演讲 | 曹则贤

“坡”问题

好，现在我们知道怎么描述运动了，知道有牛顿定律了，那么力学到什么程度到什么时候呢？大概就到了 17 世纪中间的时候，大家一边发展着微积分，一边拿着微积分来互相难为对方。就是说关于运动咱们大家出题目。我们都知道单摆，刚才的单摆实际上它并不是严格周期性的，摆绳摆幅不一样的话，它的周期是不一样的。

那么怎么去制造出一个摆，这个摆你不管怎么摆法，它的周期是一样的，就成为一个难题。那么惠更斯就提出来了，说做一个这样的摆，大家看（注：该页 PPT 右列那幅图），这也是你在一个平面桌子上滚一个硬币得出来形状，叫摆轮线。这样的话，你把一条单摆定给它定在这个地方摆绳，遇到这个线的时候会搭在上面，这样的摆它就和振幅完全无关，就是说摆绳不管多长，它都是等时的，就非常酷。

那么这样的一个摆轮线，我们都知道现在发展成一个运动，就是小轮车运动。小轮车做成这样的话（注：该页 PPT 下面那幅图），从不同地方车开始往下滚的时候，到底下速度是一样子的。这就是当初的一个问题就是说我们从一个 a 点到下面一个 b 点，我修一个坡，我能不能做到这坡上不管从哪一点放下一个球，它滚到底下的时候，都是同时滚到这个球底下，这个叫等时线问题。从 a 点这样修一个坡，你拿一个球放在不同高度，你不管在哪出发的，它最后滚到底下的时候是同步的，这是一个问题。

惠更斯，又是这个光学大家，也是做钟表的人，给出了这个方程，这叫摆轮线。你拿一个硬币，或者说有个苍蝇趴你车轱辘上，你车轱辘转的时候苍蝇的轨迹，这就叫摆轮线，大家一定要记住这个很重要。

1696年瑞士的这个数学家约翰·贝努里向江湖发出的英雄帖，说谁能解决这个问题，结果收到答案有哪几个人呢，一个是他们家的，应该他叔叔辈，叫雅克布·贝努里，一个是德国著名的神一样的人物莱布尼兹，另外一个是德国的哈斯，有钱人哈斯，另外一个是法国人洛必达，学微积分都知道洛必达法则，这已经有四个人了，还有第五个人，不好意思写自己名字，匿名，约翰·贝努里说这一定是牛顿，然后说出著名的话“从一个从爪子上我能判断出这是哪头狮子或者它是个狮子”。其实我后来想也不是因为那时候全世界数学能到这个程度的，也就这几个人，一猜估计他也就是牛顿，又是从英国寄过来的。所以大家看这五个人大概是挺酷，当然了，约翰自己本人也发表了对这个问题的解。

那么这个问题的解就厉害了，带出来一个什么问题呢？

除了带出摆线模型以外，它最重要的是带出了一个问题，就是对一个积分怎么求极值的问题。因为过去牛顿的微积分教我们大家的都是给你一个函数，怎么求它的极值？函数求极值，就简单来说对函数求微分那极值出现在微分等于零的地方，这过去大家都会了，现在是说给你个函数做积分，怎么求这个积分的机制，这是一个新的数学。 
 

他大概想说的什么意思？这样的一个数学问题表示的物理是什么样，就是说有某个事件起点和终点是固定的，我要求你根据某个规则选择它路径是什么，或者反过来说，如果你知道了某个事件，它的起点是a终点是b它必然走出这样的一个路径的话，请你告诉我它的规律是什么，现在变成了这样的一个问题。

欧拉—拉格朗日方程

这样一个积分的求极值问题，不仅是当时这五个微积分方面的大拿，提出这个问题，而且这个问题会一直流下去，流到什么程度？到了18世纪中后期，两个人一个是来自瑞士的欧拉，一个是来自法国的拉格朗日，都来研究这个问题。

那么研究这个问题欧拉表示就是硬算，说如果一个那样的函数求微积分的话，它满足的条件是得出这个方程，欧拉老师是硬算的，我请大家记住欧拉老师的算功是非常厉害的，欧拉晚年是双目全瞎了，双目失明，但是人家的算功一点都不减，还是几天一篇文章。

那么拉格朗日的认识就高一点，他说对于这样的新问题，一定需要新的数学工具，变分法，它假设我的函数有一个变化，但是也是相当于引的新函数，这个新函数带进去，如果要求我的量在一阶这个层次上还是不变的，那么它也能导出一个条件，条件竟然和欧拉得出来是一模一样的这个方程，现在就叫欧拉-拉格朗日方程，大概也是判断一个理工科人的判据，你知道不知道欧拉-拉格朗日方程，理工科的学过力学的都应该知道。

那么这三个分不同的人看到它的角度是不一样子的，关于差分编计算机软件的人都知道，会把减去叫做这个地方的差分或者差。但是一个奥地利人玻尔兹曼1872年说，对于这个差分我要赋予它哲学意义，于是乎量子论产生了。而在这样的一个研究极值的过程中，差分、微分和变分这三个东西是汇聚到一点的，而在我们中国，在我们物理所后面的所数学所里面，有一位冯康先生，他在同一篇论文里面把差分微分和变分问题揉到一起去了，于是乎产生这个世界上非常重要的有限元方法。你想想我们科学院的有一位老先生冯康先生他的论文里面把差分微分和变分融合在一起，我们科学院应该宣传一个很重要的点，学问能做到太厉害了。

还有一点我强调一点，就是这些东西我们看似是一个简单算的东西，可是不同的人看到的高度不一样，最终一定要看到哲学的层面。所以说我提醒大家，就是说我们不仅要会写出模仿人家写公式，还要学会看公式里面意义，比方说它的经济意义怎么把它变成实用，用它挣钱，然后也学着看到它的哲学意义，要养成这样的一个自觉。

我们现在求一个函数的积分，怎么让它最小，如果仅仅是一个函数求极值谁都会。结果你遇到实际问题是什么？其实问题反而是说你在这个函数还要满足别的条件，比方说给孩子钱，让他到商店里既要买蔬菜，又要买零食，还要买点肉，结果钱数总共就是80块钱，钱数一定情况下，怎么到商店里买的东西，买这东西还得是用来做菜最合理的。大家看这就不是个容易问题，就是说给你钱数是总是固定的，然后你到商店里买的菜，买的肉，买的调料，还是正好能做出这菜还没有多浪费的，就这样的问题。那么求一个函数的积分的极值，还要满足不同的条件。这个条件可能是简单的直接表达的代数条件，还可能是一个微分形式的条件，还可能是一个积分形式条件，对于这样不同的条件，拉格朗日发展了自己的数学方法，这就叫拉格朗日乘子法。

拉格朗日乘子法

我就不给大家细讲了， PPT上讲的非常详细，请大家有空去学。

那么这个地方有个很重要的哲学，就是方程本身是一个等于零的，你把约束条件也当做零加进去，零加零还等于零，这个是大家都能理解的，但是为什么你把一个零和另外一个零加到一起，零加零等于的这样一个新形式就有意义呢。因为你加上去不是一个单纯的零，而是加上去是一个很多项和等于零，很多项的和等于零加到一个零上面，这个意义是不一样子的，这是理解拉格朗日乘子法非常重要的地方。

我不给大家细讲了，那么我们往下就到原理层面了。

原理层面，我们的力学的原理层面，从前就叫杠杆原理，我再给大家强调一遍，不要误以为我们在中学里面学过杠杆原理，就会懂杠杆原理了。杠杆原理后来经过发展，这些大拿，伽利略、笛卡尔、托里切利、瓦里斯、惠更斯，大家看哪个不是大拿，他们都后来对以杠杆定律代表的虚功原理有不同程度的发展。那么约翰·贝努力在1717年的时候系统化了虚功原理，然后达朗伯1743年出版了一本动力学讲义的书，利用虚功原理解决动力学问题。1768年拉格朗日用更有效的广义坐标表示虚功原理，从此把动力学问题化成了静力学问题，有了系统的解决力学的方法，这是这一段历史的简单总结，然后下来我们看细节。

亚里士多德是怎么定义的干活的能力的，或者叫功率（power），那是什么？就是重量与速度的乘积。大家想想这是不是也是这个道理？我们现在都说我们每天上班是搬砖的，那么老板怎么看你搬砖的能力的，那就是砖的重量和你搬的速度对不对？砖的重量乘以搬砖的速度，那就是你搬砖的能力，这就是老板在意的。那么在搬砖的过程中，干过活的人都知道，搬砖的过程好像还是蛮愉快的，最难的是你搬着砖在中间过程你还是停顿的，这个时候你在老板眼里是一点功绩没有的，但是你停在这，搬着砖的，可是一点都不轻松的，就像我们拉滑轮，尤其是救人的时候，你拉住了不是问题，你这手一松拉不住，这才是大问题。像这样的问题，你不应该研究这有几个滑轮，拉住了后这边力和这边的重力什么关系，而是要好好研究，一旦拉不住该怎么办。

所以说这个地方就带入了一个很重要的东西，杠杆平衡的实际问题和速度有关系，但是虚速度，因为杠杆两端的时间又相同，所以说就落实到了杠杆可能出现在虚位移上面了，就是说如果一旦动的话，虚位移怎么回事？这个地方虚位移，我当初学力学的时候，我死活也想不通虚位移到底该是多少，因为你没运动，只是说如果运动的话，这一点运动的和这点有什么关系？可是这个值不是想怎么取就怎么取的吗？所以当年我学这个东西我死活也学不明白。

学不明白咱们先放着，然后我们再看关于功的认识，伽利略获得了功的认识，又回到搬砖这个问题上，老板怎么对你的工作性成果记账的，就是你用的多少力乘上你做多少位移，这个叫功。

那么对于虚位移，力乘上虚位移等于零，那么我们都知道力乘上位移的词叫功，所以这个现在又变成了叫虚功原理，虚功原理就是假设你那个加的力乘上它可能的虚位移，总和应该等于零，这才叫平衡。这是正常的空间坐标，如果你把它考虑到这个系统还受一些约束，如果你不用考虑约束，能够用广义坐标描述这个问题，那就用广义坐标来描述这样一个虚功原理，这个也没问题，跟这个本质上也是一样的，反正就这样的一个公式，如果这些坐标互相都是独立的话，那么这个等于零，就意味着前面的各个必须等于零，这是一个极端的例子能用，但是但凡不是这种情况，好像这个东西就不该这么用了。

反正我当初学理论力学是学到这个地方很糊涂，因为就是这个问题，因为这个东西是虚的，到底该多大，它是无穷小的，无穷小是多小，因为都是无穷小的，差个两倍它也叫无穷小，对不对？差两倍小的加起来和等于零的问题就出问题了。数学上我始终理解不了，直到有一天我们读到了当年这些科学家也不知道这些东西该怎么办，他是把这个东西作为原理，你要把它上升到一个层次，把这个问题消除了再它只是指引导你往上一个层次去下一个层次去看问题，这就好理解了。

那么虚功原理，当我们后来有达朗伯原理的时候，达朗伯把质量乘上加速度这个项，也当做一个实实在在的力叫惯性力，把它当做力处理的时候，这样的虚功原理就能够让我们的力学腾飞了。所以说虚空原理一定要和达朗伯原理结合往下才能走，否则就是虚功原理本身好像没什么用。

但是话不能这么说，虚空原理在力学里面它的重要性被不断的强调，说它特别重要，那么甚至有人说经典力学的要点，就在虚功原理，这怎么理解？我们理解说虚功原理的大意可以这么说是，任你东西南北力，你不管你有的没有的力，我就是平衡的岿然不动。那么大家看这句话，看起来你金庸的武侠小说读多了对不对？这句话说的跟没说的一样，可是总有高人能够理解这里的内容。

2024年3月26号发生一件事情，让我终于理解这个东西了。大家看3月26号美国发生一件事情，一艘船把这个桥给撞塌了，但这座桥整体上稀里哗啦都塌了，这个问题在于什么呢？就在于1911年奥地利人Ehrenfast，就是我们学统计物理要遇到这个人，高人理解了刚才的虚位移或者达朗伯原理是什么意思呢？他说虚位移联系的不是简单的平衡，而是绝对平衡。他加上绝对两个字，就是虚位移联系是绝对平衡。

我在写黑体辐射的时候读了他的原论文我就理解了，加上2024年3月20号撞桥事件，我就更加理解这个道理了，大家看看怎么回事，我们看一座桥它建起来它就看起来是平衡的，因为它桥在那了，上面车在跑了，它就是平衡的？看起来是平衡的，但是根据虚功原理，虚功原理指的那种平衡状态是绝对平衡的，绝对平衡什么意思呢？这座桥绝对平衡的反例，它看起来是平衡的，但是当它局部受到扰动的时候，它的整体坍塌了，说明它不是绝对平衡的，绝对平衡到底是什么？烧料炉子里面光的分布它是绝对平衡的。那么1911年Ehrenfast认识到，对于炉子里面那一团光的分布平衡态，你加上任何的扰动，它都应该能够恢复原来的平衡，它的平衡是绝对平衡，既然认识到绝对平衡，那么你把虚功原理给运用到一个炉膛里面的一团光的分布黑体辐射的时候，就必须额外再加一个条件，这个条件就是黑体辐射的绝对平衡条件，而由平衡条件竟然引入了化学式这个概念，而化学式概念在别的地方早就被认识到了，现在认识到这个是正确的。

所以说大家看到没有，就是说我现在就想当年法国人引入虚功原理的时候，明明他也没法用，但是他怎么能坚持这个原理的，一直等到1911年的时候，Ehrenfast才能给你一个例子，说这个原理怎么用，也有别的地方有例子我没看着，但是我只能说有了这个撞桥的例子，有了黑体辐射这个概念，我现在状态，我现在对什么叫虚功原理不再迷惑了。

达朗伯原理

我们把外加的力加上质量乘上加速度，惯性力写成等于零，然后写成虚功原理，虚功原理到这时候它就具有了所谓的哲学意义。所有的动力学问题都是平衡问题，没有动力学了，都是平衡问题。那么这个怎么理解？

好理解，给大家看一个东西，这样的峭壁对于我们来说平衡就是大问题，看你看岩羊是怎么做到平衡的？运动就是平衡，这就是达朗伯原理给我们的东西。

接下来我们处理它运动与平衡，我们再看这里面的惯性力，惯性力可以表达成这样的形式，这样其实当然我们记得刚才好像见过，就是那个球函数积分极值的欧拉拉格朗日条件，这就很有意思了。

然后你就会发现，如果施加的外力对位移的积分也是这样一个形式的话，

那么就会发现这个地方得出了一个动能减去势能这个函数求极值的平衡的条件，碰巧就是刚才研究从高处到下处修一个坡，坡上面下落速度更快的要满足条件，叫欧拉-拉格朗日方程。

高斯最小约束原理

同时除了达朗伯原理，还有人用另外一种方法给它改造，这个人是谁呢？德国大拿高斯，高斯被誉为这个，这是拉丁语字母，有人随便就翻译成数学王子，欧洲地上王子不算什么夸人的对吧？王子欧洲那一个可以管的地方还不如我们中国一个大队书记管的地方多，所以王子不是夸人的。拉丁语意思是说他是数学第一人，不是什么数学王子，就意思他在数学领域是老大，那么人家是怎么改造达朗伯原理的？

他就是把你的位置给变分，这个地方就是加速度，那么如果平衡的时候这一项等于零，所以说就把变分带到刚才达朗伯原理里面，就得到了一个很有趣的东西，外加的力减去质量乘加速度，括号的平方除以之和，让他求怎么等于零呢？而大家如果对数学比较感兴趣，就会发现这个东西就是高斯在给我们引入的数学样本拟合曲线的最小二乘法。

那么这个公式的意义是什么？是说我施加这个力就造成了这样的加速度，当然是在有一些约束条件的，但是那个约束条件我不知道怎么回事，但是只要我施加的力造成这样的运动，那么合理性就是体现于我施加的力和造成的效果求出来的偏差平方应该是最小。造成的结果里这个偏差最小的就是最实际发生的，而至于到底是造成什么辅助条件，就可以不用管了，太高明了，这样的一个关于哲学这就是高斯的最小二乘法或者最小约束原理。

还很酷的是赫兹把高斯引入的这样一个函数解释成为测地线的曲率，突然就会把一个粒子的运动本身和黎曼几何又联系在一起了，这就变成了赫兹的最直线原理。说的什么意思？就是说你把刚才高斯那个公式给改造了以后，把空间用粒子的质量的根号给加权一下后，就扭曲一下空间，这个空间里面粒子的运动就是尽可能直的那条线，可是什么叫尽可能直，有多直？那么既然是用粒子质量根号加权才去扭曲这个空间里面的粒子，当这个粒子的质量等于零的是什么情况？当这个粒子质量等于零的时候，就说它走的路是最直的，可是哪个粒子质量等于零，因此光走的线就叫直线，不管光走的线看起来是什么样子，那个就叫直线。

现在我们知道什么是直了，那么当质量乘上加速度给转换到和力的一边，就是这么一个简单的做法，我们用来去看转动框架里的东西的话，就会立马带出来很多知识，我们知道一个东西怎么运动的，然后你在转动的框架里去看它的时候，这里面的矢量随着转动就会得改变正比于参数也正比于转动的角速度，它正比于它本身这个也是对的，这个是个简单的微分。

那么你就能得出一个：物体加速运动时，在一个转动的坐标系里面看，加速度就有四项，这四项分别除了本身加速度以外，还有离心力，科里奥利力，欧拉力，这个科里奥利力就和物体自身的运动以及坐标系本身的转动有关系。这里哪能体现，我们都知道我们地球本身是转动的，那么我们地球上面运动的东西也许就遭受这样的一个表观的科里奥利力，怎么把它表现出来呢？

一个法国人，又是光学，大家我再强调一遍，力学好的作出贡献的人都一定是光学大家，他提出了傅科摆，说我们只要是摆绳足够长，你让它晃起来晃的时间也足够长的话，就一定能看出它的偏转来。所以结果现在这个东西几乎成全世界各个地方科学馆进门位置的一个标准件，就一定是高高的地方挂一个大重锤，让你看长时间摆的摆平面的偏转，就说是证明科里奥利力证明地球自转的。

转动这个问题，咱们只能去欺负刚体，因为刚体是什么？刚体里面它不同点之间的距离是严格不变的，所以说刚体不管有多长，长成什么样子，它最多只有六个自由度。如果你研究它的定点转动，它就只有三个转动自由度，如果你研究规定它一个轴绕轴怎么转动，它就只有一个自由度了。所以问题就简单了，等你读到研究生的时候，将来你要学到刚体力学，还有比刚体力学要求稍微宽松一点，就是说单元之间的运动不是严格等于零，可以略小一点大概为原子间距的固体物理，为什么呢？就是因为刚性的要求是一个很严的要求，有刚性的要求，就会产生很多奇迹，而你对刚性的要求要放松一点，现象立马变得不好理解了。

我们先看刚性的要求带来什么奇迹，我大家看吊着几块砖头，你用三根火柴就行了，因为到这一步的时候，火柴一根、两根、三根，这已经连到一起了，这样的一个刚体之间如果火柴足够结实的话，满足刚体条件的时候，这样一个体系的自由度就几乎被限制了，我们退出来我们再看一下怎么三根火柴就吊起了两块砖头，火柴给它搭在桌子边上就行了。

我们再来看一遍，就是因为那三根火柴是刚体，如果软一点运动变得就是另外一回事，我们看如果在这样一个结构里面，我们钢珠子中间的连接是略软一点点的，又有刚性比较结实，但是又有一点点不那么死板。那么你看它的运动就是奇怪的现象。有人把它解释成反重力，这是不对的，这就是既有一定的刚性，然后又没那么有刚性，它必然表现出结果，不是很好理解。

这就是所谓的关于刚体转动的表观力的问题，我就不给大家讲了。

那么既然描述的转动，除了外力等于零的话，还要求一个力矩的问题，那么到力矩的问题就有一个质量关于转轴的分布问题，这就自然而然地带出一个重要的量，质量对某种距离平方意义上的分布，这样一个积分的问题，这个东西就叫转动惯量。

转动惯量引入的实际上是一个的矩阵，这个矩阵最大的特点是什么呢？矩阵是对称的，也就是说，按定义它就相等，这是一个对称矩阵，而对称矩阵有个性质是一定能够对角化的，能够写成就是这三个量，而其他的地方就等于零，也就是说对于一个物体，你随便就是说固定三个轴的话，都能写出这样的一个转动惯量，转动惯量一定能找出来一个特定的三个特定方向。它的转动惯量值是这个样子的，这三个方向从数学上就可以证明是互相垂直的，正好可以用来做坐标系，然后这三个值就叫它三个主转动惯量。我之所以一定要强调这一点，就是因为我们面临着一个怎么操控转动的问题，我们都知道我们国家在过去，就为了发动机，费了很多劲，很大程度上就是转动问题不好描述。

大家看，这是定轴转动，不同物体定轴转动，大家可以看到不规则的东西转动，比如说茶壶的转动一定特别不好弄，那么到发动机，我们知道发动机一定是要沿着它的主转动惯量主轴，可是我们知道发动机它里面的质量分布是变的，进气不进气是变的，然后它工作不工作差2000度，它里面的质量都是变的。因此这样的一个结构还高速转动起来，你要求它的是它本身转动过程的主轴，始终和你的支撑主轴在一条线上，这个要求是非常高的。一个高速转动的物体它的主转动惯量轴如果和支撑轴不在一条线上，它高速转动起来的时候，它自己就飞出去了，我之所以在这个地方强调这个地方，就是想给大家讲这个地方难度在哪，说研究一个物体的转动不是那么容易的

那么如果一个物体不规则到一定程度，它三个转动惯量的值都不相等，我们按大小，这三个主转动惯量都对应着三个方向的，那么如果我们选择它的转动方向是对应它转动的这样一个主轴方向的话，这时候就会出现怪异的事情，为什么呢？因为它小又比它大，也就是说他减他是负的，他减他等于正的，就是说转动过程中仍然会遇到这个地方符号突然改变的问题，也就是说它的转动行为就会出现诡异的东西。这个现象最开始是俄罗斯一个航天员在空间站里发现的，其实这个早就有，仅仅是说他在实验里发现，比方说我们用这样的一个蝶形螺母在空间站里面，你让它转动起来的时候，你会发现它的转动行为就很诡异，这就是俄罗斯的一个宇航员先发现的故事，我希望在我们的空间站里哪天展现这个故事的时候，能够把这里面转动的机理说清楚，不要简单地一句什么角动量守恒，角动量守恒肯定是角动量守恒，对不对？但是为什么会发生这个问题？就是一定要记住，一定是绕第二个转动惯量主轴附近才会出现这些事情。

那么刚才的关于转动欧拉方程，一个叫阿贝尔的人，从高斯的最小约束原理也能够推导出来，这个是很酷的，我就细节就不讲了，你只要知道关于转动的欧姆方程还有另外一种推导方法。

那么关于空间的转动问题，我们都知道在发展力学的过程中，都会用欧拉角来表示，我不是夸自己，我当年学理论力学的时候，我就觉得用欧拉角描述太难了，因为不光是有很多变种，最重要的也不好记，为了考试应急去糊弄考试，心里不理解，我总觉得很难受。那么结果有一天证明我是对的，因为用欧拉角描述飞机的三个转轴的时候，在某一个角度上是要出问题的。

后来明白了欧拉角描述转动是不构成群的，因此这个描述方法是不对的，因为我们知道转动两个转动接着做，两个转动一定等价于某一个转动的结果，也就是说你对转动的描述一定是要构成群的。后来才知道我们关于转动还有罗德里格斯公式以及最重要的将来会有哈密顿的四元数表示的转动，四元数就构成群了，就构成了对转动的正确的描述，这也就是为什么我当初读樱井纯的量子力学，发现人家那么转动上来都是这个公式，我怎么不认识？后来才明白咱自己数学学得少，人家转动描述是对的，对转动的运动，尤其转动体系的运动的不容易，可以给大家看个短视频。

莫珀替原理

我们还回到莫珀替原理，法国人莫珀替认为费马说光线走的是什么？一定是走光程最短的，莫珀替就认为所有自然发生的事件里面一定对应某一个称为动作的量action或者叫作用，我们汉语把它翻译作用，实际上它某种更多是指动作，总存在某一个表示成action的东西，这个量应该最小，这是一个比较哲学性的思想。

那么对于他是怎么想的，这一路的思想是这么过来的。首先在古代时候欧几里得发现了光的反射原理，光反射线和法线的这个夹角与入射线和法线的夹角是相同的，那么很快Hero of Alexandria就证明它为什么遵循反射定律，因为这样的话从这一点到达这一点所走的光程最短。那么过两天人们又发现了光的折射定律，满足折射定律，那么从几何上也可以证明，从他之所以满足这个定律，是因为这样的话，从这一点到介质的另一点两边光程加起来最短，所以说这就有了费马的所谓的光程最短的原理。

1741年，Maupertuis就认为说应该有一个对于粒子或者物体的运动也有这样一个量，这个量应该是最小。1746年，Maupertuis说一个运动质量它应该是让某一个作用最小化。那么对于一个自由运动的东西，哪个东西让什么最小化呢？就是质量乘上速度，再对你走过的路径积分，这个量就是你的作用量，具体决定走哪条路让这个量等于最小。我们大家平常走路实际上这个样子的，我觉得这个公式可正确了。但凡一个胖子跑路，你就知道能体会这个公式有多正确，你的体重乘上你跑步的速度，然后看你能坚持多少长度，那么你跑起来的时候总是尽可能选择一条路，让费力最少，这个道理是非常明确的，可是到底不好的地方在哪儿呢？他没考虑约束条件或者考虑外力。

为什么Maupertuis能提出这样的道理？是因为我们被人称为是个抚平地球的人，也被人称为是一个思想海盗，是一个很有思想的人，它和高斯都是实打实测量过地球的人。我这个地方包括刚才提到的欧拉，我这个地方特别想给大家提到一点，就是这些人他们学问那么高，他们思想那么高，很大程度就是因为他们的学问来自世界，这些思想很高的人恰恰都是实践的能手，而对于像欧拉这种人就是说他的数学有很多精彩的思想，但是别忘了实打实硬算的功夫你也比不过他。这就是像后来我们会提到雅各比雅各比很聪明，别人都说他聪明，雅各比聪明是一回事，最重要的是他也比你们都刻苦，真的是这样子的。

那么我们现在谈回到最小动作原理或最小作用原理，我再强调一下，用凤头雨燕给大家提供一下最小作用原理，就是它窝就刚好放一个蛋不掉下来，这样一个最小原理，而我们的自然界遵循这样一个原理是一个叫action的东西，action的变分等于零，要取极值，就是那种多一点少一点都不对，应该是取极值的东西。

关键这个action是什么东西？那么刚才Maupertuis就是说质量乘以速度对路径的积分，实际上就是两倍动能对时间的积分。现在到了1853年你看一个叫rock的人才给我们引入了势能的概念，大家看到没有势能的概念出现得很晚，那么引入势能的概念，势能的变化就等于做功的变化，那就可以和力的虚功来联系起来，势能和力做功联系起来，如果我们的势能做功函数和势能之间是这个关系，如果是我们做功函数本身和和速度无关的话，那么最后得出那个式子就仅仅是和位置有关系，也就是和一个粒子体系相互之间的距离那种构型有关系的话，那么就能得出来我们要最小化的那个东西是  这么一个东西。

那么这地方对于运动我们不得不多说一句，我们都知道运动动能是速度的平方，而速度的平方恰恰就是位移的平方除以时间的间距的平方，那个位移的平方，就等于不同的方向上坐标的简单位移的平方，而这个东西的一般化的形式或者二次形式，所谓的黎曼几何这个地方就叫度规，对它深度研究，把它用到弯曲空间的话，这就是爱因斯坦的广义相对论，也就是说请大家这个地方不管细节是什么，你一定要记住一条，力学在哪呢？力学在研究弯曲时就是你怎么描绘空间的弯曲，而这个空间弯曲竟然和运动和黎曼几何和动能这一项是联系在一起的，所以这个地方就提醒大家记住一个非常重要的现象，表征了我们力学是一门几何的重要概念是动能。

动量和力量是什么关系？黎曼几何的一个优点是可以独立于特定的参照系统，也就是说你可以把黎曼几何表示成一个不依赖于参照系的系统，这就显得很抽象了。然后之所以它是个几何，几何通过惯性的联系，所谓的惯性就是质量，实际上就是动能这一项，表征惯性的不是动量而是动能，这是几条关于几何关于动能之间的关系的问题。这样的话大家也就能够理解了，为什么是爱因斯坦苦苦思考了七年多，去思考推广广义相对论，到了引力方程，还是出现在哥廷根比爱因斯坦得到早几天，为什么呢？

是因为哥廷根那个地方是高斯教书的地方，是黎曼学习教书的地方，是后来得出引力方程的大数学家希尔伯特教授教书的地方。而这个地方我再提醒大家一句，黎曼上大学时候学的也是文科，黎曼仅仅是活到40岁有一种说法，就是在整个人类19世纪创造数学里面，黎曼一个人贡献超过一半，而黎曼同学大学竟然是学文科的，但是他很幸运，因为他上的是哥廷根大学，哥廷大学有位数学很好叫高斯老师，是高老师在校园里有一天遇到他的时候说你应该学数学，于是乎我们有了这样一伟大的数学家，有了奠定我们力学的几何基础的，我指的力学是从近代力学到广义相动力学，都是要学黎曼几何。

拉格朗日力学

现在说回拉格朗日，法国人拉格朗日太厉害了，我们刚才说他为了解决从高处下落的一个小球滚落时间最短，已经提出了欧拉-拉格朗日方程，为了解释这个为了解决这一个求积分的变分的问题，在约束条件下，各种约束条件下，他又得出了拉格朗日变分法，然后动能减去势能这个问题在他的推导里面也见着了，后来哈密顿把它定义为拉格朗日量，那么这时候它那个方程欧拉-拉格朗日方程现在就变成了运动的方程，现在我们要把它改造成拉格朗日力学，也就是说从早先的牛顿力学现在至少要上升一个层次，要到欧拉-拉格朗日方程。

那么欧拉-拉格朗日方程就是从虚功原理出来，你往上怎么办呢？

达朗伯原理是这样的一个虚功原理积分，它实打实满足的这个方程就是欧拉拉格朗日方程，这个量就是对应的是动能减去势能正和它以前处理的速降线那里方程是一样子的，所以说我们现在牛顿力学就变成了求这样的一个变分问题。

那么认识到这一点以后，你把虚位移，就刚才虚功表达式虚位移当成时间间隔的实际位移的话，这个公式本身实际上就能导出动能的微分加上势能的微分等于零，也就是能量守恒，也就是说在这样的一个虚功原理里面，能量守恒式的内涵是隐含在里面的。

但是哈密顿这个人把达朗伯原理把它变成一个求极小的原理。

也就是说他把刚才这样一个表达式再给加上对时间的积分，这个时间的积分就得出了所谓的拉格朗日量。

然后他要求对拉格朗日量的变分等于零，在两端点位移都等于零，这样的话就免了我们当初学虚位移的时候虚位移该等于多少的问题，因为在这个积分里面虚位移就等于零，零就踏实了就好办了。

那么这样子得出来一个量，动能减去势能，这就是拉格朗日量，这就是所谓的哈密顿原理，哈密顿原理就有了拉格朗日力学。怎么理解力学呢，来看这样的一个视频，我们一下就能理解整个力学了。

这是举重。首先你要费力把一个很重的东西举起来，举到哪儿要举过头顶，所以说和一个长度位移高度有关系，是不是你把它举到头顶就行了呢，还不行，按照比赛规则说你把它举到头顶的时候，这时候大家知道你不再增高了，可是你手一点不敢松懈，这时候你就能体会什么叫虚功原理了，这时裁判还要求你必须至少静止三秒钟以后，这个成绩才有效的，所以说这样的一个举重过程，恰恰就阐释了经典力学对概念的描述，要先关注力，然后关注的功，然后虚空原理，最后落实到哈密顿原理是作用量最小这样的一个过程。你理解举重规则，你就明白了为什么是这样一个演化的过程了。

拉格朗日方程看似也比较简单

现在简单过程它有一个很微妙的地方在哪儿？欧拉-拉格朗日量里面如果一开始就有某个坐标不出现的话，那么方程就意味着说对应的这一个欧拉拉格朗日量对这一个速度的这一微分叫广义动量，它就是个守恒量。也就是说我不解决这个运动，我能找出运动的一个特征，说某个量是守恒量，这个就很好，那么大家可能就想我换一套坐标是不是能找出新的表达式，这里面又某一个坐标不出现了，我又得出一个新的守护量，这其实没有人知道该怎么做，所以这就瞎蒙，这就是特别低级的一些个研究套路。

高级研究套路是什么？我能不能一下子把这里面包含的所有守恒量一网打尽，怎么打不知道，但是人从一开始要去想我怎么一网打尽，第二个是不管你这一个拉格朗日量用什么坐标表示，我能不能够一下子就看出守护量，这就更高了。低层次的是说怎么换个坐标表示，看里面有一个坐标也是不出现的，我就得出一个守恒量，高级地说怎么一把就把所有都一网打尽。再高级地说连打都不打，然后都能看出来所有的，我们看接下来是怎么做的。

有一个叫勒让德的人是被誉为能弄出各种奇迹的人，法国人称他能弄出各种奇迹的。

它的变化我们热力学会用，这个变化的实质是什么呢？假如说你有一条曲线，你用表示这是一种表示方法。但是你用经过每一点的切线的斜率和这个地方的截距也能表现，就相当于你要画个椭圆，你只需要画出无穷多这样的线的话，这些线也给你一个椭圆的形象。这一个用椭圆用坐标直接给出的椭圆的这一个表达和用这些线簇表达的这两者之间的互相对应的关系就是勒让德变化，那么这也是我们热力学里面最重要的。

那么把这一套变化用到热力学上面，你就能得出来一个东西叫哈密顿量，哈密顿量是什么呢？

它是关于坐标和动量的函数。它有一点本质上不同的一点在哪儿？拉格朗日量的话，是坐标和相应坐标对时间微分的速度，而变成了哈密顿量的话，是坐标和相应动量的函数。你可能觉得这俩是没关系，好像不一样，不是。因为这个地方明显是有一个微分，而这地方不需要有微分，它们俩可以放到相同的位置上，就像一个单位有两位同志，有上级有下级，那么当他去到商店里，大家都是商店里去买瓶饮料的话，对于收银员来说，我管你们在单位原来是谁，上级下级在收银员里就没有这个问题，所以这个地方好就好在哪？在我们哈密顿量这个里面，q₁ 和 q₂ 它可以是平等的角色。 
 

平等的角色那就有一套处理的方法，从它的对应关系就得出了一套方程，就是 q 和 p 各自的方程，这叫哈密顿正则方程，它为什么叫正则方程呢？正则这个事情很有意思，大家如果读古文的话，就知道正则是屈原的名字，“名余曰正则兮，字余曰灵均”，下句最酷，“纷吾既有此内美兮，又重之以修能”。

你会发现特别有意思，这句话正好对就是说的势能和内能。不仅从一开始初始赋予了我们那么多势能，后来又给我添加了动能，我觉得可以这么理解，所以正则这个词本身从哪来？

正则这个词本身来自于 Canon，Canon 的本意是芦苇，为什么是芦苇？因为芦苇这个东西是不生旁支的，所以芦苇是最原始的尺子，是标杆。所以 Canon 本身有这个意思，就是用尺子标杆。所以说这个方程现在长这个样子，拉格朗日量是这个样子，方程被标准化是这样。也就是说，过去牛顿方程里，不同的力不同加速度是长成不同样，到了这样一步的时候，方程一定要都长这个样子。 
 

我们现在研究方程的变换，变换着研究不同的问题，这又要求我们什么？要求这个方程变化了以后还得给我长成这个模样，也就是说这是个正则方程，正则方程接下来要引入也叫正则变换，大家看这个要求就高了是吧？你看我对一个物理体系的描述，这个方程必须长这个标准样子，而你对这个体系进行变换的时候，变换完了，方程还得长这个标准样子，这个要求就高了，而这个要求或者变化本身就带出物理了。 
 

好，这是哈密顿1835年得出来的力学基础，那年哈密顿30岁，而且他是研究什么得出这个东西的呢？是研究光的传播。请记住力学的东西反而是人家研究光得到的。

在这细节我不讲了，正则方程接下来我们要对它进行变换，就有了方程的正则变换问题。刚才我们说了哈密顿量的是坐标和动量的函数，为什么描述一个粒子运动要有坐标和动量呢？

从评价一个足球运动员就能看出来，一个好足球运动员首先要在正确的位置，在正确的位置上他要表现出正确的速度，也就是说他在那个时候下一刻往哪跑，他哪个速度方向应该对的。 
 

这样的话，一个好的足球运动员就有他本身的位置和他的动量以及时间，这样的一个空间里面一条线就能看出来运动员是不是个好运动员。这就是相空间里面的事情，引入一个词叫相空间。也就是说坐标和动量都当做是某种坐标的话，拼在一起可以张成一个空间，这个空间和刚才我们谈论力学的黎曼空间又不一样了，黎曼空间里面是可以定义距离的，而这个空间里面是不可以定义距离的，它不可以定义距离，但是它能定义面积，而面积可以量子化就是量子力学。所以说这个事情很酷，引入哈密顿正则方程是非常重要的。

我们刚才说了，你变换着看，从不同角度的话能看出更多的小动量，因此我们要求对哈密顿量进行变换，把 p，q 换成了另外一套的 P，Q 那么得出一个新的哈密顿量。为了表示一下区别，有人把它改成叫卡米顿量 Kamiltonian，那么什么叫正则变换？ 
 

正则变换要求，变换之后得出的方程和刚才要长一模一样，这样的一个变化是有专门的数学套路的，大概需要有10来页的 PPT 才能讲清楚，我就不细讲了，但是只告诉大家一条，为什么有变化，因为变化的话有些特征就会被突出出来，那些可能正好是我们要找的东西。 
 

那么它这个变换最猛的地方是在哪儿呢？变换最猛的理论是什么？我们不是说想找出来这个变换以后，对某一个坐标来说能看出来它是守恒律吗？假设你变换出来新的哈密顿量始终等于0常数的话，这里面所有的变量就必须也是常数了，因为变换出来所有东西都等于0了，都是常数了。所以说后来就变成了怎么找一个哈密顿量的正则变换，使得变换完的哈密顿量恒等于0，这就是找出了一个条件，这个条件就是后来的叫哈密顿—雅可比方程，哈密顿的正则变化，具体变化的技术就不讲了，咱们跳过去。挺好玩的，也挺考验大家数学的。 
 

这个地方我必须强调一下哈密顿是什么样的一个人。哈密顿既是光学大家，又是力学大家，他在研究光学的时候得出了重要的力学的一些概念和方程。一般人看到一个彗星的时候，也许会关系到来时的路，但是一个好的科学家既要看到星星的看不见的路，还要看见的什么？从星星那边来的具体的光。哈密顿就是既看到一颗星星的路，又看到光到达它的光的路这样一个人，而且这两个要一体的。 
 

所以说光在哈密顿的眼里什么，哈密顿是怎么描述光的？光是某种东西，或者叫影响，或者叫状态。我们很多人看光觉得刺眼，光有点热，而他在说光是某种东西，某种影响，某种状态，或者数学的，或者物理的直线。正则变化的意义，就是让变换出来的这样的一个新的判定的量始终等于0，要求你找到这样一个母函数S，这样的一个方程就叫哈密顿雅可比方程，就是雅可比得出来的。

这么伟大的工作连哈密顿都没得出来，只有雅可比这样的一个纯粹的数学家能得到，他被誉为什么？就是灵魂上一点灰都不沾的人，如果他的灵魂沾上一点灰，他都不可能得出那么伟大的工作，为什么呢？ 
 

因为是这哥们17岁的时候，第一次读了一点力学，就给他叔叔写了封信，说亲爱的叔叔我完蛋了，我读了一点经典力学，我发现了太美了，我这辈子是没有时间恋爱和结婚了，而且人家说到做到。所以说他在得出这样伟大的方程，因为他始终认为，科学的唯一的目的是荣耀人类的精神，那么哈密顿和雅可比两个杰出有才的人，我告诉大家他们俩有个共同点，因为他们俩都是叔叔带大的，因为叔叔是老师，有专门的时间教他，叔叔都没孩子，叔叔专心带他，叔叔有学问，所以专心把他们养大了，所以他们这个都是特别有学问的人。

他特别强调说我数学有能力，但是不能光归于天分，是辛劳，而且不光是勤快，而且是像我一样不停的烧脑的思考，这是他对自己的总结。 
 

雅可比方程有什么厉害的呢？我们看这个细节比较，1926年的时候，这个叫薛定谔的人懂得这个方程，雅可比方程，我们知道S出现在玻尔兹曼方程熵的里面，那里面 S=klogW，W不光是概率的一个首字母，还是波的首字母，所以要想研究波，就把它写成 W=e^S/k。然后你要想和量子力学加上关系，用 iℏ 替代