来源｜arXiv及网络公开报道

撰文｜数学家编译小组

校对｜慧玲

Ferdinand Gotthold Max Eisenstein（费迪南德·戈特霍尔德·马克斯·爱森斯坦，1823—1852），德国数学家，数论与分析领域的奇才，29岁因肺结核去世。他六岁便能理解数学证明，十五岁已通过欧拉与拉格朗日的著作自学微积分。1843年秋进入柏林大学，师从狄利克雷，大学第一年便完成了23篇论文。1844年，他带着洪堡的推荐信拜访高斯，深得赏识，高斯曾言：“只有三位划时代的数学家：阿基米德、牛顿和艾森斯坦。”他的核心贡献集中于数论、高次互反律和椭圆函数。身后一度被遗忘，后经韦伊等人的工作被重新肯定。

数学史上，Niels Henrik Abel（阿贝尔）和 Évariste Galois（伽罗瓦）常因其杰出成就和英年早逝而被追忆和惋惜。本文的主人公是另一位同样杰出且早逝的数学家 Ferdinand Gotthold Max Eisenstein。他 1823 年 4 月 16 日出生于柏林，1852 年 10 月 11 日因肺结核在柏林去世，年仅 29 岁。他的父亲 Johann Konstantin Eisenstein（约翰·康斯坦丁·爱森斯坦）在普鲁士军队服役八年后，始终未能找到一份稳定的工作；母亲 Helene Pollack（海伦·波拉克）则在儿子的早期教育中扮演了关键角色。Eisenstein 是六个孩子中唯一活过童年的，他的五个兄弟姐妹都死于脑膜炎。他本人也感染了这种疾病，但奇迹般地活了下来。这场疾病以及童年时期反复发作的其他病症，给他留下了心理和生理印记，使他终生带有疑病症的倾向。 

母亲的教育方式颇具创造性：她通过将字母与物体形状相关联来教年幼的 Eisenstein 认字，比如用“门”来代表字母 O，用“钥匙”来代表字母 K。Eisenstein 的数学天赋在六岁时便已显露。他在自传中写道，作为一个六岁的男孩，他理解一个数学定理的证明，比理解肉必须用刀切而不是用叉子切还要容易。十五岁时，他已经开始自行购买数学书籍，从 Euler（欧拉）和 Lagrange（拉格朗日）的著作中自学微积分。十七岁那年，尽管仍在中学就读，他已开始旁听柏林大学 Dirichlet（狄利克雷）等人的讲座。 

1842 年，Eisenstein 购买了 Gauss（高斯）《算术研究》的法文译本，数论从此成为他数学兴趣的核心。同年夏天，他随母亲前往英国与父亲会合，在英格兰、爱尔兰和威尔士之间辗转。在都柏林，他见到了 Hamilton（哈密顿），后者将一篇关于 Abel 五次方程不可解性的论文手稿交给他，这进一步激发了他从事数学研究的决心。1843 年，Eisenstein 回到柏林，通过了中学毕业考试。他的数学老师 Schellbach（舍尔巴赫）在评语中写道：他的数学知识远远超出了中学课程的范围，他的才华和热情使人期待他将来会对科学的发展和拓展做出重要贡献。同年秋，他进入柏林大学。 

1844 年 1 月，Eisenstein 向柏林科学院递交了 Hamilton 的手稿，同时提交了自己关于二元三次形式的论文。Crelle（克雷尔）立刻意识到面前是一位潜在的天才，随即联系了 Alexander von Humboldt（亚历山大·冯·洪堡）。Humboldt 于 1844 年 3 月与 Eisenstein 会面，此后成为他终生的资助者和保护人，为他从国王、普鲁士政府和柏林科学院争取到了多笔资助。 

1844 年是 Eisenstein 学术生涯中爆发性的一年。他在 Crelle 杂志第 27 卷发表了 15 篇论文和一个问题，在第 28 卷又发表了 8 篇论文和一个问题，用德语、法语和拉丁语写作。一位年仅 21 岁的年轻人，在一年之内发表的文章数量超过了他的年龄。1844 年 6 月，Eisenstein 前往哥廷根拜访 Gauss。Gauss 素以极难取悦著称，但 Eisenstein 此前寄去的论文已经赢得了他的高度赞赏。1844 年 7 月，Gauss 在给 Gerling（格林）的信中写道：我最近结识了一位来自柏林的年轻数学家 Eisenstein，他带着 Humboldt 的推荐信来到这里；这个人虽然还很年轻，但展现出非常卓越的才能，必将成就伟大的事业。素材指出，没有其他年轻才俊曾受到 Gauss 如此优厚的对待；1845 年，Gauss 在提名 Dirichlet 获得功勋勋章时甚至表示，他几乎要提名 Eisenstein。1845 年 2 月，在 Kummer（库默尔）和 Jacobi（雅可比）的安排下，布雷斯劳大学授予 Eisenstein 荣誉博士学位。1847 年，他获得柏林大学授课资格，开始讲授分析学课程，吸引了十到二十名学生；他还讲授椭圆函数等更高级的主题，约有五名学生参加。 

Eisenstein 的数学贡献集中在三个相互关联的领域：形式理论、高次互反律和椭圆函数理论。在形式理论方面，他的目标是将 Gauss 在《算术研究》中建立的二次型算术理论推广到更高次的情形。他在三元二次型方面的工作尤为突出：将不定三元二次型的序特征和属特征的定义从二变量推广到三变量，这是 Gauss 的二次型理论未能触及的领域。Hilbert（希尔伯特）后来在其 1897 年的《数论报告》中指出，要真正理解 Eisenstein 在这些方面的工作，必须将其翻译成三次数域的语言。 

在高次互反律方面，二次互反律是数论中第一个关于素数的深刻规律，由 Euler 发现、Legendre（勒让德）以符号形式重新表述、Gauss 首次证明。Gauss 本人给出了八个不同的证明，而在整个十九世纪，数学家们又给出了数十个证明。其中，Eisenstein 在 1844 至 1845 年间贡献了四个证明，包括一个被评价为特别优美和经济的几何证明——这是对 Gauss 第三个证明的杰出改编。为了处理更一般的 m 次幂剩余互反律，Eisenstein 使用了 Kummer 的理想理论，在单位根环 Z[ζ_m] 中工作。素材提到，他与 Kummer 在 1850 年关于高次互反律的论文中存在竞争关系，这种竞争在某种程度上也反映了当时数学界对优先权的敏感。 

在椭圆函数理论方面，这是 Eisenstein 在 1846 至 1847 年间的主要工作方向。他的方法独树一帜：从复平面上的格点求和出发，通过无穷级数直接构造椭圆函数。这一进路与 Jacobi 通过椭圆积分的反演来研究椭圆函数的方法形成了鲜明对比。André Weil（安德烈·韦伊）后来在《根据 Eisenstein 与 Kronecker（克罗内克）的椭圆函数》中系统整理并推广了这一方法，指出 Eisenstein 通过他的方法获得了椭圆函数理论的大部分结果。1847 年，Eisenstein 独立于 Jacobi 1829 年的《椭圆函数新基础》，重新发现了一些关键恒等式，并成功为基本三角函数提供了新的恒等式。Weil 还注意到，Eisenstein 在《算术研究》个人藏本上的批注中可能包含了后来启发 Riemann（黎曼）的思想，这些思想在 Riemann 与 Eisenstein 的交谈中得到了进一步发展。 

尽管学术成就斐然，Eisenstein 的个人生活却充满了孤独与困顿。1845 年底至 1846 年初，他的心理状态开始恶化。此前几乎每天与他见面的朋友 Kronecker 离开了柏林，其他同龄的朋友也逐渐疏远。与哥廷根的 Max Stern（马克斯·斯特恩）的通信无法弥补直接接触的缺失。更糟的是，Jacobi 在 1846 年初公开挑起了与 Eisenstein 的优先权争端。Eisenstein 在给 Stern 的信中解释道：整个麻烦在于，当我得知 Jacobi 关于割圆术的工作时，我没有立即公开承认他是创始者，而我在 Gauss 的情况下却经常这样做；我在这件事上未能如此，仅仅是我天真无知的过错。 

1848 年 3 月，柏林爆发革命。Eisenstein 曾出入共和派俱乐部，但并未积极参与政治活动。然而，在 3 月 19 日的巷战中，他被发现在一所房屋内——狙击手曾从那里向王室军队射击。他遭到逮捕和粗暴对待，被迫与其他囚犯一起长途步行至施潘道城堡，次日才获释。这次经历不仅严重损害了他本已脆弱的健康，还使资助者对他的政治立场产生了怀疑。Humboldt 继续竭力为他争取支持，但官方的资助变得更加吝啬和迟缓。1851 年，Eisenstein 的健康状况首次使他无法继续授课。同年，在 Gauss 的提议下，他当选为哥廷根科学院通讯院士。1852 年初，在 Dirichlet 的安排下，他当选为柏林科学院院士，接替 Jacobi 的位置。然而，这些荣誉来得太晚了。1852 年 10 月 11 日，Eisenstein 因肺结核在柏林去世，年仅 29 岁。八十三岁高龄的 Humboldt 跟随在他的棺木后面，送别这位他曾倾尽全力扶持的年轻人。Humboldt 此前已成功为 Eisenstein 争取到前往西西里岛休养的经费，但一切都已来不及了。 

Eisenstein 去世后，他的声誉经历了一种复杂的命运。Felix Klein（费利克斯·克莱因）在试图将 Riemann 提升到无可比拟的高度时，将 Eisenstein 描绘成一个不仅自大而偏执，而且在数学上只是一个“公式人”的形象。这种评价反映了世纪之交哥廷根学派在 Hilbert 和 Klein 影响下的精神气质，与 Gauss 对 Eisenstein 异常优厚的态度形成了尖锐对比。然而，Eisenstein 的数学进路在二十世纪后半叶得到了重新发现和肯定。Weil 的工作使“Eisenstein 式的”椭圆函数构造方法重新进入主流视野，而 Eisenstein 级数作为自守形式谱理论和 L 函数理论的基本工具，在现代数论中占据着核心地位。Eisenstein 在格点求和与模形式之间深刻联系方面的直觉，预示了后来数论中的发展。他在不到十年的学术生涯中发表了约四十篇数学论文，超过七百页印刷文字。