撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所）

 

If he (Clifford) had lived we might have known something.

 

——Robert Tucker

 

摘要 克利福德是十九世纪英国的天才数学家，他开创的几何代数为现代物理和数学提供了紧致优雅地表述以及开疆拓土的工具。他是一位无与伦比的哲学与自然科学的表述者，其文章字字珠玑，于细微处皆见大学问。他对几何学这门关于空间的自然科学的深入思考，短短几句话就定义了微分几何、广义相对论、规范场论的主调。

 

01 克利福德小传

 

克利福德(William Kingdon Clifford, 1845-1879)，物理学家+数学家+哲学家+作家型的通才，一个路过人世仅仅34年的天才 (图1)。克利福德1845年出生于英国西南部的埃克塞特, 15岁考上伦敦国王学院和剑桥三一学院，1867年在剑桥大学著名的tripos(三角凳)考试中获得了争辩者第二(second wrangler)的优异排名，1868年当选剑桥三一学院的follow。1871年，克利福德在26岁上获聘伦敦学院大学(London College university)数学与力学教授，1874年在29岁上当选英国皇家学会会士(member of royal society)，1875年当选形而上学学会会士。克利福德在对格拉斯曼之扩展的学问(Ausdehnungslehre. 格拉斯曼在其中曾提出16种乘法) 以及哈密顿的四元数深入研究的基础上建立起了几何代数，即以他的姓名命名的克利福德代数。本文提及的关于几何积的系统学问，源于他1878年发表的题为“格拉斯曼扩展代数之应用”论文。克利福德是顶级的物理学家，他的《动力学原本》光看其副标题an introduction to the study of motion and rest in solid and fluid bodies就足以理解动力学的内涵。那个让爱因斯坦变得伟大的“引力是时空几何的表现”之思想也来自克利福德，他于1876年在“on the space-theory of matter”一文中已确立了广义相对论的主导思想，而他在《精确科学的常识》一书中关于空间的几句论述简直就是规范场论和微分几何的大纲。他在哲学论述中提出的mind-stuff(思维原料)这一概念，可能震撼过很多人。

 

克利福德的学术成就，仅从他的著作列表人们就能获得大致的感觉。克利福德著作如下：

 

论道德的科学基础 (On the scientific basis of morals)，1875.

 

动力学原本 (Elements of Dynamic)，1879-1887.

 

见与思 (Seeing and Thinking)，1879.

 

讲义与散文集 (Lectures and Essays)，1879.

 

数学散篇 (Mathematical fragments)，1881.

 

数学论文 (Mathematical Papers)，1882.

 

精确科学的常识 (The Common Sense of the Exact Sciences)，1885.

 

即便对这些书的厚度及其所包含的原创思想之深度没有一点感觉，光看这些书目，考虑到克利福德只活了短短的34年春秋，就足以令人肃然起敬。这和某些地方辉煌了几十年的一流学者人却无任何只言片语可传世的怪现象形成了鲜明对比。

 

其实，不同于这些书，克利福德的四篇短文章，1870年的“On the space theory of matter”(物质的空间理论)，1872年的 “On the aims and instruments of scientific thought(论科学思想的目的与传播)”，1877年的The Ethics of Belief(信仰的伦理)，1878年的“Applications of Grassmann's Extensive Algebra(格拉斯曼扩展的学问之应用)”，才是更具震撼性的。其中，物质的空间理论奠定了广义相对论的思想格调，而格拉斯曼扩展的学问之应用则产生了一个更加系统、更加深刻的新代数。

 

顺便说一句，克利福德1875年结婚，婚后育有两个孩子。克利福德喜欢孩子，关注儿童教育，在1874年还是单身的时候就为孩子们写下了一些童话，收录于 “the little people and other tales(小人儿与其它童话)”。

 

克利福德被誉为思维极度敏锐且具有伟大原创精神的人(un homme d'une extraordinaire perspicacité et d'une grande originalité)，而且诗人气质十足。他也是是为数不多的被自己的天才累垮了的人。此外，他还是一个喜欢逗孩子的人，一个敢冒险的人，据说他曾用脚指头把自己倒吊在教堂尖塔的铁公鸡上。

图1. 伏案工作的克利福德

 

02 克利福德的数学成就

 

克利福德是那种天才的数学家，26岁就当上了数学教授。克利福德对同时期英伦以及欧洲大陆重要数学家的工作都了如指掌，完美地演绎了丰沃学术土壤上的传承与创新。他1873年关于双四元数、1882年关于几何代数分类以及1877年关于黎曼面的工作都是经典之作。克利福德1878年关于德国人格拉斯曼扩展的学问的应用，是数学、物理史上的一个里程碑。

 

1878年的克利福德对哈密顿的四元数 (Lectures on quaternions, 1853；Elements of quaternions, 1866) 已学有所成，但他坦诚刚接触格拉斯曼扩展的学问(Ausdehnungslehre 1844；Ausdehnungslehre 1862) 没几天，不过他对格拉斯曼的工作给予了高度评价：“我对那个非凡的工作记为赞赏，我坚信它的原理会为数学的未来带来广泛的影响(I may, perhaps, therefore be permitted to express my profound admiration of that extraordinary work, and my conviction that its principles will exercise a vast influence upon the future of mathematical science.)”克利福德说对了，而且是通过自己的工作让自己的断言变得无比正确的。

 

 

03 克利福德的物理学成就

 

克利福德的人生只有短短的34年，且成为了一流的数学家，因此他即便热衷物理，其投入物理研究的时间也不可能多。但是，对于天才来说，成就不是用投入精力的多少来衡量的。作为一个一流数学家，克利福德对数学家认识世界的局限有清醒的认识，“数学家不能够对当前力学教科书中使用的物质、力、惯性之类的语言赋予意义(No mathematician can give any meaning to the language about matter, force, inertia, used in current text-books of mechanics)。”也因此，克利福德将一些宝贵的时间用于物理学的阐释与研究，他的只言片语都比所谓职业物理学家有更高的物理素养，都更有深度、意义与价值。克利福德有过人的教导他人的本领，是清晰的表达者、令人叹服的演讲者。

 

克利福德留下一本物理教科书，《动力学原本》(elements of dynamic)，开篇短短的几句话就把力学的那点家底儿交代清楚了。描述运动的学问叫动理学，kinematic (κινυμα, motion), 分为点粒子的平动(translation)，刚体的转动 (rotation) 与绕动 (twist，即 translation + rotation)，以及弹性体的形变 (strain); 而根据力的规则如何计算运动的学问叫动力学，dynamic (δύναμις, force)，分为描述静止情形的static(静力学)和发生运动情形的kinetic (运动学)（注：其实kinetic 才是动力学。Static 不是kinetic的对立面 ）。Static是kinetic的特例。无须多深入，笔者即已佩服得五体投地。无法详细介绍这本书，我就把这本书的谋篇列在这里，大家看看结构吧。《动力学原本》分成三部分，

 

Book I. Translations, chapter 1：steps；chapter 2: velocities；chapter 3: General orbits.

 

Book II. rotations, chapter 1 只有一小节：steps of a rigid body；chapter 2: velocity-systems；chapter 3. Special problems.

 

Book III. Strains, chapter 1. strain-steps; chapter 2. strain-velocities.

 

Step是指由平动造成的位置改变，这个概念在后来的力学书里没有了。关于力学，从质点的kinematic开始到质点与刚体的dynamic，然后是弹性体的strain, 如果愿意的话可以接下来研究hydrodynamic和aerodynamic, 可以说是逻辑清晰。真心希望我国的力学人才培养体系能注意到这本书的存在。

 

在一篇1880年由他人整理发表的题为“能量与力”的文章中，克利福德再一次体现了他作为一流数学家对物理基本概念的深刻与清晰。兹摘录几句，以飨读者。“不谈论关于动量的定律就不足以解释力(Force cannot be explained without stating a law of nature concerning momentum)”，“动量变化依赖于相对其它物体的位置变化”，强调力不是孤立的因素，由此可引向机械能守恒；“动能是动量被携带的速度(energy of motion is the rate at which momentum is carried along)”，这句谈论的是pv，即活力(vis viva)。能量守恒定律的意义在于“能量守恒是无价的负面定律。它让我们以绝对的把握去拒绝无数的、因为好像能解释自然的复杂性而看起来有些诱人的假说(It is invaluable as a negative law. It enables us to reject with absolute certainty countless hypotheses that would otherwise be temptingly appropriate to elucidate the complexities of nature)。”这些读来都有醍醐灌顶的效果。

 

当然，仅仅诠释物理不足以奠定一个人物理学家的地位，创造了物理学才算。克利福德凭借1870年的“论物质的空间理论 (On the space theory of matter)”一文就足以厕身有思想的伟大物理学家之列。此文不过寥寥三百余字，大意如下。黎曼说有不同的三维空间，我们只能用经验找出我们到底生活在什么样的三维空间。平面几何的公理适用于纸张，但纸张真有褶子，遇到褶子这平面几何公理就不成立了。对三维空间立体几何公理在实验范围内成立，但也未必对任何拐角都成立。克利福德说，这启发他想到，为了解释物理现象，也许可以认为对任何小的空间范围，立体几何公理都不成立。如此看来，1. 如同大体平直的地面上存在起伏的山丘，存在小的空间区域，其中一般的几何规律是不成立的；2. 这种空间被弯折或者扭曲的性质如同波一样从一处传递到另一处；3. 空间曲率的变化发生在物质的运动中，不管这物质是重物还是类以太的那种；4. 物质世界里只有这种曲率的变化，当然啦要满足连续性。熟悉广义相对论的人都知道，后来广义相对论的描述几乎从未脱离这篇短文的框架。克利福德是第一个认识到引力可以用变曲率空间加以模型化的人。

 

1879年3月3日克利福德辞世，1879年3月14日爱因斯坦诞生。

 

展现克利福德惊人的概念清晰的，是他的《精确科学的常识》(The common sense of the exact science, second edition)一书， 包括number, space，quantity, position和motion五章, 据说原计划还有mass一章，但因为克利福德早逝, 可惜未能如愿完成。也难怪人们感叹：“If he had lived we might have known something.”

 

此书开篇第一章谈论number，认识之深刻就可见其后来成就的必然。克利福德从最基本的地方开始思考，提取数的乘法有交换律和结合律。在对interchange和alternation这些在量子物理、场论中的关键概念进入思考。定义是要依据操作的，或者物理现实的。其实考察乘法发生的简单自然过程，会发现有些乘法是操作(operation)作用于对象的那种(不怕你笑话，我是大三学量子力学才第一次听说operator, operation，后来很晚才听说operand的)。把减仍当作是加，数字就有了方向，就有了负数。负数之间的乘法该有相应的物理才不会是nonsense。这带来困扰，但也会提升我们的能力。我们发明的每一个operation都相当于问一个问题，这些问题可能有也可能没有答案。如果对于没有答案的情形我们把问题的答案形式地写下来，并且谈论它们，好像它们意味着点什么似的，我们就可能是在那里瞎扯 (talk nonsense)。但是这些瞎扯不可以当垃圾丢弃。我们可以扩展，概念 (词语) 意义的逐渐扩展可能是最有力的研究工具，当然也以同问题成比例的谨慎对待之。这一段可看作是克利福德一生的人生哲学和工作信条，他最伟大的成就，提出几何代数，恰是在格拉斯曼《扩展的学问》基础上把内积和外积给写到一起。

 

乘法的发展是扩展的学问的一个好例子。从简单的自然数与自然数的乘积，2×3=6 ，扩展到操作与操作对象之间的乘积，D3=6，D 代表加倍 (double) 的操作，考虑到减法引入了负数，然后就有负数乘上负数的问题。这个问题对于小孩子来说就是个扯淡的问题，负负得正，什么意义啊？有了对意义、对对象的不断扩展，负负得正才有了意义。试举两例。电荷是极性的标量，分正负，依据库仑定律 ，两个负电荷 -q1 和 -q2 之间，同两个正电荷 q1 和 q2 之间一样， 是斥力。另一个例子，是格拉斯曼的外积，a∧b=(-a)∧(-b) ，意思是说平行四边形 a∧b 和 (-a)∧(-b) 的面积相等、取向相同。这样的内容，笔者以为，在我们给小孩子讲述负负得正的时候，是无论如何要想着法子给他们物理图像清晰的例子的，否则，大可以等到老师学会了例子时再教。

 

格拉斯曼最终成了几何代数之父，他对几何之基础的认识太深刻了。笔者简短地读了space一章的几段，都有要落泪的感觉。“几何是一门自然科学 (GEOMETRY is a physical science)。点不是小到无穷的粒子，而是线之相邻两部分的边界，而线是面之相邻两部分的边界，而面是空间之相邻两部分的边界。点是我们可见和可知的事物，不是我们在思想里构造的抽象。”这颠覆了我一贯阅读来的知识，而我选择接受他的观点。“只有当我们有可以随处携带且被携带到任何地方都不会改变其长度的测量杆时，测量距离才是可能的。” “如果我们假设(1)不同物体经历相同的改变；(2)任何物体被带回到远处时占据同样的空间，则我们设想物体从一处挪动另一处时长度会发生改变也未尝不可以。需要保证的是在一处吻合的两个物体，哪怕是经过不同的路径被带到了别处，也是吻合的，除非有别的原因造成了相反的结果。”…..“不过，有可能长度确实仅仅是因为挪到别处就改变而我们一无所知吗 (Is it possible, however, that lengths do really Change by mere moving about, without our knowing it？) ” 这段简短的叙述，规范场论和微分几何的思想全在里面了。我很好奇，外尔、列维-齐维塔是否确实读过这一段！

 

顺带说一句，他研究哈密顿的四元数，他把矢量称为极性的量。今天在一些不能分清楚B为什么和E不是一类物理量的物理教科书中，会把E称为极矢量，而把B称为轴矢量。这个极矢量概念的来源，应该算在克利福德的头上。使用克利福德代数的语言，电磁场强度为 F=E+BI ，其中I是克利福德代数意义下的赝标量。

 

04 克利福德的哲学 科学方法论

 

克利福德是深刻的哲学家，他在30岁上当选英国形而上学 (metaphysics，字面意思为后物理学) 学会会士。克利福德这样的哲学家，个人认为同型号的有后来的英国人罗素、彭罗斯和德国人外尔等，他们的哲学思想是在创造过数学、物理的具体实践基础上的言之有物，是能写入人类智慧史的。

 

克利福德是受斯宾诺莎影响的自由主义者，他为那些不屑于学点儿数学与物理的哲学家们所喜爱的概念创造有mind-stuff (思维原料) 和tribal-self (部落自我，出自1875年的On the scientific basis of morals)。在《信仰的伦理》(The Ethics of Belief）一文中，克利福德指出，“头脑的单纯，地位的卑微，都不能让我们逃避诘问我们信仰的普遍义务 (No simplicity of mind, no obscurity of station, can escape the universal duty of questioning all that we believe) ”，“一言以蔽之，证据不足即相信，大谬也 (To sum up: It is wrong always, everywhere, and for anyone, to believe anything upon insufficient evidence)”一句。这后一句话的英文比较啰嗦，笔者更喜欢它的法文译文 il était immoral de croire des choses sans preuve，据此译为“未经证实就相信是不道德的”更加掷地有声。当然了，这样的科学家的信仰宣言是得罪人的。此文经常和美国哲学家詹姆斯（William James，1842-1910）1896年的《相信的意愿》(The Will to Believe) 背靠背出版，算是人类文化史上的一件趣事。

 

对于数学家和物理学家来说，克利福德的哲学文字则是字字珠玑。“我们通过赋予那些能够使得原先没有答案的问题拥有答案之字词或者符号以新的含义从而把荒唐转化成意义。(We turn the nonsense into sense by giving a new meaning to the words or symbols which shall enable the question to have an answer that previously had not answer.) ”这是数学、物理创造者的经验之谈啊。读读格拉斯曼、哈密顿等人的著作，就知道他在说啥。

 

05 克利福德的童话

 

据说克利福德喜欢写诗。按维基条目，克利福德创作有童话集The little people. 现存的文献有一本Juliet Pollok 编著的The Little People And Other Tales (1874)，从书名看是1874年编纂的Juliet Pollok, William Kingdon Clifford, Walter Herries Pollok三人的合集。既然这个童话集是克利福德婚前一年就出版了的，可见克利福德确实就是一个喜欢孩子的人，不是有了自己的孩子才给孩子写童话。这本书被后来的出版者誉为具有重要文化意义的历史性著作，可惜因为一直找不到文本，恕笔者不敢置喙。据说当克利福德送给女小说家艾略特 (George Eliot, 1819-1880) 这本童话集时，书中还夹上一首小诗，最后四句可粗略如下：

 

Listen to this baby-talk: 听那幼儿的呢喃

 

'Tisn't wise or clear; 自是懵懂、含混

 

But what baby-sense it has 可这幼儿的心事

 

Is for you to hear. 是让你听的啊。

 

06 多余的话

 

研究克利福德的生平与学问，我一直琢磨他到底是如何读书、如何研究、如何著述的，他毕竟只活了短短的34年啊。同样是读书人，这读书人和读书人的差别也忒大了点。想说说笔者对读书境界的认识。一类读书人的境界是过目成诵，英文说是有一双eidetic eyes。野史云，王安石向苏洵夸赞自己的儿子王雱 “读书只一遍，便能成诵”，被苏洵回怼：“我还没听说过谁家孩子念书要念两遍的！”这种对几乎没有多少内涵的母语文本的快速把握虽然一般人做不到，但也不值一提(我承认我做不到，但我依然觉得瞧不上，我这么做一点儿也没有逻辑上的困难)。这读书的第二重境界是读一遍便能理解，并且还能融合自己的思想转述与他人，类似某些天才音乐家，一首曲子听一遍就能演奏，而且是用自己的理解天衣无缝地表现出来。克利福德这类人读书，大概属于我要说的第三重，就是对那些数学、物理、哲学方面的巅峰典籍看一遍即有深刻见解，并且还能做出突破性的发展。克利福德读书若不是在这第三重境界，他的时间根本不够。

 

作为一个当了多年学生和多年教师的人，关于教书和做学问，我多少有一些感慨。我觉得吧，作为教师，好学的姿态和不停学习的实践是起码的任职资格。因为我的一直不学无术，我作为教师只欠世界半个道歉，而我若一直固步自封，那我就欠世界一个半道歉，毕竟不学无术可能事关天资不足，是可以自我原谅的，而固步自封那就纯属思想问题了。

 

参考文献：

 

1. William Kingdon Clifford, Applications of Grassmann’s extensive algebra, American Journal of Mathematics 1(4), 350-358(1878).

 

2. Robert Tucker (ed.), Mathematical papers by William Kingdon Clifford, MacMillan and Co. (1882).

 

3. William Kingdon Clifford, Elements of dynamic: an introduction to the study of motion and rest in solid and fluid bodies, MacMillan and Co. (1878-1887). (前后十年)

 

4. William Kingdon Clifford, Energy and force, Nature, June 10, 122-124(1880). (身后由 F. Pollock整理的)

 

5. William Kingdon Clifford, The common sense of the exact science, second edition, Kegan Paul, Trench & Co. (1886).

 

6. William Kingdon Clifford, The Ethics of Belief, Contemporary Review (1877).

 

7.William Kingdon Clifford, Seeing and Thinking, Macmillan and Company (1879).

 

8. Mansfield Merriman, Robert S. Woodward, William Kingdon Clifford, Prabhat Prakashan (2018).

 

9. Chris Doran, Anthony Lasenby, Geometric algebra for physicists, Cambridge University Press (2003).

 

10.D. Hestenes, Garret Sobczyk，Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics, Springer (1987).