于纯数学问题。 

这是个迷人的想法。宇宙的故事可以用数学的语言写成。但是，尽管这个故事看起来很美好，但有迹象表明，要想比物理学家已经理解得更多，将需要越来越奇特和复杂的数学工具，而且有些工具有待被发明。打破这两个领域之间的壁垒可以为理解双方打开新世界。 

[2] 参见：Atiyah, Michael, Robbert Dijkgraaf, and Nigel Hitchin. "Geometry and physics." Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 368.1914 (2010): 913-926. http://doi.org/10.1098/rsta.2009.0227

[3] 参见：Molinini, Daniele. "The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics." The British Journal for the Philosophy of Science 74.4 (2023): 853-874. https://doi.org/10.1086/715104

[4] 参见：Bueno, Otávio, and Mark Colyvan. "An inferential conception of the application of mathematics." Noûs 45.2 (2011): 345-374. https://doi.org/10.1111/j.1468-0068.2010.00772.x